高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换随堂练习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
简单的三角恒等变换(二)(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．计算cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°的值为(　　)A．1　　　B．0　　　C．　　　D．【解析】选D.cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝＋cos80°＋2cos100°cos60°＝＋cos80°－cos80°＝.2．已知sin ＝，则cos2的值为(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．【解析】选D.因为sin＝，则cos2＝cos2＝sin2＝.3.的值为(　　)A．1    B．2    C．    D．【解析】选C.原式＝＝＝＝＝＝＝.4．(多选题) 下列等式正确的是(　　)A．2sin45°cos15°＝sin60°＋sin30°B．2sin45°cos15°＝sin60°－sin30°C．2cos45°cos15°＝cos60°＋cos30°D．2sin45°sin15°＝cos60°－cos30°【解析】选A、C.由和差化积公式，sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 所以选项A，C正确．5．4sin 80°－等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．    B．－    C．    D．2－3【解析】选B.依题意，因为sin 80°＝cos 10°，所以4sin 80°－＝＝＝＝＝＝－.6．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx，ω>0，若f(x)在(0，π)上存在3个不同的x0，使f(x0)＝1，则ω的取值范围是(　　)A．　　　　　B．C．       D．【解析】选A.函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，x∈(0，π)，令ωx＋＝t，则t∈，由2sin t＝1，得sin t＝，得t＝，，，，依题意，得<ωπ＋≤，即<ωπ≤，解得<ω≤.二、填空题(每小题5分，共10分)7．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．【解析】因为3sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2sin ，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.答案：－8．计算：－－64cos210°＝________．【解析】－－64cos210°＝－－64cos210°＝－64cos210°＝－64cos210°＝－64cos210°＝32cos20°－64·＝－32.答案：－32三、解答题(每小题10分，共20分)9．计算：[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·.【解析】原式＝[2sin50°＋sin10°(1＋)]·＝[2sin50°＋sin10°()]·＝(2sin50°＋2sin10°·)·cos10°＝2(sin50°cos10°＋cos50°sin10°)＝2sin60°＝.10．已知cosα－cos β＝，sin α－sin β＝－，求cos (α＋β)的值．【解析】方法一：因为cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，所以－2sin sin ＝　①所以2cos sin ＝－②因为sin ≠0，所以－tan ＝－，所以tan ＝.所以cos (α＋β)＝＝＝－.方法二：因为cosα－cos β＝①，sin α－sin β＝－②，所以①2＋②2，得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，即2－2cos (α－β)＝，得cos (α－β)＝.由①2－②2，得cos2α－sin2α＋cos2β－sin2β－2(cosαcos β－sin αsin β)＝，所以cos 2α＋cos 2β－2cos (α＋β)＝，得2cos (α＋β)cos (α－β)－2 cos (α＋β)＝，2cos (α＋β)[cos (α－β)－1]＝，得2cos (α＋β)(－1)＝，解得cos (α＋β)＝－.(35分钟　70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(多选题)下列命题是真命题的有(　　)A．∃x∈R，sin2＋cos2＝B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin yC．∀x∈[0，π]，＝sin xD．sin x＝cos y⇒x＋y＝【解析】选BC.因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为＝＝|sinx|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．2．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解析】选D.由cos2x＝2cos2x－1，得f(x)＝cos2＝＝＋cos ＝－，所以该函数既不是奇函数，也不是偶函数．3．计算的值为(　　)A．2　　　B．　　　C．　　　D．【解析】选A.＝＝＝＝2.4．(多选题)已知函数f(x)＝sin x－cos ，则下列说法正确的是(　　)A．函数的最小正周期为2πB．函数的值域为[－，]C．函数是奇函数D．函数是偶函数【解析】选AB.函数f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x cos ＋sin x sin ＝＝sin .所以函数的最小正周期为2π，函数的值域为[－，]，函数不是奇函数，也不是偶函数．二、填空题(每小题5分，共20分)5．函数y＝sin 2x cos 2x的最小值等于________．【解析】y＝sin 4x，则最小值为－.答案：－6．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．【解析】因为A＋B＝，所以cos2A＋cos2B＝(1＋cos2A＋1＋cos 2B)＝1＋(cos 2A＋cos 2B)＝1＋cos (A＋B)cos (A－B)＝1＋cos cos (A－B)＝1－cos (A－B)，所以当cos (A－B)＝－1时，原式取得最大值；当cos (A－B)＝1时，原式取得最小值.答案：　7．求值sin12°·sin24°·sin48°·sin84°＝________．【解析】sin12°·sin24°·sin48°·sin84°＝(cos60°－cos36°)(cos108°－cos60°)＝[(cos108°＋cos36°)－cos108°·cos36°－]＝＝＝＝.答案：8．如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x＝________来截．【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则＝，＝，又a＝GC＋CF＝b sin x＋b cos x所以sin x＋cos x＝，所以sin ＝.因为0＜x＜，＜x＋＜，所以x＋＝或，x＝或.答案：或【误区警示】解答本题容易忽视角度x的取值范围，而导致解三角方程时产生漏解．三、解答题(共30分)9．(10分)计算tan9°－tan63°－tan27°＋tan81°.【解析】tan9°－tan63°－tan27°＋tan81°＝tan(81°－27°)(1＋tan81°·tan27°)－tan(63°－9°)(1＋tan63°·tan9°)＝tan54°(tan81°·tan27°－tan63°·tan9°)＝tan54°(cot9°·cot63°－tan63°·tan9°)＝＝·＝·＝＝＝4.10．(10分)如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？【解题指南】→→【解析】设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝R sin  α，OB＝R cos  α，所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin  α＋R cos  α＝R(sin  α＋cos  α)＋R＝R sin ＋R.因为0<α<，所以<α＋<，所以l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝.11．(10分)已知正实数a，b满足＝tan，求的值．【解析】从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于的方程，从而可求出的值．方法一：由题设得＝⇒＝＝＝tan ＝.方法二：若注意到等式左边的分子、分母都具有a sin θ＋b cos θ的结构，可考虑引入辅助角求解．因为asin＋b cos ＝sin ，acos－bsin＝cos，其中tan φ＝，由题设得tan ＝tan .所以＋φ＝kπ＋π，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，所以＝tan φ＝tan ＝tan＝.方法三：原式可变形为＝tanπ，令tan α＝，则有＝tan ＝tan π，由此可得α＋＝kπ＋π(k∈Z)，所以α＝kπ＋，(k∈Z)，所以tan α＝tan ＝tan＝，即＝.【点评】以上方法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；方法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，，或a sin α＋b cos α.＝cos (α－φ)，，在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；方法三利用了换元法，但实质上是综合了方法一和方法二的解法优点，所以方法三最佳．