高中人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）练习

函数y＝A sin (ωx＋φ)(二)

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知函数y＝A sin ＋2(A＞0)的最大值为5，则A＝(　　)

A．5　　    B．2　    C．3　　    D．4

【解析】选C.ymax＝A＋2＝5，所以A＝3.

2．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝(　　)

A.1    B．2    C．3    D．4

【解析】选D.依题意，得＝x0＋－x0＝，

所以T＝⇒＝，所以ω＝4.

3．将函数y＝3sin 的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象与y轴最近的对称轴方程是(　　)

A．x＝ π     B．x＝－ π

C．x＝      D．x＝－π

【解析】选A.设y＝f(x)＝3sin ，该函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象的解析式为：y＝g(x)＝f＝3sin ＝3sin ，2x＋＝kπ＋(k∈Z)⇒x＝π＋(k∈Z)，它的对称轴为x＝π＋(k∈Z)，显然当k＝0时，对称轴x＝π与y轴最近．

4．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，要得到函数g(x)＝sin 的图象，只需将函数f(x)的图象(　　)

A．向右平移个长度单位

B．向左平移个长度单位

C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位

【解析】选D.由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象可得A＝1，再根据＝×＝－，求得ω＝2，最小正周期T＝π.再根据五点法作图可得2×＋φ＝π，求得φ＝，所以函数f(x)＝sin .

g(x)＝sin ＝sin ，

所以应该向右平移个长度单位．

5．已知函数 f (x)＝cos 2x＋sin 2x的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，下列关于函数y＝g(x)的说法正确的是(　　)

A．图象关于点对称

B．图象关于直线x＝－对称

C．在区间上单调递增

D．最小正周期为2π

【解题指南】利用辅助角公式得f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin ，根据三角函数的对称性、单调性及周期性逐一判断即可．

【解析】选A.f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin ，将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，

则g(x)＝sin ＝sin ，

①令2x＋＝kπ，k∈Z，解得：x＝－(k∈Z)，

当k＝0时，函数图象对称点为：，故选项A正确；

②令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得：x＝－(k∈Z)，

解方程－＝－(k∈Z)，k无解，故选项B错误．

③令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

解得：kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，

即函数增区间为：(k∈Z)，

则函数在区间上单调递减，故选项C错误，

④由T＝＝π，即函数的最小正周期为π，故选项D错误，综合①②③④得选项A正确．

【总结】函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的性质

(1)ymax＝A＋B，ymin＝B－A.

(2)周期T＝.

(3)由ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求对称轴．

(4)由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求增区间；

由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求减区间．

6．(多选题)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则下列式子成立的是(　　)

A．A＝2    B．ω＝2    C．B＝3    D．φ＝

【解析】选A、B、D.根据函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B的图象知，A＝2，B＝2，所以A正确，C错误；

又T＝－＝，所以T＝＝π，解得ω＝2，B正确；

由五点法作图知x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝，

解得φ＝，所以D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示， 则函数f(x)的解析式为________．

【解题指南】观察图象可得A，由周期可得ω值，再将特殊点代入解析式结合φ的范围可得φ值，从而得到函数解析式．

【解析】由题图可知：A＝2，＝＋＝，

所以T＝π，ω＝＝2，f(x)＝2sin (2x＋φ)，

代入点得0＝2sin ，

所以φ＋＝π＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，

因为－π<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin .

答案：f(x)＝2sin

【总结】已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式的注意事项

(1)A＝，B＝.

(2)由函数的周期T求ω.T＝.

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.

8．设函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0).若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________.

【解析】由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知，f(x)有对称中心，由f＝f知f(x)有对称轴x＝×＝π.记f(x)的最小正周期为T，则T≥－，即T≥π.故π－＝＝，解得T＝π.

答案：π

三、解答题

9．(10分)已知函数f(x)＝2sin ωx(cos ωx＋sin ωx)－(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间．

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，5π]上零点的和．

【解析】(1)函数f(x)＝2sin ωx(cos ωx＋sin ωx)－

＝sin 2ωx＋2·－＝2sin (ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，f(x)＝2sin ，

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，可得函数的增区间为，k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象；

再向上平移2个单位长度，得到函数g(x)＝2sin 2x＋2的图象．

令g(x)＝0，求得sin 2x＝－1，2x＝2kπ－，k∈Z，x＝kπ－，k∈Z.

函数g(x)在区间[0，5π]上零点的和为＋＋＋＋＝.

 (35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为(　　)

A．π　　　B．2π　　　C．3π　　　D．4π

【解析】选A.因为y＝sin2x＋(1－cos 2x)＝2sin ＋，所以T＝π.

2．函数y＝sin (2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是(　　)

A．0　　　B．　　　C．　　　D．π

【解析】选C.因为y＝sin (2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f＝f，代入整理得cos φ＝0，所以φ＝.

3．已知ω>0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．　　　　 B．

C．      D．

【解析】选A.方法一：(排除法)因为当ω＝1时，函数f(x)＝sin ＝sin 在上是单调递减的，故排除B，C项；当ω＝2时，函数y＝sin ＝sin 在上不是单调递减的， 故排除D项．

方法二：(直接法)

因为ω>0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则≥，即·≥，得ω≤2，且由≤ωx＋≤得≤x≤，故f(x)在上单调递减，依题意，得≤，≥π，

即≤ω≤，所以ω的取值范围是.

4．(多选题)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)

A．函数f(x)最靠近原点的零点为－

B．函数f(x)的图象在y轴上的截距为

C．函数f是偶函数

D．函数f(x)在上单调递增

【解析】选ABC.根据函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，

设f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，

所以T＝2π，ω＝＝1.

因为f＝2cos ＝2，且|φ|<，所以φ＝－，

故f(x)＝2cos .

令f(x)＝2cos ＝0，得x－＝＋kπ，k∈Z，

即x＝＋kπ，k∈Z，因此函数f(x)最靠近原点的零点为－，故A正确；

由f(0)＝2cos ＝，因此函数f(x)的图象在y轴上的截距为，故B正确；

由f＝2cos (x－π)＝－2cos x，

因此函数f是偶函数，故C正确；

令2kπ－π≤x－≤2kπ，k∈Z，得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，此时函数f(x)单调递增，于是函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，故D不正确．

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．当函数y＝sin x－cos x(0≤x<2π)取得最大值时，x＝________．

【解析】函数可化为y＝2sin ，由x∈[0，2π)得x－∈，所以x－＝时，即x＝时，函数有最大值2.

答案：

6．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．

【解析】因为f(x)＝sin x－2cos x

＝.令cos φ＝，sin φ＝－，

则f(x)＝(sin x cos φ＋sin φcos x)

＝sin (x＋φ)，当x＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋－φ，k∈Z时，f(x)取最大值，此时θ＝2kπ＋－φ，k∈Z，所以cos θ＝cos ＝sin φ＝－.

答案：－

7．若函数y＝cos (ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．

【解析】由已知得＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.

答案：2

8．把函数y＝sin 2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin ；②该函数图象关于点对称；③该函数在上单调递增；④函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.其中，正确判断的序号是________．

【解析】将函数y＝sin 2x的图象向左平移得到y＝sin 2＝sin 的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin 的图象，所以①不正确．y＝f＝2sin ＝2sin π＝0，所以函数图象关于点对称，所以②正确．由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为，k∈Z，

当k＝0时，增区间为，所以③不正确．y＝f(x)＋a＝2sin ＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝2sin ＋a＝－＋a＝，所以a＝2.所以④正确．

答案：②④

三、解答题(共30分)

9．(10分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．

(1)求φ.

(2)如何由函数y＝sin x的图象经过平移或伸缩变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．

【解题指南】(1)由图象得最值、周期、对称轴依次可得A，ω，φ的值．

(2)利用图象的伸缩和平移变换描述即可．

【解析】(1)由图象知A＝1.

f(x)的最小正周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，

将点代入f(x)的解析式得sin ＝1，

又|φ|<，所以φ＝.

(2)由(1)易得函数f(x)的解析式为f(x)＝sin (2x＋)，变换过程如下：

y＝sin x

y＝sin 2x的图象y＝sin (2x＋)的图象

另解：

y＝sin xy＝sin (x＋)的图象

y＝sin (2x＋)的图象．

10．(10分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值．

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

【解析】(1)f(x)＝4cos ωx·sin

＝4cos ωx·

＝2cos ωx·(sin ωx＋cos ωx)

＝2(cos ωx·sin ωx＋cos2ωx)

＝sin2ωx＋cos 2ωx＋

＝2sin ＋.

由题意T＝＝π，所以ω＝1.

(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)＋.

0≤x≤，则≤2x＋≤，

当≤2x＋≤，即0≤x≤时f(x)单调递增；

当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．

11．(10分)已知函数f(x)＝sin (x－)＋cos (x－).g(x)＝2sin2.

(1)若α是第一象限角，且f(α)＝.求g(α)的值．

(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．

【解题指南】(1)对f(α)化简，先求出sinα的值，再求g(α)的值；

(2)将问题转化为f(x)－g(x)≥0即可求解．

【解析】(1)f(α)＝sin (α－)＋cos (α－)

＝sin α－cos α＋cos α＋sin α＝，

所以sin α＝，因为α是第一象限角，

所以cos α＝，g(α)＝1－cos α＝.

(2)f(x)＝sin (x－)＋cos ＝sin x，

g(x)＝2sin2＝1－cosx；因为f(x)≥g(x)，所以sin x≥1－cos x，化简得sin (x＋)≥，所以＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得x的取值集合为.