人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系习题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是 ( D )
A．异面 B．平行
C．相交 D．三种关系都有可能
[解析] 以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．
A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D．
2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是 ( D )
A．梯形 B．矩形C．平行四边形 D．正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图．
∴FG綊EH綊eq \f(1,2)BD，
HG綊EF綊eq \f(1,2)AC，
又∵BD⊥AC且BD＝AC，
∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
3．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为 ( D )
A．60° B．45° C．30° D．90°
[解析] 如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则
EG綊eq \f(1,2)AB，GF綊eq \f(1,2)PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq \f(1,2)AB＝3，FG＝eq \f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.
4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于 ( A )
A．5 B．6C．8 D．10
[解析] 如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq \f(1,2)AC＝4，PM＝eq \f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.
二、填空题
5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.
[解析] 与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为__①②__.
[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．
7．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE与DF是异面直线.
[解析] 由已知，得E、F不重合．
设△BCD所在平面为α，
则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，
∴AE与DF异面．
8．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
[解析] ∵梯形ABCD中，AB∥CD，
E、F分别为BC、AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.
∵G、H分别为AD′、BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝eq \f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq \f(1,2)(AB＋CD)，
∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．