专题2.1 透过二模看高考（数列）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题2.1 透过二模看高考—数列
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1．（2021崇明区高考数学二模）（18分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的差分数列，其中△an＝an+1﹣an，n∈N*，如果对任意的n∈N*，都有△an+1＞△an，则称数列{an}为差分增数列．
（1）已知数列1，2，4，x，16，24为差分增数列，求实数x的取值范围；
（2）已知数列{an}为差分增数列，且a1＝a2＝1，an∈N*．若ak＝2021，求非零自然数k的最大值；
（3）已知项数为2k的数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：akak+1＜3．
【解答】（1）解：数列1，2，4，x，16，24的差分数列为1，2，x﹣4，16﹣x，8，
由题意可得，解得8＜x＜10，
故实数x的取值范围是（8，10）．
（2）解：由题意，△a1＝0，△an∈N，
因为数列{an}为差分增数列，所以对任意的n∈N*，都有△an+1＞△an，
所以△a2＞△a1＝0，△a2≥1，同理，△a3≥2，…，△ak≥k﹣1，k∈N*，
所以当k≥2时，ak＝a1+△a1+△a2+…+△ak﹣1≥1+1+2+…+（k﹣2）＝1+，
所以2021≥1+，
解得k≤65，
所以非零自然数k的最大值为65．
（3）证明：假设akak+1≥3，
由题意知an＞0（n＝1，2，3，…，2k），
因为项数为2k的数列{log3an}所有项的和等于k，
所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2k＝k，
即log3a1a2a3…a2k＝k，
所以a1a2a3…a2k＝3k，
因为数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，
所以log3an+1﹣log3an＜log3an+2﹣log3an+1，
所以＜，因此＜＜＜…＜，
所以对任意的m≤k﹣1，m∈N*，都有＜，即am+1a2k﹣m＜ama2k+1﹣m，
所以a1a2k＞a2a2k﹣1＞a3a2k﹣2＞…＞akak+1≥3，
所以a1a2a3…a2k＞3k与a1a2a3…a2k＝3k矛盾，
故假设不成立，所以akak+1＜3．
2、（2021奉贤区二模）设数列满足，，，设，．
（1）、设，，若数列的前四项、、、满足，求；
（2）、已知，，，当，，时，判断数列是否能成等差数列，请说明理由；
（3）、设，，，求证：对一切的，，均有．
解析：（1）当时，，
根据条件得
当时，，

所以，
根据条件得与不符合，舍去
所以
（2）假设数列成等差数列，设公差为
因为，所以，则是单调递增的正数列
因此，
所以
得到（舍去）或者
从而
推得与矛盾
所以数列不可能成等差数列．

（3）设，，
得到
得到
假设数列中有不小于的项，设是第一个不小于的项，()，
即．
根据运算性质可以得，即数列中的任何相邻两项的差都不大于1，因此，即，
而在这个区间中，从而，
得到产生矛盾 所以对一切的，均有．

3．（2021嘉定区二模）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；
（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为是递增数列，所以．
因为，所以 ，．…………………………………2分
又因为成等差数列，所以，即
即，解得或．
当时，，这与是递增数列相矛盾，所以．…………………4分

（2）因为是递增数列，则有，
于是 ①
因为，所以 ②
由①、②得，，
因此，即 ③ …………………2分
又因为是递减数列，则有，于是 ④
因为，所以 ⑤
由④、⑤得，，
因此，即 ⑥
由③、⑥可得． …………………………………4分
于是当时，

即 ．………………………………………………………5分
当时，代入上式得，与已知条件相吻合．
所以所求数列的通项公式是 ，．……………6分
（3）当或 （）时，存在数列，使得．…………2分
此时数列满足，
则有，，
即． ……………………………………………………………………4分
当或 （）时，不存在数列，使得．……6分
理由如下：因为，所以 ；
又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数， ……………7分
所以当时，为奇数，为偶数，
因此，均不可能成立．
于是当或 （）时，不存在数列，使得．…8分
4. （2021普陀区二模）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
记实数、中的较大者为，例如，.对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由.
①， ②；
（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
解：（1）①中，得（为正整数）且，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”.
②，，（为正整数），其中，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分
（2）由数列为“趋势递减数列”，得.……5分
①若，则,即，也即，故.
此时，所以
故（），满足条件.……7分
②若，则，得；，，
即，解得，所以.同理可以验证满足条件……9分
由①②可得，.………………10分
（3）先证明必要性：用反证法.
假设存在正整数,使得，则令
则数列从项开始以后的各项为，故，与是“趋势递减数列”矛盾.……14分
再证明充分性：
由，得……15分
因为中的项没有，所以对于任意正整数，.于是（为正整数）
所以……16分
当时，……17分
当时，
所以均有
故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有.……18分

5．（2021松江区二模）（18分）对于至少有三项的实数列{an}，若对任意的n（n∈N*，n≥3），都存在s、t（其中s≠t，s，t∈N*，s＜n，t＜n），使得an＝as﹣at成立，则称数列{an}具有性质P．
（1）分别判断数列1，2，3，4和数列﹣1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；
（2）已知数列{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若bn＝sinan，且数列{an}和{bn}都具有性质P，求公差d的最小值；
（3）已知数列cn＝|n﹣a|﹣b（其中a≠b，a，b∈N*），试探求数列{cn}具有性质P的充要条件．
解：（1）数列1，2，3，4不具有性质P，理由如下：
当n＝4时，an＝4，不存在s、t（其中s≠t，s，t∈N*，s＜n，t＜n），使得an＝as﹣at成立，
所以数列1，2，3，4不具有性质P，
数列﹣1，0，1，2具有性质P，理由如下：
若an＝1，as＝0，at＝﹣1，则满足an＝as﹣at，
若an＝2，as＝1，at＝﹣1，则满足an＝as﹣at，
所以数列﹣1，0，1，2具有性质P．
（2）∵{an}的公差为d，bn＝sinan，
∴，
∴bs﹣bt＝sin（as﹣at），
要使d最小，
∴sinas•sinat＝sin（as﹣at）＝sinascosat﹣cosatsinat，
∴，
∴at＝2tπ，as＝2sπ，
又∵d＝＝＝2π，
∴dmin＝2π．
（3）∵数列cn＝|n﹣a|﹣b且具有性质P，
∴cn＝cs﹣ct，
∴|n﹣a|﹣b＝|s﹣a|﹣b﹣（|t﹣a|﹣b），
∴b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|（充分性成立），
又由b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|可得|n﹣a|﹣b＝|s﹣a|﹣b﹣（|t﹣a|﹣b），
即cn＝cs﹣ct（必要性成立），
∴数列{cn}具有性质P的充要条件是b＝|n﹣a|﹣|s﹣a|+|t﹣a|．
6.(2021徐汇区二模） （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
若数集至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数()，都不能成为等差数列，则称为“集”.
(1)判断集合()是否是集？说明理由；
(2)已知. 集合是集合的一个子集，设集合，求证：若是集，则也是集；
(3)设集合，判断集合是否是集，证明你的结论.
【解】(1)任取三个不同元素2i