十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题18 坐标系与参数方程 Word版含解析

这是一份十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题18 坐标系与参数方程 Word版含解析，共13页。试卷主要包含了[选修4—4等内容，欢迎下载使用。

十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学
专题18坐标系与参数方程
1.（2021年全国高考1卷）【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为1.
（1）写出的一个参数方程.
（2）过点作的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
答案：（1）的圆心为，半径为1，
则的标准方程为，
的一个参数方程为（为参数）.
（2）由题意可知两条切线方程斜率存在.
设切线方程为，即.
圆心到切线的距离，解得，
所以切线方程为.
因为，，所以这两条切线的极坐标方程为.

2.（2020年全国高考1卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)当时，是什么曲线？
(2)当时，求与的公共点的直角坐标．
答案：(1)当时，消去参数得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆.
(2)当时，消去参数得的直角坐标方程为,
的直角坐标方程为.
由解得
故与的公共点的直角坐标为.

3.(2019·全国1·理T22文T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+3 ρsin θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
【解析】(1)因为-1<1-t21+t2≤1,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x≠-1).
l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.
(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,y=2sinα(α为参数,-π<α<π).
C上的点到l的距离为|2cosα+23sinα+11|7=4cosα-π3+117.
当α=-2π3时,4cosα-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.
4.(2019·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.
(1)当θ0=π3时,求ρ0及l的极坐标方程;
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.
【解析】(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=π3时,ρ0=4sin π3=23.
由已知得|OP|=|OA|cos π3=2.
设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-π3=|OP|=2.
经检验,点P2,π3在曲线ρcosθ-π3=2上.
所以,l的极坐标方程为ρcosθ-π3=2.
(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.
因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2.
所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈π4,π2.
5.(2019·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,π2,(1,π),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;
(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3
【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ0≤θ≤,M2的极坐标方程为ρ=2sin θ≤θ≤,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ≤θ≤π.
(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知
若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;
若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;
若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.
综上,P的极坐标为.
6.(2018·全国1·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以
|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.
7.(2018·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为=1.
当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,
当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0,①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-,
故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.
8.(2018·全国3·文T理22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.
(1)求α的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
【解析】(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.
当α=时,l与☉O交于两点.
当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-,l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
综上,α的取值范围是.
(2)l的参数方程为t为参数,<α<.
设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.
于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.又点P的坐标(x,y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
α为参数,<α<.
9.(2017·全国1·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.
当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.
由题设得,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
10.(2017·全国2·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为2,π3,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最
大值.
【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
11.(2017·全国3·理T22文T22)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M的极径为.
12.(2016·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=acost,y=1+asint (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.
13.(2016·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|=
=.
由|AB|=得cos2α=,tan α=±.
所以l的斜率为或-.
14. (2016·全国3·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).
因为C2是直线,
所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,
d(α)=.
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
15.(2015·全国1·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,
求△C2MN的面积.
【解析】(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,
即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
16.(2015·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中 0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立
解得
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|
=4.
故当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
17.(2015·陕西·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
【解析】(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|=,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,点P的直角坐标为(3,0).
18.(2015·湖南·理T16文T16)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5, 3 ),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
19.(2014·全国1·理T23文T23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
【解析】(1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=55|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.
20.(2014·全国2·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈0,π2.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
【解析】(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线CD与l的斜率相同,tan t=,t=.
故D的直角坐标为,即.
21.(2013·全国2·理T23文T23)已知动点P,Q都在曲线 C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解析】(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d=(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
22.(2013·全国1·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得
所以C1与C2交点的极坐标分别为.
23.(2013·江苏·T21)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
【解析】因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2,2),.
24.(2012·全国·理T23文T23)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
【解析】(1)由已知可得A,
B,
C,
D,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)设P(2cos φ,3sin φ),
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,
则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
25.(2011·全国·理T23文T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
【解析】(1)设P(x,y),则由条件知M.
由于M点在C1上,所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数).
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
26.(2010·全国·理T23文T23)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).
(1)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
【解析】(1)当α=时,C1的普通方程为y=(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组
解得C1与C2的交点坐标为(1,0),.
(2)C1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0.
A点坐标为(sin2α,-cos αsin α),
因此当α变化时,P点轨迹的参数方程为(α为参数).
P点轨迹的普通方程为+y2=.
故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.