高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂检测题

简单的三角恒等变换(一)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选D.cos2＝＝＝.

2．已知α∈(π，2π)，则等于(　　)

A．sin　　B．cos　　C．－sin 　　D．－cos

【解析】选D.因为α∈(π，2π)，所以∈，

所以＝＝＝－cos .

3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos2A＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选A.sin2＋cos2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.

4．化简的结果是(　　)

A．－cos1       B．cos  1

C．cos  1      D．－cos  1

【解析】选C.原式＝＝＝＝＝cos1.

5．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝ (　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.方法一：由θ∈可得2θ∈，cos 2θ＝－＝－，sinθ＝＝.

方法二：由θ∈及sin 2θ＝可得sin θ＋cos θ＝＝＝＝＝＋，

而当θ∈时sin θ>cos θ，

结合选项即可得sin θ＝，cos θ＝.

【补偿训练】

 已知sin(α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos 的值等于(　　)

A．±　　B．±　　C．－　　D．－

【解析】选A.由已知得sin [(α－β)－α]＝sin (－β)＝，得sin β＝－.

因为β是第三象限角，所以cos β＝－，是第二、四象限角，

所以cos ＝±＝±＝±.

6．(多选题)若函数f(x)＝(x∈R)，则关于f(x)的下列叙述正确的是(　　)

A．最大值为1　　　　　　 B．最小值为0

C．偶函数         D．最小正周期为π

【解析】选B、C、D.函数f(x)＝＝|cos x|.所以函数的最大值为，最小值为0，是最小正周期为π的偶函数．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．求值sin ＝________．

【解析】sin ＝＝＝.

答案：

8．计算sin ·cos ＝________．

【解析】方法一：sin ·cos π＝

＝

＝＝－＝.

方法二：sin ·cos ＝cos ·cos＝cos·cos＝cos2＝＝＝＝－＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知tan ＝，tan αtan β＝，求cos (α－β)的值．

【解析】因为tan αtan β＝＝＝，所以cos (α－β)＝－cos (α＋β).又tan ＝，

所以cos (α＋β)＝＝＝－，

从而cos(α－β)＝－×＝.

10．已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.

(1)求函数f(x)的值域．

(2)若不等式|f(x)－m|<2恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】(1)由题意知，f(x)＝2sin2－cos2x＝1－cos －cos 2x

＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2sin ，由x∈，得2x－∈，

由于函数g(t)＝sin t在上递增，在上递减，且g＝1，

g＝<g＝，所以g(t)∈，所以f(x)＝1＋2sin ∈[2，3]，

所以函数f(x)的值域为[2，3].

(2)不等式|f(x)－m|<2恒成立，即f(x)－2<m<f(x)＋2恒成立，

所以[f(x)－2]max<m<[f(x)＋2]min，所以1<m<4，即实数m的取值范围是(1，4).

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若sin (π－α)＝－且α∈，则sin 等于(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选B.由题意知sin α＝－，α∈，

所以cos α＝－.

因为∈，

所以sin ＝cos ＝－＝－.

2．设α∈，β∈，且＝，则(　　)

A．2α＋β＝    B．2α－β＝

C．α＋2β＝    D．α－2β＝

【解析】选B.由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，

sin α＝cos (α－β)，所以cos ＝cos (α－β).因为－α∈，α－β∈，所以－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，所以2α－β＝.

3．设a＝cos7°＋sin7°，b＝，c＝，则有(　　)

A．b>a>c　B．a>b>c　C．a>c>b　D．c>b>a

【解析】选A.由于a＝cos 7°＋sin7°＝sin30°cos7°＋cos30°sin7°＝sin37°，

b＝＝tan38°，c＝＝sin36°，根据三角函数的正弦线，余弦线和正切线，得tan38°>sin38°>sin37°>sin36°，所以b>a>c .

4．(多选题)下列叙述正确的是(　　)

A．对于任意α，sin α＝

B．当α在第一象限时，sin α＝

C．当α在第二象限时，sin α＝

D．若sin α＝，则α在第一或第二象限

【解析】选B、C.由cos 2α＝1－2sin2α，得sin2α＝，

两边开平方，得|sin α| ＝，

所以sin α＝±，

当α在第一象限、第二象限或α的终边在y轴非负半轴上时，sin α＝；

当α在第三象限、第四象限或α的终边在y轴非正半轴上时，sin α＝

－.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形的一个底角的余弦值为________．

【解析】设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则α＝－，cos β＝，所以cos α＝cos ＝sin ＝＝.

答案：

6．函数y＝的最小正周期为________．

【解析】 y＝＝

＝＝tan ，

最小正周期是T＝.

答案：

7．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos ＝________.

【解析】因为cos θ＝－，θ∈(π，2π)，所以θ为第三象限角，

所以sin θ＝－＝－，

所以∈，

所以sin＋cos ＞0.

再根据＝1＋sin θ＝，

可得sin ＋cos ＝.

答案：

8．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则＝________．

【解析】由sin α＝＋cos α，α∈，

得sin α－cos α＝.又因为(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，

所以(sin α＋cos α)2＝2－(sin α－cos α)2＝，所以sin α＋cos α＝.所以＝＝－(cos α＋sin α)＝－.

答案：－

三、解答题(共30分)

9．(10分)化简：sin 50°(1＋tan 10°).

【解析】原式＝sin 50°

＝sin 50°·

＝sin 50°·

＝sin 50°·

＝sin 50°·＝

＝＝＝1.

10．(10分)若角θ的终边在第三象限，且tan 2θ＝－2，求sin2θ－sin(3π＋θ)cos (π＋θ)－cos2θ.

【解题指南】由条件利用二倍角的正切公式求得tanθ的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

【解析】角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝＝－2，

所以tanθ＝或tan θ＝－(舍去).

则sin2θ－sin(3π＋θ)cos (π＋θ)－cos2θ＝sin2θ－sinθcos θ－cos2θ

＝＝

＝＝.

11．(10分)已知f(x)＝cos2－sincos －.

(1)求f(x)图象的对称轴方程；

(2)若存在x0∈[0，π]，使f(x0)≤t＋2，求实数t的取值范围．

【解析】(1)f(x)＝cos2－sincos －

＝cos x－sin x＝cos ，

令x＋＝kπ，得x＝－＋kπ，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝－＋kπ，k∈Z.

(2)若存在x0∈[0，π]，使f(x0)≤t＋2，

则f(x)min≤t＋2，

由x∈[0，π]得x＋∈，

根据余弦函数的性质可得，当x＋＝π，

即x＝时，函数取得最小值－1，

所以－1≤t＋2，故t≥－3.