人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用巩固练习

三角函数的应用

(25分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝101＋25sin (16πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则下列说法正确的是(　　)

A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值

B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值

C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值

D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值

【解析】选C.由三角函数知识，函数p(t)的最大值(即收缩压)为126，函数p(t)的最小值(即舒张压)为76，比较得：收缩压高于标准值，舒张压低于标准值．

2．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　)

A．ω＝，A＝5    B．ω＝，A＝3

C．ω＝，A＝3    D．ω＝，A＝5

【解析】选B.因为水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2米，

A＝3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以w＝.

3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A．[0，5]　　　　　    B．[5，10]

C．[10，15]　　　　    D．[15，20]

【解析】选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π].

4.(多选题)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin (ωt＋φ)的图象如图所示，则t＝秒时，电流强度I＝(　　)

A．最大电流为10安

B．电流出现最大值的最短时间为s

C．当t＝秒时，电流强度I＝5安

D．当t＝秒时，电流强度I＝－5安

【解析】选ABD.由函数图象得A＝10，T＝2＝，ω＝＝100π，

所以I＝10sin (100πt＋φ)，由函数图象经过点，代入函数解析式，得10＝10sin ，即sin ＝1，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<，所以φ＝，所以I＝10sin ，当t＝秒时电流强度I＝10sin ＝―5.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是________．

【解析】因为T＝＝，所以此人每分钟心跳的次数为f＝＝80.

答案：80

6．弹簧上挂着的小球上下振动时，小球离开平衡位置的

位移y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动(即t＝0)时离开平衡位置的位移是________cm.

【解析】设曲线对应的函数解析式为f(t)＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0).

由题图可知，A＝6，T＝2＝π，则ω＝2，

从而f(t)＝6sin (2t＋φ).

因为t＝是f(t)的第一个最大值点，所以2×＋φ＝，即φ＝.

所以f(t)＝6sin ，所以f(0)＝6sin ＝3.

即小球开始振动时离开平衡位置的位移是3 cm.

答案：3

三、解答题

7．(10分)一个大风车的半径为8米，12分钟逆时针旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点(从最低点开始旋转)离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式．

【解析】以最低点的切线为x轴，最低点为原点，建立直角坐标系．设P(x(t)，y(t))，则h(t)＝y(t)＋2，又设P的初始位置在最低点，即y(0)＝0，如图，

在Rt△O1PQ中，∠QO1P＝θ，cos θ＝，

所以y(t)＝－8cos θ＋8，由于角速度为rad/min＝rad/min，故θ＝trad/min，所以y(t)＝－8cos t＋8，所以h(t)＝－8cos t＋10.

(25分钟　45分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置P(x，y).若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t(秒)的函数关系式为(　　)

A．y＝sin      B．y＝sin

C．y＝sin     D．y＝sin

【解析】选C.因为秒针每秒转动，而初始相位为tan φ＝且初始位置为P0，所以φ＝，且秒针从P0(此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，所以y＝sin .

2.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　)

A．，     B．2，   C．，π     D．2，π

【解析】选A.当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.

3．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝2sin ＋5(1≤x≤12，x∈N*)

B．f(x)＝7sin ＋5(1≤x≤12，x∈N*)

C．f(x)＝7sin ＋5(1≤x≤12，x∈N*)

D．f(x)＝2sin ＋5(1≤x≤12，x∈N*)

【解析】选D.根据题意，T＝2(7－3)＝8，

ω＝＝，由得

当x＝3时，2sin ＋5＝7，得φ＝－.

所以f(x)＝2sin ＋5(1≤x≤12，x∈N*).

4.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)

A．该质点的振动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

【解析】选D.该质点振动周期为0.8 s，振幅为5 cm，故A，B错误．该质点在0.1 s和0.5 s时的速度为零，故C错误．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零．

二、填空题(每小题5分，共15分)

5. 已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数为________.

【解析】因为周期T＝ s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.

答案：25

6．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，估计可得盈利最大的月份是______．

【解析】由已知条件可得，出厂价格函数关系式为

y1＝2sin ＋6，销售价格函数关系式为

y2＝2sin ＋8，则利润函数关系式为y＝m(y2－y1)

＝m

＝－2m sin x＋2m.当x＝6时y＝2m＋2m＝(2＋2)m，即6月份盈利最大．

答案：6

【补偿训练】

 一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若弹簧振子运动的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________.

【解析】由题意得A＝3，T＝，φ＝，则ω＝＝7，故所求函数解析式为y＝3sin .

答案：y＝3sin

7．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如表所示：

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是______元．

【解析】因为y＝500sin (ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，

所以当x＝1时，500sin (ω＋φ)＋9 500＝10 000；

当x＝2时，500sin (2ω＋φ)＋9 500＝9 500，

所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin ＋9 500.

当x＝3时，y＝9 000.

答案：9 000

三、解答题

8．(10分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cos t－sin t，t∈[0，24).

(1)求实验室这一天的最大温差．

(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

【解析】(1)因为f(t)＝10－2

＝10－2sin ，又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin ＝1；当t＝14时，sin ＝－1.

于是f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin ，故有10－2sin >11，即sin <－.

又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.

【补偿训练】

1.青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos (ωt)＋b的图象的一部分．

(1)根据以上数据，求函数y＝A cos (ωt)＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式．

(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

【解析】(1)由表中数据，知周期T＝12，

所以ω＝＝＝，由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0，得b＝1，

所以A＝0.5，所以振幅为，y＝cos t＋1.

(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，

令cos t＋1＞1，即cos t＞0，

所以2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，

即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.　①

因为0≤t≤24，故可令①中的k分别为0，1，2，

得0≤t＜3，或9＜t＜15，或21＜t≤24.

所以在规定时间8：00到20：00之间，有6小时的时间可供冲浪者运动，即9：00到15：00.

2.弹簧挂着的小球做上下振动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sin ，t∈[0，＋∞).

(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．

(2)小球开始振动的位置在哪里？

(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？

(4)小球经过多长时间往复振动一次？

(5)小球1 s能振动多少次？

【解析】(1)画出h＝2sin 的简图(长度为一个周期).

按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，即得h＝2sin (t≥0)在一个周期的简图如图所示．

(2)t＝0时，h＝2sin ＝－，即小球开始振动时的位置为(0，－)(平衡位置的下方cm处).

(3)t＝＋kπ(k∈N)时，h＝2；t＝＋kπ(k∈N)时h＝－2.

即最高点位置，最低点位置，k∈N，

最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.

(4)小球往复振动一次所需时间即周期，T＝＝π≈3.14s.

(5)小球1 s振动的次数为频率，f＝＝≈≈0.318次/s.