高中5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂检测题

函数y＝A sin (ωx＋φ)(一)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．将函数y＝2sin 的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝2sin     B．y＝2sin

C．y＝2sin     D．y＝2sin

【解析】选D.由y＝2sin 可知，周期T＝π，所以＝π，

y＝2sin y＝2sin ＝2sin .

2．将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变，得到的函数解析式为(　　)

A．y＝4sin x    B．y＝2sin x

C．y＝sin x     D．y＝sin x

【解析】选B.y＝sin x y＝4×sin x＝2sin x．

3．把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为(　　)

A．y＝sin     B．y＝sin

C．y＝sin     D．y＝sin

【解析】选A.函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变得到y＝sin 2x的图象，再把图象向右平移个单位，

得到y＝sin ＝sin 的图象．

4．要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos 的图象(　　)

A．向左平移个单位    B．向右平移个单位

C．向右平移个单位    D．向左平移个单位

【解析】选C.因为y＝sin x＝cos ＝cos ＝cos ，所以要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos 的图象向右平移个单位．

【补偿训练】

 为了得到函数y＝sin 的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度

【解析】选B.y＝sin ＝cos

＝cos ＝cos ＝cos .

5．将函数y＝sin 的图象向右平移m个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选C.将函数y＝sin 的图象向右平移m(m>0)个单位长度，可得y＝sin ＝sin 的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得－2m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝－－，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为.

6．(多选题)为了得到函数y＝2sin2x的图象，下列变换正确的是(　　)

A．将函数y＝(sinx＋cos x)2的图象向右平移个单位

B．将函数y＝1－cos 2x的图象向左平移个单位

C．将函数y＝2sin2的图象向右平移个单位

D．将函数y＝2sin2的图象向左平移个单位

【解析】选A、C.函数y＝2sin2x＝1－cos2x，

将函数y＝(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝1＋sin 2＝1＋sin ＝1－cos 2x，故A正确．将函数y＝1－cos 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝1－cos ＝1＋sin 2x，故B不正确．将函数y＝2sin2＝1－cos的图象向右平移个单位，得到y＝1－cos ＝1－cos 2x，故C正确，D不正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到的解析式是________．

【解析】y＝sin xy＝sin×(4x)＝sin 2x.

答案：y＝sin 2x

8．将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．

【解题指南】先将y＝sin x的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍即可得到函数f(x)的图象．

【解析】y＝sin xy

＝sin y＝sin ，

故f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．将y＝sin x的图象怎样变换得到函数y＝2sin ＋1的图象？说明变换过程．

【解析】方法一：

①把y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度，

得y＝sin 的图象；

②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得

y＝sin 的图象；

③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得

y＝2sin 的图象；

④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到

y＝2sin ＋1的图象．

方法二：①把y＝sin x的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得

y＝2sin x的图象；

②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y＝2sin 2x的图象；

③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度得

y＝2sin 2的图象；

④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y＝2sin ＋1的图象．

【易错提醒】无论哪种变换都是针对变量x而言的．由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是

y＝sin 2而不是y＝sin ，

把y＝sin 的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式是y＝sin 而不是y＝sin 2.

10．将函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y＝sin x的图象．求y＝f(x)的最小正周期和单调递增区间．

【解析】函数y＝sin x的图象向下平移1个单位得到y＝sin x－1，横坐标缩短到原来的倍得y＝sin x－1，然后向右移1个单位得y＝sin －1，所以函数y＝f(x)的最小正周期为T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z⇒6k－≤x≤6k＋，k∈Z，所以y＝f(x)的递增区间是，k∈Z.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．要得到y＝cos 的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【解析】选A.y＝sin 2x＝cos

＝cos ＝cos ＝cos [2－].

若设f(x)＝sin 2x＝cos ，

则f＝cos ，所以向左平移个单位长度．

2．将函数f(x)＝sin 的图象左移个单位长度，再将图象上各点横坐标变为原来的，则所得到的图象的解析式为(　　)

A．y＝sin x        B．y＝sin

C．y＝sin      D．y＝sin

【解析】选B.函数f(x)＝sin 的图象左移个单位长度得到f(x)＝sin ，再将图象上各点横坐标变为原来的得到y＝sin .

3．已知函数f(x)＝sin 2x向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)，下列关于y＝g(x)的说法正确的是(　　)

A．图象关于点中心对称

B．图象关于x＝－轴对称

C．在区间上单调递增

D．在区间上单调递减

【解析】选C.函数f(x)＝sin 2x向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin 2，

即f(x)＝sin ，令x＝－，得f＝－sin ≠0，A不正确；令x＝－，得f＝sin 0＝0≠±1，B不正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为，k∈Z，

同理，减区间为，k∈Z，

当k＝0时，⊆.

【补偿训练】

把函数f(x)＝sin 的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数g(x)的图象，则g＝(　　)

A．－　　　B．　　　C．　　　D．1

【解析】选C.函数f(x)＝sin 的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所以g(x)＝sin ，所以g＝sin ＝.

4．(多选题)如果由函数y＝sin x＋cos x的图象变换得到函数y＝cos 2x－sin 2x的图象，那么下列变换正确的是(　　)

A. 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍

B. 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半

C．向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的

D．将横坐标缩短到原来的一半，再向左平移个单位

【解析】选C、D.由辅助公式，得函数y＝sin x＋cos x＝2sin ，函数y＝cos 2x－sin 2x＝2sin .

若函数y＝2sin 图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin ，故A不正确．

若函数y＝2sin 图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到y＝2sin ，故B不正确．

若将函数y＝2sin 图象向左平移个单位，得到函数y＝2sin ，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝2sin ，故C正确．若将函数y＝2sin 图象的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝2sin ，再向左平移个单位，得到函数y＝2sin ＝2sin ，故D正确．

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．将余弦型曲线y＝cos 2x向右平移φ个单位长度得到正弦型曲线y＝sin 2x，则正数φ的最小值为________．

【解析】将余弦型曲线y＝cos 2x向右平移φ个单位长度得到正弦型曲线y＝sin 2x，则y＝cos 2(x－φ)＝sin 2x，得cos (2x－2φ)＝cos ，k∈Z，所以－2φ＝－＋2kπ，k∈Z，得φ＝－kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝为所求．

答案：

6．函数y＝cos (2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin 的图象重合，则φ＝________．

【解析】函数y＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位，得到y＝sin 的图象，即y＝sin (2x＋)的图象向左平移个单位得到函数y＝cos (2x＋φ)的图象，y＝sin 的图象向左平移个单位，

y＝sin  ＝sin

＝－sin

＝cos

得到＝cos ，因为－π≤φ＜π，所以φ＝.

答案：

7．利用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，周期T＝________．

【解析】由题知A＝，T＝2＝π.

答案：　π

8．要得到y＝sin 的图象，需将函数y＝sin 的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．

【解析】设至少向左平移φ(φ＞0)个单位长度，则y＝sin y＝sin (x＋φ)，令＝2kπ＋(k∈Z)，则φ＝4kπ＋，当k＝0时，φ＝是φ的最小正值．

答案：

三、解答题(共30分)

9．(10分)如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝sin 的图象．

【解析】y＝sin xy＝sin

y＝sin

y＝sin .

10．(10分)用“五点法”画函数y＝3sin ，x∈的图象．

【解析】①列表：

②描点：在坐标系中描出下列各点：

，，，，.

③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin ，x∈的简图，如图所示．

11．(10分)将函数y＝lg x的图象向左平移1个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．

(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象．

(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

【解析】函数y＝lg x的图象向左平移1个单位长度，可得函数f(x)＝lg (x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos ＝cos 2x的图象，即图象C2.

(1)画出图象C1和C2的图象如图．

(2)由图象可知：两个图象共有5个交点，

即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.