十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题19 不等式选讲 Word版含解析

这是一份十二年高考真题分类汇编(2010-2021) 数学 专题19 不等式选讲 Word版含解析，共14页。试卷主要包含了[选修4—5等内容，欢迎下载使用。

十二年高考真题分类汇编（2010—2021）数学
专题19不等式选讲
1.（2021年全国高考1卷） 【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
答案：（1）当时，
因为，所以或或
所以或，
所以不等式的解集为.
（2），
当且仅当时等号成立.
若，则，
两边平方可得，解得，
即a的取值范围是.

2.（2020年全国高考1卷）[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
(1)画出的图像；

(2)求不等式的解集.
答案：(1)由题设知

的图像如图所示.

(2) 函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像.

的图像与的图像的交点坐标为.
由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方.
故不等式的解集为.

3.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]
已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc=1a+1b+1c.
所以1a+1b+1c≤a2+b2+c2.
(2)因为a,b,c为正数且abc=1,
故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3
≥33(a+b)3(b+c)3(a+c)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
4.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]
已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,
f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以,a的取值范围是[1,+∞).
5.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]
设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.
【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2
=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]
≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],
故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,
当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.
所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.
(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2
=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]
≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],
故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23,
当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.
由题设知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1.
6.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,
即f(x)=-2,x≤-1,2x,-1 故不等式f(x)>1的解集为xx>12.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为0 综上,a的取值范围为(0,2].
7.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,
f(x)=2x+4,x≤-1,2,-12.
可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.
而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.
由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
8.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图像;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

【解析】(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1.

(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.
9.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1 所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-1+172.
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
10.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解析】(1)f(x)=-3,x<-1,2x-1,-1≤x≤2,3,x>2.
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-|x|-322+54≤54,
且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-∞,54.
11.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)
=2+3(a+b)34,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
12.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)在题图中画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

【解析】(1)f(x)=x-4,x≤-1,3x-2,-132,
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,
可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,
故f(x)>1的解集为{x|1 f(x)<-1的解集为xx<13或x>5.
所以|f(x)|>1的解集为
xx<13或15.
13.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
当x=12时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
(分类讨论)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
14.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
【解析】(1)f(x)=-2x,x≤-12,1,-12 当x≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-12 当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1 (2)由(1)知,当a,b∈M时,-1 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1
=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
15.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得23 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为x23 (2)由题设可得f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a,-x+1+2a,x>a.
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).
16.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
【解析】证明(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,
由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.
因此a+b>c+d.
(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.
②若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,
即a+b+2ab>c+d+2cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
17.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a+1b,
证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
【解析】证明由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,
即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,
则由a2+a<2及a>0得0 同理,0 故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
18.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【解析】(1)由ab=1a+1b≥2ab,得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.
故a3+b3≥2a3b3≥42,且当a=b=2时等号成立.
所以a3+b3的最小值为42.
(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.
由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
19.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=x+1a+|x-
a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=x+1a+|x-a|≥x+1a-(x-a)=1a+a≥2.
所以f(x)≥2.
(2)解f(3)=3+1a+|3-a|.
当a>3时,f(3)=a+1a,
由f(3)<5,得3 当0 由f(3)<5,得1+52 综上,a的取值范围是1+52,5+212.
20.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(1)求M;
(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.
【解析】(1)解f(x)=3x-3,x∈[1,+∞),1-x,x∈(-∞,1),
当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,
故1≤x≤43;
当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M=x0≤x≤43.
(2)证明由g(x)=16x2-8x+1≤4,
得16x-142≤4,
解得-14≤x≤34.
因此N=x-14≤x≤34.
故M∩N=x0≤x≤34.
当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是
x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]
=x·f(x)=x(1-x)=14−x-122≤14.
21.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x) (2)设a>-1,且当x∈-a2,12时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x) 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=-5x,x<12,-x-2,12≤x≤1,3x-6,x>1.其图象如图所示.
从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0 (2)当x∈-a2,12时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈-a2,12都成立.
故-a2≥a-2,即a≤43.
从而a的取值范围是-1,43.

22.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ac≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.
【解析】证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(2)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),
即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.所以a2b+b2c+c2a≥1.
23.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
【解析】(1)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2,1,2 当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2 当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4;
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.
(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
24.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.
由此可得x≥3或x≤-1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.
(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.
此不等式化为不等式组x≥a,x-a+3x≤0或x≤a,a-x+3x≤0,
即x≥a,x≤a4或x≤a,x≤-a2.
因为a>0,所以不等式组的解集为xx≤-a2.
由题设可得-a2=-1,故a=2.
25.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.
(1)画出函数y=f(x)的图象;
(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.

【解析】(1)由于f(x)=-2x+5,x<2,2x-3,x≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.

(2)(图象应用)
由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪12,+∞.