2022年九年级中考数学考点训练——几何专题：《圆的综合》(三)及答案

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备战2022年九年级中考数学考点训练——几何专题：
《圆的综合》（三）

1．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝9，＝．求BE的长．



2．如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，AD∥BC，∠ADC＝90°，CD交⊙O于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，求阴影部分的面积．








3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．



4．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．
（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；
（2）证明：PD是⊙O的切线；
（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．








5．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
















6．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．
（1）求证：DE与⊙O相切：
（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；
（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF的最大值．






7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．





8．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．






9．如图1，CD是⊙O的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE，求证：BE2＝BG•BF；
（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．



10．如图1，扇形OAB的半径为4，∠AOB＝90°，P是半径OB上一动点，Q是上一动点．
（1）连接AQ、BQ、PQ，则∠AQB的度数为　 　；
（2）当P是OB中点，且PQ∥OA时，求的长；
（3）如图2，将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的恰好与半径OA相切于点C．若OP＝3，求点O到折痕PQ的距离．















参考答案
1．（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠CDA＝∠ODB，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∴∠ADO+∠CDA＝90°，
即∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，
∴△CDA∽△CBD，
∴＝，
∵＝，BC＝9，
∴CD＝6，
∵CE，BE是⊙O的切线，
∴BE＝DE，BE⊥BC，
∴BE2+BC2＝EC2，即BE2+92＝（6+BE）2，
解得：BE＝．

2．（1）证明：连接AO并延长交BC于F，如图所示：
则AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴∠DAF＝90°，AF∥CD，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：连接AE、OE，如图2所示：
由（1）得：AF∥CD，
∴∠ACD＝∠CAF＝∠BAC＝30°，
∴∠AOE＝2∠ACD＝60°，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴OA＝AE，∠OAE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴OA＝AE＝2DE＝4，AD＝DE＝2，
∴阴影部分的面积＝梯形OADE的面积﹣扇形AOE的面积＝（2+4）×2﹣＝6﹣．


3．（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．

（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．

4．（1）证明：连接OD、OP、CD．

∵AD•AO＝AM•AP，
∴，∠A＝∠A，
∴△ADM∽△APO．

（2）证明：∵△ADM∽△APO，
∴∠ADM＝∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，
∵OD＝OM，
∴∠DMO＝∠MDO，
∴∠DOP＝∠POC，
∵OP＝OP，OD＝OC，
∴△ODP≌△OCP（SAS），
∴∠ODP＝∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP＝90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线．

（3）解：连接CD．由（1）可知：PC＝PD，

∵AM＝MC，
∴AM＝2MO＝2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，
∴R2+122＝9R2，
∴R＝3，
∴OD＝3，MC＝6，
∵，
∴，
∴AP＝18，
∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，
∵O是MC的中点，
∴，
∴点P是BC的中点，
∴PB＝CP＝DP＝6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CDM＝90°，
在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，
∴BM＝＝＝6，
∵△BCM∽△CDM，
∴，即，
∴DM＝2．
5．解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，
（2）如图1，延长BC到点T，

∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）①如图2，连接CF，

∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴，
∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，AE＝AD，
∴，
∴，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝，
∴ED＝AD＝，
∴CE＝CD+DE＝，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝CE＝，
∴DM＝DE﹣EM＝，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝，
∴S△DEF＝DE•FM＝．
6．（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD＝∠FAD，
∴∠ODA＝∠FAD，
∴OD∥AF，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切：
（2）解：连接BD，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°＝∠ADB，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴AD：AB＝AE：AD，
∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；
（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：
在△AED和△AGD中，，
∴△AED≌△AGD（AAS），
∴AE＝AG，DE＝DG，
∵∠FAD＝∠DAB，
∴＝，
∴DF＝DB，
在Rt△DEF和Rt△DGB中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），
∴EF＝BG，
∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，
即：x+2y＝10，
∴y＝﹣x+5，
∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，
∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．



7．（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴CD⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3．


8．解：（1）连接OQ，如图①所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，
∴＝，∠EBC＝∠ABC＝60°，
∵点Q是的中点，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴∠BOQ＝∠EOQ，
∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，
∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．
∵BO＝OQ，
∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，
∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；
（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图②所示：
∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8，
∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，
∴∠FEB＝∠FED＝60°，
∵EM＝HE，
∴△HEM是等边三角形，
∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，
∴∠BCD＝∠HMB＝120°，
∵∠EBC＝∠GBH＝60°，
∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，
即∠GBC＝∠HBE，
∴△BCG∽△BMH，
∴．
又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，
∴，
∴y与x的函数关系式为（0＜x＜4）．
（3）如图③，当点G在边CD上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，
①当．
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即：，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
②当．即：，
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，
①当．
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即：，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
②当．即：，
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．
综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．




9．解：（1）连接OE，则∠OCE＝∠OEC＝α，

∵FE＝FG，
∴∠FGE＝∠FEG＝β，
∵H是AB的中点，
∴CH⊥AB，
∴∠GCH+∠CGH＝α+β＝90°，
∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝α+β＝90°，
∴EF是⊙O的切线；

（2）∵CH⊥AB，
∴＝
∴∠CBA＝∠CEB，
∵EF∥BC，
∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，
∴∠FBE＝∠GBE，
∴△FEB∽△EGB，
∴BE2＝BG•BF；

（3）如图2，过点F作FR⊥CE于点R，

设∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝γ，则tanγ＝，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCG＝β，故△BCG为等腰三角形，则BG＝BC＝5，
在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tanγ＝，
则sinγ＝，cosγ＝，
CH＝BCsinγ＝5×＝3，同理HB＝4；
设圆的半径为r，则OB2＝OH2+BH2，
即r2＝（r﹣3）2+（4）2，解得：r＝；
GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，
tan∠GCH＝＝＝，则cos∠GCH＝，
则tan∠CGH＝3＝tanβ，则cosβ＝，
连接DE，则∠CED＝90°，
在Rt△CDE中
cos∠GCH＝＝＝，解得：CE＝，
则GE＝CE﹣CG＝﹣＝﹣（）＝，
在△FEG中，cosβ＝＝＝，
解得：FG＝；
∵FH＝FG+GH＝，
∴HM＝FHtan∠F＝×＝；
∵CM＝HM+CH＝，
∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．
10．解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴大于180°的圆心角∠AOB＝360°﹣90°＝270°，
由圆周角定理得，∠AQB＝×270°＝135°，
故答案为：135°；
（2）如图1，连接OQ，
∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，
∴OP＝2，OQ＝4，
∵PQ∥OA，
∴∠BPQ＝∠AOB＝90°，
∴∠OQP＝30°，
∴∠AOQ＝∠OQP＝30°，
∴的长＝＝π；
（3）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，ON，
则OM＝O′M，OO′⊥PQ，O′P＝OP＝3，点O′是所在圆的圆心，
∴O′C＝OB＝4，
∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，
∴O′C⊥AO，
∴O′C∥OB，
∴∠POO'＝∠CO'M＝∠PO'M，
∵∠PMO'＝∠QMO'＝90°，
∴∠O'PM＝∠MNO'，
∴O'P＝O'N＝OP＝3，
∴四边形OPO'N是平行四边形，
∴O'P＝ON，
∵O与O'关于PQ对称，
∴ON＝O'N＝3，
∴BP＝CN＝4﹣3＝1，
∵PN⊥OO'，
∴∠MNO'＝∠MNO，
∴∠BPO'＝∠CNO，
∴△O'BP≌△OCN（SAS），
∴∠O'BP＝∠OCN＝90°，
∴四边形OCO′B是矩形，
在Rt△O′BP中，O′B＝＝2，
在Rt△OBO′中，OO′＝＝2，
∴OM＝OO′＝×2＝，
即O到折痕PQ的距离为．