数学必修 第一册5.5 三角恒等变换同步训练题

两角差的余弦公式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．cos(－15°)的值为(　　)

A．    B．    C．    D．－

【解析】选C.cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)

＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.

2．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是(　　)

A．1    B．    C．    D．

【解析】选B.原式＝cos 70°cos (360°－25°)＋sin (180°－70°)sin 25°＝

cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos (70°－25°)＝cos 45°＝.

3．若sin αsin β＝1，则cos (α－β)的值为(　　)

A．0    B．1    C．±1    D．－1

【解析】选B.因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以或者易得于是cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.

4．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos (α－60°)的值为(　　)

A．     B．

C．      D．

【解析】选B.因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos (α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.

5．若cos (α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为(　　)

A．　　    B．　　    C．　　    D．

【解析】选C.依题意得sin (α－β)

＝－，sin 2α＝，

所以cos (α＋β)＝cos [2α－(α－β)]

＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)

＝×＋×＝－，

因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

【补偿训练】

 已知cos ＝－，则cos x＋cos 的值是(　　)

A．－　　B．±　　C．－1　　D．±1

【解析】选C.cos x＋cos

＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x

＝

＝

＝cos ＝－1.

6．(多选题)下列关于函数f(x)＝cos cos x―sin sin x的性质叙述中正确的是(　　)

A．最小正周期为π

B．函数图象关于直线x＝对称

C．函数图象关于直线x＝―对称

D．函数图象关于点对称

【解析】选A、B、C.函数f(x)＝cos cos x―sin sin x ＝

cos cos (―x)＋sin sin (―x)＝cos ＝

cos ，所以函数的最小正周期是π，由2x＋＝kπ， k∈Z，得x＝―，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝―，k∈Z对称，故选项B，C正确．由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋， k∈Z，所以函数图象关于点对称，其中，k∈Z，故选项D不正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知α是锐角，sin α＝，则cos ＝________．

【解析】因为α是锐角，sin α＝，所以cos α＝，

所以cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.

答案：

8．下列式子或叙述正确的序号为________．

①cos ＝―sin θ；

②存在α，β满足cos (α－β)＝cos α－cos β；

③对任意α，β，cos (α―β)＝cos α―cos β；

④cos (α―β)cos β＋sin (α―β)sin β＝cos α.

【解析】cos ＝cos cos θ－sin sin θ＝－sin θ，①正确．

存在α＝，β＝，满足cos (α―β)＝cos α―cos β，②正确；

对任意α，β，cos (α―β)＝cos αcos β＋sin αsin β，③不正确．cos (α―β)cos β＋sin (α―β)sin β＝cos [(α―β)―β]＝cos (α―2β)，④不正确．

答案：①②

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos 的值．

【解析】因为α∈，β∈，

所以α－∈，－β∈，

所以sin ＝＝＝，

cos＝＝＝，

所以cos＝cos

＝cos cos ＋sin (α－)sin (－β)＝－×＋×＝.

10．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且0<β<α<，求β的值．

【解析】因为0<β<α<，所以0<α＋β<π，

由cos α＝，cos (α＋β)＝－，

得sin α＝，sin (α＋β)＝，

所以cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α

＝－×＋×＝.

所以β＝.