高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质当堂检测题

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知cos ＝，则sin ＝(　　)

A．      B．

C．       D．

【解析】选A.因为cos ＝－sin α＝，

所以sin α＝－，所以－<α<0，所以cos α＝，

所以sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝.

2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选A.因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，由两角和的正弦公式可得sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.

3．若锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.因为cos α＝，cos (α＋β)＝，所以sin α＝，sin (α＋β)＝.所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.

4．已知sin (π－x)＋cos (－x)＝，则cos ＝(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.由sin (π－x)＋cos (－x)＝得，

sin x＋cos x＝，

故cos ＝cos x cos ＋sin x sin

＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x)

＝×＝.

5．在△ABC中，A＝，则sin A－cos (B＋C)的值为(　　)

A．    B．    C．    D．2

【解题指南】直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果．

【解析】选C.在△ABC中，A＝，则sin A－cos (B＋C)＝sin A－cos (π－A)＝sin A＋cos A

＝2

＝2＝2sin

＝2sin ＝2sin ＝.

6．(多选题)下列关于函数f(x)＝2sin x cos x的性质叙述中正确的是(　　)

A．最小正周期为π

B．函数图象关于直线x＝对称

C．函数图象关于点(0，0)对称

D．函数图象关于点(―π，0)对称

【解析】选ACD.函数f(x)＝2sin x cos x＝sin x cos x＋cos x sin x＝sin 2x.

所以函数的最小正周期是π，由2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数图象关于直线x＝＋，k∈Z对称，故选项B不正确．由2x＝kπ， k∈Z，得x＝，k∈Z，所以函数图象关于点对称，其中，k∈Z，故选项C、D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．计算cos 89°cos 31°－cos 1°cos 59°的值为________．

【解析】cos 89°cos 31°－cos 1°cos 59°＝cos 89°cos 31°－sin 89°sin 31°＝cos (89°＋31°)＝cos 120°＝－.

答案：―

8．已知α，β为锐角，且cos α＝，cos (α＋β)＝－，则β的值为________．

【解析】因为α是锐角，cos α＝，所以sin α＝＝.

因为α，β均为锐角，所以0<α＋β<π.又cos (α＋β)＝－，所以sin (α＋β)＝＝.

所以cos β＝cos [(α＋β)－α]

＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α

＝·＋·＝.

又因为β为锐角，所以β＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知sin α＝，α∈.

(1)求cos α和tan (α＋π)的值．

(2)求sin 和cos 的值．

【解题指南】(1)利用同角三角函数的基本关系求得cos α的值，再利用诱导公式求得tan (α＋π)的值．

(2)利用两角和差的三角公式求得sin 和cos 的值．

【解析】(1)因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，tan(α＋π)＝tan α＝＝－.

(2)sin ＝sin α＋cos α＝－；

cos ＝cos αcos ＋sin αsin ＝－×＋×＝.

10．已知<β<α<，cos (α－β)＝，sin (α＋β)＝－，求sin 2α的值．

【解析】因为<β<α<，所以π<α＋β<，0<α－β<.所以sin (α－β)＝＝＝.所以cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝－.