专题3.4 归纳总结答题技巧篇（高中数学解答题解题规范）-2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）

专题3.4 高中数学解答题解题规范

解题策略：

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．

针对不少学生答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，必须要规范每种题型的答题方式，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．

解解答题的过程中，要以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，整个解答过程必要要有合理的逻辑性、缜密的严谨性，得到的答案也必须是可逆推的，解题并不需要做到每一步都计算出来，但对于解题格式的规范，是在高考中拿到高分的基础。

解题技巧：答题过程要整洁美观、逻辑思路清晰、概念表达准确、答出关键语句和关键词。

1、解答题应答时，不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明；

2、对容易题要详写，过程复杂的试题要简写，答题时要会把握得分点；

3、 碰到难题既不能轻易放弃，也不要抓住不放，可以根据仅有的一些思路，能解多少写多少。

一、复数方程

在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式“”仅在实数集上有效，实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现，且不论是实根还是虚根，一定要注意判别式“”的的范围以及最后所求值的检验。

【例1】关于的方程的两根为、，且，求实数的值。

【巩固训练】

1．若方程的两根满足，求实数的值.

二、三角函数的性质及解三角形

三角函数解答题中，主要以三角函数的化简为主，结合和利用正余弦、正切函数的图像和性质，求解三角函数的单调性、周期性、对称性和最值。这类解答题的第一步：三角函数式的化简，一般化成类似的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；第二步：由、、的性质，将看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．

【例2】已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值及最小值；

（3）写出函数的单调递增区间．

【例3】已知函数满足关系，其中是常数.

（1）设，，求的解析式；

（2）设计一个函数及一个的值，使得；

（3）当，时，存在，对任意，恒成立，求的最小值.

【例4】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.

（1）证明：A=2B；

（2）若△ABC的面积，求角A的大小.

【巩固训练】

1．已知函数.

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论在区间[]上的单调性.

2．已知函数，其中、为非零实常数．

（1）若，的最大值为，求、的值．

（2）若，是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且．

3．在中,已知.

（1）求证：；

（2）若求角A的大小.

三、立体几何

立体几何解答题一般都是用来证明线面之间的位置关系，以及空间里的三角一距.在证明线面平行时，需要注意的不仅只有证明线线平行，还需要说明直线上有点在平面外，也不要写错了点线面之间从属关系的数学符号的表示；同样，在进行三角一距的求解与证明时，首先要在解答中说明哪一个标注的角为所求线线角、线面角、二面角的平面角或其补角，如果是利用空间向量的方法来证明和求解的，也需要说明哪一个为所求的三角比，再利用反三角形函数来表示.

【例5】如图，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，为棱的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）求该三棱锥的体积．

【例6】如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，

（1）求证：；

（2）求二面角的大小.

【例7】在长方体中，，，，点在棱上移动．

（1）探求多长时，直线与平面成角；

（2）点移动为棱中点时，求点到平面的距离．

【巩固训练】

1． 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3.

(1)求证：BB1∥平面EFM；

(2)求四面体的体积。

2．如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）．

3．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，.

（1）证明：平面；

（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）

四、函数

对于题中已经给出的函数或是要求的函数，都需要先确定函数的定义域．根据求单调性、值域、最值等步骤探求函数的性质，对于含参的分类讨论、奇偶性和周期性证明方式、反函数存在的意义等一般性的规范步骤，都需要尤其注意。

【例8】设是实数，函数（）．

（1）求证：函数不是奇函数；

（2）当时，求满足的的取值范围；

（3）求函数的值域（用表示）．

【例9】已知函数的反函数为 ．

（1）若，求实数的值；

（2）若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．

【例10】已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中. 记，数列的前项的和为（），求证：.

【巩固训练】

1．已知．

（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，若，求的值；

（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．

2．已知函数的反函数为，记.

（1）求函数的最小值；

（2）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围.

3．设是定义在上的函数，对,恒有，且当时，.

（1）求证：；

（2）证明：时恒有；

（3）求证：在上是减函数；

（4）若，求的范围.

五、数列

数列解答题的第一二问一般主要涉及对数列的通项和求和进行化简和计算，在进行通项公式的求解时，需要特别注意的是每次利用递推关系时，如果出现了类似的项，步骤中一定要写出的范围限制，当然，是必不可少的。在使用数列的性质中，也要注意求公式的合理性，比如说等比数列的求和公式的两种不同形式，是需要讨论其公比的取值范围，在没有得知公比的范围时，要分类讨论。

【例11】已知数列满足，对任意都有．

（1）求数列()的通项公式；

（2）数列满足()，求数列的前项和；

（3）设，求数列()中最小项的值．

【例12】数列满足，，令，是公比为的等比数列，

设.

（1）求证：；

（2）设的前项和为，求的值；

（3）设前项积为，当时，求为何值时， 取到最大值.

【巩固训练】

1．已知数列中，，，的前项和为，且满足（）．

（1）试求数列的通项公式；

（2）令，是数列的前项和，证明：；

（3）证明：对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．

2．数列各项均不为0，前n项和为，，的前n项和为，

且

（1）若数列共3项，求所有满足要求的数列；

（2）求证：是满足已知条件的一个数列；

（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列，并使得

六、解析几何

【例13】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为，设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上与不重合的点．

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若，当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

（3）记是与椭圆的交点，若直线的方程为，当△面积取最小值时，求直线的方程．

【例14】已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足．

（1）求曲线的方程；

（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

（3）求面积的最大值．

【巩固训练】

1．如图，设是椭圆的下焦点，直线（）与椭圆相交于、两点，与轴交于点．

（1）若，求的值；

（2）求证：；

（3）求△面积的最大值．

2．已知椭圆：的中心为，一个方向向量为的直线与只有一个公共点

（1）若且点在第二象限，求点的坐标；

（2）若经过的直线与垂直，求证：点到直线的距离；

（3）若点、在椭圆上，记直线的斜率为，且为直线的一个法向量，且

求的值.

七、应用题

高考数学中的应用题需要理解题目中的数据和变量的意义，构建函数、三角、立体或者数列模型，再利用其构建模型的性质来解决应用题的问题。应用题的规范解答中首先要设置未知数，并注意实际应用问题的范围；其次根据已知条件列出等量关系；三是解出所求关系及其变形，解决所求问题；四是检验答案的可行性；最后一步一定要作答。

【例15】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．

设

（1）求灯柱AB的高（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC

所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）

【例16】用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点

为．已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米．

（1）求横梁的长度;

（2）求梯形外框的用料长度．（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）

【巩固训练】

1．某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）．已知（米），，．设，四边形的面积为．

（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；

（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.

2．如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为．若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度（精确到）．

归纳总结：

1、解与解集：方程的结果一般用解表示（除非强调求解集）；不等式结果一般用解集（集合或区间）表示，三角方程的通解中必须加k∈Z。在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开。    

2、带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“答”。     

3、分类讨论题，一般要写综合性结论。    

4、任何结果要最简。     

5、排列组合题，无特别声明，要求出数值。    

6、函数问题一般要注明定义域。     

7、参数方程化普通方程，要考虑消参数过程中最后的限制范围。     

8、轨迹问题①注意轨迹与轨迹方程的区别。轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹还需要说明图形情况。②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中或的范围。 

9、分数线要划横线，不用斜线。

10、向量法要画坐标系。  

11、数列分段的形式要注意写

12、立体几何中求解角度时注意题中单位的统一。