2022年九年级中考数学考点专题训练——专题十二：圆(含答案)

这是一份2022年九年级中考数学考点专题训练——专题十二：圆(含答案)，共31页。试卷主要包含了小亮在学习中遇到这样一个问题等内容，欢迎下载使用。

备战2022中考数学考点专题训练——专题十二：圆
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．








2．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD．
（1）求证：CA＝CD；
（2）填空：
①当∠ACO的度数为　 　时，四边形EOBD是菱形．
②若BD＝m，则当AC＝　 　（用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．







3．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．







4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是边AD上一点，且AE＝3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设BF＝x（0＜x＜6）．
（1）求tan∠FGE的值；
（2）若BG＝EG，求x的值；
（3）若x＝2，求弧EF的长；
（4）若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值．
【注：sin19°＝，cos75°＝，tan27°＝】



5．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．







6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．






7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E．
（1）求证：BE平分∠ABD．
（2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积．


8．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　 　；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．











9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．










10．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝52°．
（Ⅰ）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．











11．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交⊙O于点F，连结EF．
（1）①求证：△DCA∽△ACE；
②若点D为CE中点，求AE的长．
（2）求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值．
（3）若tan∠FEA＝，求tan∠FAO的值．










12．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．











13．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长．










14．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．













15．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．










16．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．










备战2021中考数学考点专题训练——专题十二：圆参考答案
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．

【答案】（1）证明：如图1，连接OC，OD，

∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD，
又∵∠BAH＝∠BOD，
∴∠BAH＝∠BOC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∴CH是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AC，

∵BC＝CD，
∴，
∴∠BAC＝∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CE＝CH，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），
∴BE＝DH，
∵点D为AH的中点，
∴AD＝DH，
∴AD＝BE；
（3）解：如图3，延长CE交⊙O于点F，

∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴＝＝，
∴∠BCE＝∠CBD，
∴GB＝GC＝5，
在Rt△GEB中，sin∠GBE＝，
∴GE＝3，
∴BE＝＝＝4，
CE＝CG+GE＝5+3＝8，
∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°，
∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，
∴，
即，
∴AE＝16，
∴AB＝AE+BE＝16+4＝20，
在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，
∴AD＝AB＝×20＝12，
∴BD＝＝＝16．
2．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O切线AP，点C是射线AP上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点D，连接DE、OD、CD．
（1）求证：CA＝CD；
（2）填空：
①当∠ACO的度数为　 　时，四边形EOBD是菱形．
②若BD＝m，则当AC＝　 　（用含m的式子表示）时，四边形ACDO是正方形．

【答案】（1）证明：∵BD∥OC，
∴∠AOC＝∠OBD，∠DOC＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠AOC＝∠DOC，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC（SAS）
∴CA＝CD；
（2）解：①当四边形EOBD是菱形时，OB＝BD，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠AOC＝∠OBD＝60°，
∵AP是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴∠ACO＝30°；
②当四边形ACDO是正方形时，AC＝OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OB＝BD＝m，
∴AC＝OB＝m，
故答案为：①30°；②m．
3．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE＝，tan∠BDF＝，求DF的长．

【答案】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠FAC，
∴∠BAD＝∠DAE
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠E＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°
∴∠BDF＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠DAE，
∴∠BDF＝∠DAE＝∠BAD，
∵tan∠BDF＝，
∴tan∠BDF＝tan∠DAE＝tan∠BAD＝，
∴，
∵DE＝，
∴AE＝，AD＝，
∴BD＝，
∴AB＝6，
又∠F＝∠F，∠BDF＝∠BAD，
∴△FBD∽△FDA，
∴，
∴DF＝2BF，FD2＝FB•FA，
∴（2BF）2＝BF•（FB+BA），又BA＝6，
∴BF＝2，
∴DF＝4．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是边AD上一点，且AE＝3，点F在边AB上，过点B、F、E作圆O，交边BC或其延长线于G，连接BE，GE，GF，设BF＝x（0＜x＜6）．
（1）求tan∠FGE的值；
（2）若BG＝EG，求x的值；
（3）若x＝2，求弧EF的长；
（4）若圆O经过矩形的两个顶点时，直接写出x的值．
【注：sin19°＝，cos75°＝，tan27°＝】

【答案】解：（1）∵＝，
∴∠FGE＝∠ABE，
∵tan∠ABE＝＝，
∴tan∠FGE＝tan∠ABE＝；
（2）连接EF，OE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴FG是圆O的直径．
∴∠FEG＝90°，
在Rt△BFG和Rt△EFG中，BG＝EG，FG＝FG，
∴Rt△BFG≌Rt△EFG（HL），
∴BF＝EF，
在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2+AF2，
∴x2＝（6﹣x）2+32，
解得x＝．
（3）∵BF＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4，
∵AE＝3，
∴EF＝＝5，
∵AB＝6，
∴BE＝＝＝3，
∵∠FEG＝∠A＝90°，∠FGE＝∠ABE，
∴△ABE∽△EGF，
∴，
∴GF＝，
∴EG＝10，
∴tan∠FGE＝＝，
∴∠FGE＝27°，
∴∠FOE＝54°，
∴的长＝＝π；
（4）3或．
①若圆O经过矩形的顶点C时，

∵DE＝6，CE＝6，
∴CE＝6，
∵tan∠ECF＝，
∴EF＝3，
又∵AF2+AE2＝EF2，
∴AF＝3，BF＝x＝3．
②若圆O经过矩形的顶点D时，过点G作GM⊥AD，垂足M落在AD的延长线，

则四边形CGMD是矩形，四边形ABGM是矩形，过点O作ON⊥AM于点N，
延长NO交BG于点Q，
∴EN＝DN，AN＝MN，
∴DM＝AE＝3，
∴EG＝＝＝＝3，
∴EF＝，
∵AF2+AE2＝EF2，
∴AF＝，
∴BF＝x＝．
5．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．
（1）求证：∠C＝∠AGD；
（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．

【答案】（1）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠AGD＝∠ABD，
∴∠AGD＝∠C；
（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∴＝，
∴AC＝9，
∴AB＝＝3，
∵CE＝2AE，
∴AE＝3，CE＝6，
∵FH⊥AB，
∴FH∥BC，
∴△AHE∽△ABC，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝，EH＝2，
连接AF，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠FAH＝∠BFH，
∴△AFH∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
∴EF＝﹣2．


6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BP＝1，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：∵弧AC＝弧AC，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠AFB＝∠ABC，
∴∠ADC＝∠AFB，
∴CD∥BF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∵AB是圆的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，连接OD．如图所示：
∵AB⊥CD，CD＝2，
∴PD＝PC＝CD＝，
∵BP＝1，
∴OP＝r﹣1
在Rt△OPD中，由勾股定理得：r2 ＝（r﹣1）2+（）2
解得：r＝3．
即⊙O的半径为3．

7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于D，OE∥BD交⊙O于E．
（1）求证：BE平分∠ABD．
（2）当∠A＝∠E，BC＝2时，求⊙O的面积．

【答案】（1）证明：∵OE＝OB，
∴∠E＝∠ABE，
∵OE∥BD，
∴∠E＝∠EBD，
∴∠OBE＝∠EBD，
∴BE平分∠ABD；
（2）解：∵∠A＝∠E，
∴∠ABD＝2∠A，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝2，
∴AB＝BC＝2，
∴AO＝，
∴⊙O的面积＝3π．
8．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点D是上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点D在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.4
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①“当点D为的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是　 　；
②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．
（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．


【答案】解：（1）∵点D为的中点，
∴＝，
∴BD＝CD＝a＝5cm，
故答案为：5；
（2）∵点A是线段BC的中点，
∴AB＝AC，
∵CF∥BD，
∴∠F＝∠BDA，
又∵∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（AAS），
∴BD＝CF，
∴线段CF的长度无需测量即可得到；
（3）由题意可得：

（4）由题意画出函数yCF的图象；

由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

【答案】（1）证明：连接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，
∴＝．
（2）证明：设BC＝a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，
∵PA＝PC＝AB，
∴PA＝PC＝3a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝＝＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝BC＝a，
∴AD2＝PD•OD，
∴＝，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（1）可知，PA＝6，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝＝＝6，
∵PA2＝PE•PB，
∴PE＝＝4，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，PJ＝，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，
∴DE＝＝＝．

10．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝52°．
（Ⅰ）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝52°，
∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°；
（2）如图，连接OD，OC，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝64°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝52°，
∴∠OCD＝∠ACE﹣ACO＝12°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD＝12°，
∴∠POD＝∠AEC﹣∠ODC＝52°，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∴∠ODP＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠POD＝38°．

11．如图，半圆⊙O中，直径AB＝4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交⊙O于点F，连结EF．
（1）①求证：△DCA∽△ACE；
②若点D为CE中点，求AE的长．
（2）求证：△ACE面积与△AFE的面积差为定值，并求出该定值．
（3）若tan∠FEA＝，求tan∠FAO的值．

【答案】解：（1）①证明：∵点C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，
∵OC＝OA，
∴∠CDA＝∠CAE＝45°，
又∵∠DCA＝∠ACE，
∴△DCA∽△ACE；
②∵D为CE的中点，AC＝2，
由（1）知，△DCA∽△ACE，
∴，
∴AC2＝CD•CE＝CD•2CD，
即CD＝2，
∴CE＝4，
∴OE＝2，
即AE＝AO+OE＝2+2．
（2）证明：∵△DCA∽△ACE，
∴∠CAF＝∠CEA，
又∵∠ACF＝∠CAE＝45°，
∴△ACF∽△EAC，
∴，
∴S△ACE﹣S△AEF＝＝＝4．
（3）∵tan∠FEA＝＝，
设OF＝2a，
∴OE＝6a，
∵AC2＝AE•CF，
∴8＝（2+5a）（2﹣a），
得（3a﹣2）（a﹣1）＝0，
即a＝1或a＝，
当OF＝2时，tan∠FAO＝＝，
当OF＝时，tan∠FAO＝＝＝，
∴tan∠FAO＝或．
12．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．

【答案】解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC＝，
故⊙O的半径为；
（3）连接OD，DE，

由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠OED，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
13．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若cos∠PAB＝，BC＝2，求PO的长．

【答案】解：（1）连接OB，

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
∵，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠PAB+∠BAC＝∠BAC+∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠PAB＝cos∠C＝＝，
∵BC＝2，
∴AC＝2，
∴AO＝，
∵∠PAO＝∠ABC＝90°，∠POA＝∠C，
∴△PAO∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PO＝5．
14．如图，已知直线l切⊙O于点A，B为⊙O上一点，过点B作BC⊥l，垂足为点C，连接AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：连接OA，

∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC切⊙O于A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：设⊙O的半径为R，过O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACD是矩形，
∴OD＝AC＝1，OA＝CD＝R，
在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2＝OD2+BD2，
即R2＝12+（3﹣R）2，
解得：R＝，
即⊙O的半径是．
15．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求OP+OQ的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）求四边形OPCQ的面积．

【答案】解：（1）由题意可得，OP＝8﹣t，OQ＝t，
∴OP+OQ＝8﹣t+t＝8（cm）．
（2）当t＝4时，线段OB的长度最大．
如图，过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．

∵OT平分∠MON，
∴∠BOD＝∠OBD＝45°，
∴BD＝OD，OB＝BD．
设线段BD的长为x，则BD＝OD＝x，OB＝BD＝x，PD＝8﹣t﹣x，
∵BD∥OQ，
∴，
∴，
∴x＝．
∴OB＝＝﹣．
当t＝4时，线段OB的长度最大，最大为2cm．
（3）∵∠POQ＝90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ＝90°．
∵∠PQC＝∠POC＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形．
∴S△PCQ＝PC•QC＝PQ＝PQ2．
在Rt△POQ中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S＝S△POQ+S△PCQ＝，
＝，
＝4t﹣+16﹣4t＝16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
16．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．

【答案】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，
∴OF＝＝6，
∵OD∥AE，
∴，
∴＝＝，
∴AE＝，ED＝，
∴tan∠EAD＝＝．