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专题1.4回归基础篇（ 数列）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）
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这是一份专题1.4回归基础篇（ 数列）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）
专题1.4 数列 ——上海最新真题模拟题50题精选一、单选题1．（2020·上海奉贤区·高三一模）一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有A．个 B．个 C．个 D．无穷多个【答案】D【分析】通过举特例可以选出正确答案.【详解】例如数列：，显然值为3的项数有无穷多个.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.2．（2020·上海青浦区·高三二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列.设是前天两只老鼠打洞长度的和.第天，；第天，；第天，；第天，，显然大于.所以两鼠相逢需要的最少天数为天.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．（2020·上海奉贤区·高三一模）由个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的有①第列中的必成等比数列；②第列中的不一定成等比数列；③；A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有.、、分别为：，它们成等比数列，因此有：，因此说法①正确；题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法③正确；当显然符合已知条件，所以说法②正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用.4．（2017·上海高考真题）在数列中，，，则A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在【答案】B【详解】 数列中，，则，故选B.5．（2020·上海普陀区·高三三模）记为数列的前项和．“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系.【详解】当时，则，，则“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的充分条件；如数列为、、、、、，显然数列是递增数列，但是不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数，均有”不是“为递增数列”的必要条件，因此，“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用与求得,再根据渐近线方程为求解即可.【详解】由得.又即,故,故双曲线渐近线为故选C【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型.7．（2020·上海黄浦区·高三二模）已知，是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是．A．单调递增数列且 B．单调递减数列且C．单调递增数列且 D．单调递减数列且【答案】A【分析】设，，，设向量与夹角为,则可求，，则可得到，从而得到答案.【详解】设，，，设向量与夹角为.则，由，可得，由，可得所以所以所以数列是单调递增数列，又.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.8．（2020·上海徐汇区·高三二模）若数列的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得,分别讨论为奇数和为偶数的情况,即可求解.【详解】因为,则,即,因为对任意恒成立,当为奇数时,,则,所以；当为偶数时,,则,所以,故,故选:B【点睛】本题考查由数列的不等式恒成立问题求参数范围,考查分类讨论思想.9．（2020·上海杨浦区·高三二模）设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.命题的真假情况为（ ）A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题【答案】D【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．【详解】设；则，也就是，即是以11为周期的数列.而.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个.若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.故选：D．【点睛】本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．10．（2020·上海静安区·高三二模）当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约参考数据：.A．7天 B．10天 C．13天 D．16天【答案】C【分析】利用数列表示出题目的已知条件，由可求得的最小值，从而求得发生“医疗资源挤兑”现象的时间.【详解】设，，，，即，.则，，即数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以. 令，化简得，根据参考数据可知时，发生“医疗资源挤兑”现象.故选：C【点睛】本小题主要考查数列在实际生活中的应用，考查递推数列求通项，属于中档题.11．（2020·上海高三一模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的 ，即 .可得：，，任意的，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.12．（2017·上海高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.13．（2021·上海金山区·高三一模）已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求出、的值，再利用函数的奇偶性和周期性的性质可求得结果.【详解】对任意的，.当时，，解得；当时，由可得，上述两式作差得，即，所以，，所以，数列是首项为为首项，以为公比的等比数列，所以，，即，，，因为函数是定义在上的奇函数，则，函数满足，，所以，，，因此，.故选：C【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.14．（2021·上海松江区·高三一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．【详解】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.二、填空题15．（2020·上海杨浦区·高三二模）若是无穷等比数列，首项，则的各项的和_______.【答案】.【分析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键．16．（2020·上海）已知无穷数列，，则数列的各项和为______.【答案】【分析】用定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，利用公式计算可得答案.【详解】因为，所以，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的各项和为.故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的各项和的公式，属于基础题.17．（2020·上海嘉定区·高三二模）设各项均为正数的等比数列的前项和为，则______．【答案】63.【分析】先由,求出等比数列的公比，再和等比数列的前项和公式求出【详解】由，得．故答案为: 63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于容易题.18．（2020·上海虹口区·高三一模）计算：___________.【答案】【分析】将所求代数式变形为，利用常见数列的极限可求得结果.【详解】将所求代数式变形为.故答案为：.19．（2020·上海奉贤区·高三一模）等差数列中，公差为，设是的前项之和，且，计算__________.【答案】【分析】下利用等差数列的通项公式和前项和公式将用，和表示，再结合求极限即可.【详解】因为是等差数列，所以 ，，所以，因为，所以，所以，故答案为：20．（2018·上海高考真题）记等差数列的前项和为，若，，则____．【答案】14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．21．（2021·上海松江区·高三一模）________.【答案】【分析】利用数列极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以,属于基础题．22．（2021·上海静安区·高三一模）某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)【答案】14【分析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得，即可求出n的最小值.【详解】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，则，整理得：，又∵为正整数，∴当时，；当时，，∴n的最小值为14，即这次募捐活动至少需要14天．故答案为：14.23．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知是和的等差中项，是和的等比中项，则___________.【答案】【分析】利用等差中项求得，利用等比中项求得，代入即可得解.【详解】由是和的等差中项，得，解得：由是和的等比中项，得，解得：故答案为：524．（2020·上海杨浦区·高三一模）已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则________.【答案】【分析】因为的通项公式为,可得,即可求得答案.【详解】的通项公式为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.25．（2020·上海普陀区·高三一模）各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则________.【答案】8【分析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得，再由等比数列的通项公式结合求解的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列满足，，化为：，数列是等比数列，且，．故答案为：8．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2020·上海高三一模）已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______【答案】【分析】、均是等差数列，故为二次函数，设，根据前3项，求出，，的值，即可得到．【详解】解：因为、均是等差数列，其通项公式均为关于的一次式，所以为关于的二次式，故设，，，则，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．27．（2020·上海徐汇区·位育中学）已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.28．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________【答案】1或【分析】由、、成等比数列，列方程找出，从而可求出公比【详解】解：设等差数列的公差为，因为、、成等比数列，所以，即，化简得， 或当时，等差数列的每一项都相等，所以、、成等比数列时的公比为1当时，，所以，所以等比数列的公比为1或5故答案为：1或【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题29．（2020·上海浦东新区·高三二模）若二项式展开式的第项的值为，则__．【答案】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：，解得，再由等比数列求和公式，得：，从而极限可求.【详解】由已知可得：，即，解得，，.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.30．（2020·上海金山区·高三二模）设为的展开式的各项系数之和，，（表示不超过实数的最大整数），则的最小值为__________【答案】【分析】令可得，则，构造函数可得，进而可得，转化原条件可得所求即为点到点的距离的平方的最小值，再由点在曲线上，点直线上，联立方程后，求出交点后即可得解.【详解】令，则，，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为或，又，，即，，，，，表示点到点的距离的平方，点在曲线上，点直线上，由解得或（舍去），当时，点到直线的距离，当时，点到直线的距离，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义下二项式定理、数列及导数的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.31．（2020·上海静安区·高三月考）设()是函数的图像上的点，直线与直线的交点为， 的面积为，则的值为_________.【答案】1【分析】先求出，再求出，最后求得解.【详解】因为()是函数的图像上的点，所以，所以直线与直线的交点为，所以.所以.所以的面积，所以.所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．（2020·上海静安区·高三月考）设由复数组成的数列满足：对任意的，都有(是虚数单位)，则数列的前2020项和的值为_________.【答案】0【分析】根据等比数列的定义和通项公式得前n项和公式，可求得，再运用可得答案.【详解】设数列的首项为，数列的前n项和为，则由已知得，所以，而，所以，故答案为：0.【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前n项和，复数的运算，关键在于运用等比数列的前n项公式求和， ，，属于中档题.33．（2020·上海市进才中学高三月考）已知数列的首项为，且满足，则下列命题：①是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________【答案】②③【分析】对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.【详解】对于①，由得：，又，是首项为，公比为的等比数列，①错误；对于②，由①知：，，，是递增数列，②正确；对于③，由②知：，单调递减，单调递增，，当时，，，即，由零点存在定理知③正确；综上所述：正确的命题序号为②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.34．（2020·上海浦东新区·高三三模）已知（），且，则________【答案】【分析】令，得到，再代入到已知可得，根据等比数列前项和公式求得，进而求极限即可；【详解】解：因为，令，即，可得所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用赋值法求二项式张开式的系数和以及数列极限的求解，属于中档题.35．（2020·上海普陀区·高三三模）若实数a､b､c满足，则a､b､c是调和的，设含有三个元素的集合是集合 的子集，当集合中的元素a､b､c既是等差的又是调和的时候，称集合P为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是__________.【答案】【分析】由已知求得集合P，确定其个数，根据古典概率公式可求得答案．【详解】因为，且，所以，所以（舍去）或，所以，所以，又解得，且，所以三元子集中“好集”P共1010个，所求的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查集合的新定义，理解其含义是关键，将问题转化为方程组和不等式的问题，属于中档题．36．（2020·上海市建平中学高三月考）在数字，，，，（）的任意一个排列：，，，，中，如果对于，，，有，那么就称为一个逆序对.记排列中逆序对的个数为.对于数字，，，，（）的一切排列，则所有的算术平均数为______.【答案】【分析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列中的数对共有个，进而求得结果.【详解】排列：，，，，与排列：，，，…，，，因为数对与中必有一个为逆序对，且排列中的数对共有个，所以，所以所有的算术平均数为.故答案为：.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.37．（2020·上海青浦区·高三一模）记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和_________.【答案】；【分析】可直接利用列举法，分别确定出在，，，2，3，，中每个区间内含有项的个数，然后相加即可．【详解】对于区间，，，，可知：（1）当，2时，区间内不含项，故，共2项；（2）当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项；（3）当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项；（4）当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项；（5）当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项．故．故答案为：284．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解为数列在区间中的项的个数这一属性，然后利用列举法求解.38．（2020·上海虹口区·高三一模）若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________.【答案】【分析】由已知条件可得，，由基本不等式可得，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得与的值，即可得解.【详解】由已知条件可得，，由基本不等式可得，所以，，由于、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则有，解得，所以，，，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定、的关系，结合已知条件得出关于、的方程组求解，进而可求得与的值.39．（2020·上海嘉定区·高三一模）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使.则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.【详解】由题意得则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以即因此当或5时，的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键，属于中档题.40．（2020·上海闵行区·高三一模）已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据函数的解析式，分别求得，得出，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以， 当时，，此时函数的最大值为，所以，当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点拨：根据函数的解析式，分别求得各段上相应的最大值，得出，结合等差数列的求和公式进行计算.41．（2020·上海杨浦区·高三一模）平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点(其中，)是曲线上的点，原点到直线的距离为，则____________.【答案】【分析】由双曲线定义可知的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线的方程，再由点到直线的距离公式求解．【详解】设曲线上的点为，由题意，，则曲线为双曲线的右支，焦点坐标为，，，，，，双曲线方程为．所以渐近线方程为，而点（其中，是曲线上的点，当时，直线的斜率趋近于，即．则，即．．故答案为：．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）定义法（根据已知分析得到动点的轨迹是某一种圆锥曲线再求解）；（2）直接法；（3）相关点代入法.42．（2017·上海高考真题）已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【详解】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.43．（2018·上海高考真题）设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则______．【答案】3【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【详解】等比数列{an}的通项公式为a=qn﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，an+1=qn．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题44．（2020·上海）据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，根据题意列式，可得，再求出和即可得到答案.【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，所以今年一共建设基站万个，所以今年底全国共有基站万个.（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，则，即，解得，所以万个， 万个.所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站才能完成计划.【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.45．（2020·上海静安区·高三一模）设是等差数列，公差为，前项和为.（1）设，，求的最大值.（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）2020（2）【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a1＝40，a6＝38，可得d，可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；当d＜0时，Tn，对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，解得d≤．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．46．（2020·上海杨浦区·高三二模）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除【分析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数，比较它们的大小可得结论；（2）由（1）可知，最优策略为策略，得，凑配出数列是等比数列，求得通项，由可解得的最小值．【详解】（1）由题意可知，使用策略时，；使用策略时，令，即当时，使用策略第二周严重程度更小；当时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当时，使用策略第二周严重程度更小.（2）由（1）可知，最优策略为策略，即，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式求通项公式的方法是解题基础．47．（2020·上海杨浦区·高三一模）设数列与满足：的各项均为正数，.（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，，公比为由解得，数列的通项公式为.（2）证明：反证法，设存在则，此时公比，考虑不等式当时，即时，有(其中表示不超过x的最大整数)，这与的值域为矛盾假设不成立，得证（3）解：，由等差数列性质即，特别地，，现考虑的最大值为使取最大值，应有，否则在中将替换为，且，将得到一个更大的由可知，特别地，；于是解得，所以的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．48．（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 49．（2019·上海高考真题）已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且 （2）由题意可知则 且 或又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.50．（2021·上海静安区·高三一模）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求证：()；（3）设，请用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；（3）利用数学归纳法可以证明.【详解】解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，由，得解得，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可得，再由已知，得，解得，由题意舍去..由指数函数的性质，有().（3）(i)当时，，等式成立.(ii)假设当时等式成立，即，当时，，等式成立.根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．(3)数学归纳法用来解决与自然数n有关的问题.
专题1.4 数列 ——上海最新真题模拟题50题精选一、单选题1．（2020·上海奉贤区·高三一模）一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有A．个 B．个 C．个 D．无穷多个【答案】D【分析】通过举特例可以选出正确答案.【详解】例如数列：，显然值为3的项数有无穷多个.故选：D【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.2．（2020·上海青浦区·高三二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢?”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢需要的最少天数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求得前几天两只老鼠打洞长度的和，由此确定需要的天数.【详解】依题意可知，大老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列；大小老鼠每天打洞的长度是首项，公比为的等比数列.设是前天两只老鼠打洞长度的和.第天，；第天，；第天，；第天，，显然大于.所以两鼠相逢需要的最少天数为天.故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列，考查中国古代数学文化，属于基础题.3．（2020·上海奉贤区·高三一模）由个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的有①第列中的必成等比数列；②第列中的不一定成等比数列；③；A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有.、、分别为：，它们成等比数列，因此有：，因此说法①正确；题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法③正确；当显然符合已知条件，所以说法②正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用.4．（2017·上海高考真题）在数列中，，，则A．等于 B．等于0 C．等于 D．不存在【答案】B【详解】 数列中，，则，故选B.5．（2020·上海普陀区·高三三模）记为数列的前项和．“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系.【详解】当时，则，，则“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的充分条件；如数列为、、、、、，显然数列是递增数列，但是不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数，均有”不是“为递增数列”的必要条件，因此，“对任意正整数，均有”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用与求得,再根据渐近线方程为求解即可.【详解】由得.又即,故,故双曲线渐近线为故选C【点睛】本题主要考查了裂项相消求和与双曲线的渐近线方程等,属于基础题型.7．（2020·上海黄浦区·高三二模）已知，是互相垂直的单位向量，向量满足：，，是向量与夹角的正切值，则数列是．A．单调递增数列且 B．单调递减数列且C．单调递增数列且 D．单调递减数列且【答案】A【分析】设，，，设向量与夹角为,则可求，，则可得到，从而得到答案.【详解】设，，，设向量与夹角为.则，由，可得，由，可得所以所以所以数列是单调递增数列，又.故选：A【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示和运算和数列极限，关键是根据直条件将所求问题坐标化，属于中档题.8．（2020·上海徐汇区·高三二模）若数列的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得,分别讨论为奇数和为偶数的情况,即可求解.【详解】因为,则,即,因为对任意恒成立,当为奇数时,,则,所以；当为偶数时,,则,所以,故,故选:B【点睛】本题考查由数列的不等式恒成立问题求参数范围,考查分类讨论思想.9．（2020·上海杨浦区·高三二模）设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.命题的真假情况为（ ）A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题【答案】D【分析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．【详解】设；则，也就是，即是以11为周期的数列.而.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个.若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个.故选：D．【点睛】本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．10．（2020·上海静安区·高三二模）当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约25%，但每日大约有200名新冠肺炎患者治愈出院，已知该市某天下班后有1000名新冠肺炎患者住院治疗，该市的医院共可收治4000名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎疫情发生“医疗资源挤兑”现象，只需要约参考数据：.A．7天 B．10天 C．13天 D．16天【答案】C【分析】利用数列表示出题目的已知条件，由可求得的最小值，从而求得发生“医疗资源挤兑”现象的时间.【详解】设，，，，即，.则，，即数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以. 令，化简得，根据参考数据可知时，发生“医疗资源挤兑”现象.故选：C【点睛】本小题主要考查数列在实际生活中的应用，考查递推数列求通项，属于中档题.11．（2020·上海高三一模）设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的 ，即 .可得：，，任意的，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的，即.∴，，任意的，∴，或.∴“为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.12．（2017·上海高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.13．（2021·上海金山区·高三一模）已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求出、的值，再利用函数的奇偶性和周期性的性质可求得结果.【详解】对任意的，.当时，，解得；当时，由可得，上述两式作差得，即，所以，，所以，数列是首项为为首项，以为公比的等比数列，所以，，即，，，因为函数是定义在上的奇函数，则，函数满足，，所以，，，因此，.故选：C【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.14．（2021·上海松江区·高三一模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得数列为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n项和公式可得，由二次函数的性质可得或5时，取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．【详解】解：由已知可得，由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，所以，当n=4或5时， 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n满足，所以满足条件的和，因为，所以实数k的取值范围是．故选：C．【点睛】方法点睛：最值范围问题常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.二、填空题15．（2020·上海杨浦区·高三二模）若是无穷等比数列，首项，则的各项的和_______.【答案】.【分析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键．16．（2020·上海）已知无穷数列，，则数列的各项和为______.【答案】【分析】用定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，利用公式计算可得答案.【详解】因为，所以，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的各项和为.故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列的各项和的公式，属于基础题.17．（2020·上海嘉定区·高三二模）设各项均为正数的等比数列的前项和为，则______．【答案】63.【分析】先由,求出等比数列的公比，再和等比数列的前项和公式求出【详解】由，得．故答案为: 63【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于容易题.18．（2020·上海虹口区·高三一模）计算：___________.【答案】【分析】将所求代数式变形为，利用常见数列的极限可求得结果.【详解】将所求代数式变形为.故答案为：.19．（2020·上海奉贤区·高三一模）等差数列中，公差为，设是的前项之和，且，计算__________.【答案】【分析】下利用等差数列的通项公式和前项和公式将用，和表示，再结合求极限即可.【详解】因为是等差数列，所以 ，，所以，因为，所以，所以，故答案为：20．（2018·上海高考真题）记等差数列的前项和为，若，，则____．【答案】14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为14．【点睛】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．21．（2021·上海松江区·高三一模）________.【答案】【分析】利用数列极限的运算法则化简求解即可．【详解】解：故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算法则的应用，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以,属于基础题．22．（2021·上海静安区·高三一模）某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)【答案】14【分析】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，利用等差数列的前n项和公式可得，即可求出n的最小值.【详解】由题意可知，捐款数构成一个以15为首项，以10为公差的等差数列，设要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要n天，则，整理得：，又∵为正整数，∴当时，；当时，，∴n的最小值为14，即这次募捐活动至少需要14天．故答案为：14.23．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知是和的等差中项，是和的等比中项，则___________.【答案】【分析】利用等差中项求得，利用等比中项求得，代入即可得解.【详解】由是和的等差中项，得，解得：由是和的等比中项，得，解得：故答案为：524．（2020·上海杨浦区·高三一模）已知数列的通项公式为，是数列的前项和，则________.【答案】【分析】因为的通项公式为,可得,即可求得答案.【详解】的通项公式为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了数列极限运算,解题关键掌握数列极限的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.25．（2020·上海普陀区·高三一模）各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则________.【答案】8【分析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得，再由等比数列的通项公式结合求解的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列满足，，化为：，数列是等比数列，且，．故答案为：8．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（2020·上海高三一模）已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______【答案】【分析】、均是等差数列，故为二次函数，设，根据前3项，求出，，的值，即可得到．【详解】解：因为、均是等差数列，其通项公式均为关于的一次式，所以为关于的二次式，故设，，，则，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．27．（2020·上海徐汇区·位育中学）已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.28．（2020·上海奉贤区·高三二模）已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________【答案】1或【分析】由、、成等比数列，列方程找出，从而可求出公比【详解】解：设等差数列的公差为，因为、、成等比数列，所以，即，化简得， 或当时，等差数列的每一项都相等，所以、、成等比数列时的公比为1当时，，所以，所以等比数列的公比为1或5故答案为：1或【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题29．（2020·上海浦东新区·高三二模）若二项式展开式的第项的值为，则__．【答案】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：，解得，再由等比数列求和公式，得：，从而极限可求.【详解】由已知可得：，即，解得，，.故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及求极限，考查了计算能力，属于中档题.30．（2020·上海金山区·高三二模）设为的展开式的各项系数之和，，（表示不超过实数的最大整数），则的最小值为__________【答案】【分析】令可得，则，构造函数可得，进而可得，转化原条件可得所求即为点到点的距离的平方的最小值，再由点在曲线上，点直线上，联立方程后，求出交点后即可得解.【详解】令，则，，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为或，又，，即，，，，，表示点到点的距离的平方，点在曲线上，点直线上，由解得或（舍去），当时，点到直线的距离，当时，点到直线的距离，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义下二项式定理、数列及导数的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.31．（2020·上海静安区·高三月考）设()是函数的图像上的点，直线与直线的交点为， 的面积为，则的值为_________.【答案】1【分析】先求出，再求出，最后求得解.【详解】因为()是函数的图像上的点，所以，所以直线与直线的交点为，所以.所以.所以的面积，所以.所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查数列的极限的计算，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．（2020·上海静安区·高三月考）设由复数组成的数列满足：对任意的，都有(是虚数单位)，则数列的前2020项和的值为_________.【答案】0【分析】根据等比数列的定义和通项公式得前n项和公式，可求得，再运用可得答案.【详解】设数列的首项为，数列的前n项和为，则由已知得，所以，而，所以，故答案为：0.【点睛】本题考查等比数列的定义，等比数列的前n项和，复数的运算，关键在于运用等比数列的前n项公式求和， ，，属于中档题.33．（2020·上海市进才中学高三月考）已知数列的首项为，且满足，则下列命题：①是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________【答案】②③【分析】对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.【详解】对于①，由得：，又，是首项为，公比为的等比数列，①错误；对于②，由①知：，，，是递增数列，②正确；对于③，由②知：，单调递减，单调递增，，当时，，，即，由零点存在定理知③正确；综上所述：正确的命题序号为②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查数列与函数综合应用问题，涉及到利用递推关系式证明数列为等比数列、根据递推关系式求解数列通项公式和确定数列增减性、零点存在定理的应用等知识；解题关键是能够熟练掌握数列增减性和函数单调性的判断方法.34．（2020·上海浦东新区·高三三模）已知（），且，则________【答案】【分析】令，得到，再代入到已知可得，根据等比数列前项和公式求得，进而求极限即可；【详解】解：因为，令，即，可得所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用赋值法求二项式张开式的系数和以及数列极限的求解，属于中档题.35．（2020·上海普陀区·高三三模）若实数a､b､c满足，则a､b､c是调和的，设含有三个元素的集合是集合 的子集，当集合中的元素a､b､c既是等差的又是调和的时候，称集合P为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是__________.【答案】【分析】由已知求得集合P，确定其个数，根据古典概率公式可求得答案．【详解】因为，且，所以，所以（舍去）或，所以，所以，又解得，且，所以三元子集中“好集”P共1010个，所求的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查集合的新定义，理解其含义是关键，将问题转化为方程组和不等式的问题，属于中档题．36．（2020·上海市建平中学高三月考）在数字，，，，（）的任意一个排列：，，，，中，如果对于，，，有，那么就称为一个逆序对.记排列中逆序对的个数为.对于数字，，，，（）的一切排列，则所有的算术平均数为______.【答案】【分析】由题中逆序对的概念，运用组合数知识可得排列中的数对共有个，进而求得结果.【详解】排列：，，，，与排列：，，，…，，，因为数对与中必有一个为逆序对，且排列中的数对共有个，所以，所以所有的算术平均数为.故答案为：.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列和排列组合的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.37．（2020·上海青浦区·高三一模）记为数列在区间中的项的个数，则数列的前项的和_________.【答案】；【分析】可直接利用列举法，分别确定出在，，，2，3，，中每个区间内含有项的个数，然后相加即可．【详解】对于区间，，，，可知：（1）当，2时，区间内不含项，故，共2项；（2）当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项；（3）当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项；（4）当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项；（5）当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项．故．故答案为：284．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确理解为数列在区间中的项的个数这一属性，然后利用列举法求解.38．（2020·上海虹口区·高三一模）若、分别是正数、的算术平均数和几何平均数，且、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值形成的集合是___________.【答案】【分析】由已知条件可得，，由基本不等式可得，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，可求得与的值，即可得解.【详解】由已知条件可得，，由基本不等式可得，所以，，由于、、这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则有，解得，所以，，，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定、的关系，结合已知条件得出关于、的方程组求解，进而可求得与的值.39．（2020·上海嘉定区·高三一模）设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使.则的最小值为___________.【答案】【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.【详解】由题意得则得，即，令得，即①，即得.因为首项，公差，则得，即.又因为，所以，代入①得.当时，由得即，所以即因此当或5时，的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键，属于中档题.40．（2020·上海闵行区·高三一模）已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据函数的解析式，分别求得，得出，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，此时，此时函数在上的最大值为，所以，当时，，此时，此时，所以，此时函数在上的最大值为，所以， 当时，，此时函数的最大值为，所以，当时，，当时，，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】方法点拨：根据函数的解析式，分别求得各段上相应的最大值，得出，结合等差数列的求和公式进行计算.41．（2020·上海杨浦区·高三一模）平面直角坐标系中，满足到的距离比到的距离大的点的轨迹为曲线，点(其中，)是曲线上的点，原点到直线的距离为，则____________.【答案】【分析】由双曲线定义可知的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线的方程，再由点到直线的距离公式求解．【详解】设曲线上的点为，由题意，，则曲线为双曲线的右支，焦点坐标为，，，，，，双曲线方程为．所以渐近线方程为，而点（其中，是曲线上的点，当时，直线的斜率趋近于，即．则，即．．故答案为：．【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）定义法（根据已知分析得到动点的轨迹是某一种圆锥曲线再求解）；（2）直接法；（3）相关点代入法.42．（2017·上海高考真题）已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【详解】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.43．（2018·上海高考真题）设等比数列的通项公式为，前项和为．若，则______．【答案】3【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【详解】等比数列{an}的通项公式为a=qn﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，an+1=qn．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题44．（2020·上海）据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，根据题意列式，可得，再求出和即可得到答案.【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，所以今年一共建设基站万个，所以今年底全国共有基站万个.（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，则，即，解得，所以万个， 万个.所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站才能完成计划.【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.45．（2020·上海静安区·高三一模）设是等差数列，公差为，前项和为.（1）设，，求的最大值.（2）设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求的取值范围.【答案】（1）2020（2）【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{bn}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a1＝40，a6＝38，可得d，可得Sn＝40nn（n﹣1）（n）2，由n为正整数，可得n＝100或101时，Sn取得最大值2020；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，可得an＝1+（n﹣1）d，数列{bn}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d＝0，可得bn＝2；d＞0，可得{bn}为递增数列，无最大值；当d＜0时，Tn，对任意的n∈N*，都有Tn≤20，可得20，且d＜0，解得d≤．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．46．（2020·上海杨浦区·高三二模）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除【分析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数，比较它们的大小可得结论；（2）由（1）可知，最优策略为策略，得，凑配出数列是等比数列，求得通项，由可解得的最小值．【详解】（1）由题意可知，使用策略时，；使用策略时，令，即当时，使用策略第二周严重程度更小；当时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当时，使用策略第二周严重程度更小.（2）由（1）可知，最优策略为策略，即，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式求通项公式的方法是解题基础．47．（2020·上海杨浦区·高三一模）设数列与满足：的各项均为正数，.（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.【分析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．【详解】（1）解：，，公比为由解得，数列的通项公式为.（2）证明：反证法，设存在则，此时公比，考虑不等式当时，即时，有(其中表示不超过x的最大整数)，这与的值域为矛盾假设不成立，得证（3）解：，由等差数列性质即，特别地，，现考虑的最大值为使取最大值，应有，否则在中将替换为，且，将得到一个更大的由可知，特别地，；于是解得，所以的最大值为8.【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．48．（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大 ，∴此时保有量超过了容纳量. 49．（2019·上海高考真题）已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）通过，求解出，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不等式，解不等式得到结果.【详解】（1）由且 （2）由题意可知则 且 或又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前项和的应用问题.利用等比数列前项和的极限求解的范围的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于的不等式，求解不等式得到结果.50．（2021·上海静安区·高三一模）个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知，，.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求证：()；（3）设，请用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，联立方程组，求出和，写出通项公式；（2）根据等比数列的通项公式和数列的函数性质即可求解；（3）利用数学归纳法可以证明.【详解】解：（1）由题意，数列是等差数列，设首项为，公差为，由，得解得，.故数列的通项公式为.（2）由（1）可得，再由已知，得，解得，由题意舍去..由指数函数的性质，有().（3）(i)当时，，等式成立.(ii)假设当时等式成立，即，当时，，等式成立.根据(i)和(ii)可以断定，对任何的都成立.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列是特殊的函数，可以用函数的有关知识研究最值．(3)数学归纳法用来解决与自然数n有关的问题.
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