2022年九年级中考数学考点专题训练——专题二十八：二次函数(含答案)

备战2022中考数学考点专题训练——专题二十八：
二次函数

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）












2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，﹣），直线y＝kx+过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一交点是D
（1）求抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx+的解析式；
（2）①点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM∥y轴交线段AD于M点，过D点作DE⊥y轴于点E，问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
②作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为t，求m与t的函数关系式，并求出m的最大值．




3．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．






4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．






5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．



6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过
A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值．





7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断△ADB的形状，并说明理由．
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．









8．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．
①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；
②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．



9．如图，已知点B的坐标是（﹣2，0），点C的坐标是（8，0），以线段BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得△PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得∠GFC＝∠DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．




10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．




11．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴正半轴交于点C，连接BC，P为线段AC上的动点，P与A，C不重合，作PQ∥BC交AB于Q，A关于PQ的对称点为D，连接PD，QD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）设点P的横坐标为x，△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S．
①直接写出S与x的函数关系式；
②当△BDQ为直角三角形时，直接写出x的值．







12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求PC+PB的最小值．




13．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．







14．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，
（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（2）当CM+DM的值最小时，求m的值．




15．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x＝﹣1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S△KAC＝S△DAC求点K的坐标；
（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM＝30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．











16．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．





























备战2021中考数学考点专题训练——专题二十八：
二次函数参考答案
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B
（1）求m的值及抛物线的函数表达式；
（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标之中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB＝）

【答案】解：（1）∵一次函数y＝x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴0＝×（﹣3）+m，解得m＝，
∴一次函数解析式为y＝x+，
∴C点坐标为（0，）．
∵以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A（﹣3，0）、C（0，），
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；

（2）存在．设Q（x，﹣x2+x+）．
①当点C为直角顶点时，如图，作CQ⊥AC交抛物线于点Q，QE⊥y轴于E．
在△ACO与△CQE中，
，
∴△ACO∽△CQE，
∴＝，即＝，
解得x1＝5.2，x2＝0（不合题意舍去）；
②当点A为直角顶点时，如图，作AQ′⊥AC交抛物线于点Q′，Q′E′⊥x轴于E．
在△ACO与△Q′AE′中，
，
∴△ACO∽△Q′AE′，
∴＝，即＝，
解得x1＝8.2，x2＝﹣3（不合题意舍去）．
综上所述：Q点的横坐标为5.2或8.2；

（3）∵y＝﹣x2+x+与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，对称轴为直线x＝1，
∴B点坐标为（5，0），
∵C（0，），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
当x＝1时，y＝﹣×1+＝3，
∴P（1，3）．
设过点P的直线为：y＝kx+3﹣k，
把y＝kx+3﹣k代入y＝﹣x2+x+，
得kx+3﹣k＝﹣x2+x+，
整理得，x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣4k，x1x2＝﹣4k﹣3，y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣4k）2﹣4（﹣4k﹣3）＝16k2+16，
∴M1M2＝＝＝4（1+k2），
同理：M1P＝＝，
M2P＝，
∴M1P•M2P＝•＝|（x1﹣1）（x2﹣1）|•（1+k2）＝4（1+k2），
∴＝1为定值．

2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，﹣），直线y＝kx+过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一交点是D
（1）求抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx+的解析式；
（2）①点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM∥y轴交线段AD于M点，过D点作DE⊥y轴于点E，问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
②作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为t，求m与t的函数关系式，并求出m的最大值．

【答案】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，﹣）代入y＝x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣；
把A（﹣2，0）代入y＝kx+得﹣2k+＝0，解得k＝，
所以一次函数解析式为y＝x+；
（2）存在．
解方程组得或，则D（8，），
当x＝0时，y＝x+＝+，则C（0，），
∵DE⊥y轴，
∴E（0，），
∴CE＝OE﹣OC＝6，
设（x，x2﹣x﹣），则M（x，+），
∴MN＝+﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x+4，
∵CE∥PM，
∴当PM＝CE时，四边形PMEC为平行四边形，
即﹣x2+x+4＝6，解得x1＝2，x2＝4，
∴此时P点坐标为（2，﹣3），（4，﹣）；
（3）在Rt△CDE中，∵CE＝6，DE＝8，
∴CD＝10，
设（t，t2﹣t﹣），则M（t，t+），
∴MN＝t+﹣（t2﹣t﹣）＝﹣t2+t+4，
∵PM∥CE，
∴∠ECD＝∠PMN，
∴Rt△PMN∽Rt△DCE，
∴＝＝，
∴MN＝（﹣t2+t+4），PN＝（﹣t2+t+4），
∴m＝PM+MN+PN＝（﹣t2+t+4）＝﹣（t﹣3）2+15，
当t＝3时，m有最大值，最大值为15．
3．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB．
（3）在坐标轴上，是否存在点N，满足△BCN为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N．

【答案】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），
则有：，
解得．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．

（2）令y＝0，得（x﹣5）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0）．
由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，得顶点M（2，9）
如图1中，作ME⊥y轴于点E，

可得S△MCB＝S梯形MEOB﹣S△MCE﹣S△OBC＝（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5＝15．

（3）存在．如图2中，

∵OC＝OB＝5，
∴△BOC是等腰直角三角形，
①当C为直角顶点时，N1（﹣5，0）．
②当B为直角顶点时，N2（0，﹣5）．
③当N为直角顶点时，N3（0，0）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（0，0）或（0，﹣5）或（﹣5，0）．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，

∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y＝﹣﹣2＝﹣，
∴AK＝，
设D（m，m﹣2），则F（m，m﹣2），
∴DF＝m+2＝﹣+2m．
∴m＝﹣．
∴当m＝2时，有最大值，最大值是．
（3）符合条件的点P的坐标为（）或（）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝x，
设P（a，），
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC＝，AB＝5，BC＝2，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠PBN＝90°，
∴∠MQP＝∠PBN，
∴△QPM∽△PBN，
∴＝，
∴QM＝，PM＝（a﹣4）＝a﹣2，
∴MN＝a﹣2，BN﹣QM＝a﹣4﹣a﹣4，
∴Q（a，a﹣2），
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得a﹣2＝a﹣2，
解得a＝0（舍去）或a＝．
∴P（）．
②当点P在直线BQ左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为（a，2）．
此时点P的坐标为（）．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．

【答案】解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），
∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN+ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝+，
∴MN+ON的最小值为+．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过
A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，试求出点P的坐标，并求出△PAB面积的最大值．

【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴
解得
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，

设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（，）．
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，
∴此时P点坐标为（，﹣）．
7．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断△ADB的形状，并说明理由．
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）令y＝0，则
解得：x1＝4，x2＝﹣1
∴A（﹣1，0），B（4，0）
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；

（2）①过D作DE⊥x轴于点E，
∵△ABC绕点M旋转180°得到△BAD，
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBE．
在△AOC和△BED中，
．
∴△AOC≌△BED（AAS）
∴OC＝DE，OA＝EB．
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）
∴OC＝DE＝2，OA＝BE＝1，AB＝5，OB＝4．
∴OE＝4﹣1＝3，
∵点D在第四象限．
∴D（3，﹣2）；

②△ABD是直角三角形；
在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2＝（1+3）2+22＝20．
在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2＝12+22＝5，AB2＝52．
∴AD2+BD2＝AB2．
∴△ABD是直角三角形；

（3）存在
∵AD2＝20，
∴．
∵BD2＝5，
∴．
作出抛物线的对称轴．
∵点P在对称轴上，
∴设．
当△BMP∽△ADB时，，
∴，，
∴
∴，
当△PMB∽△ADB时，，
∴，|t|＝5，
∴t＝±5，
∴，
∴，，，．

8．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．
①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；
②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．

【答案】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，﹣4）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴A点坐标为（﹣2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，
①作FH⊥x轴，如图，

∵B（4，0），C（0，﹣4）．
∴OB＝OC＝4，
∴，
∵FH∥BC，
∴△BHF∽△BOC，
∴，
∴．
解得：HF＝．
∴＝．
当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．
②∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
若∠BEF＝90°，
则cos∠EBF＝，
解得：t＝．
若∠EFB＝90°，
则cos∠EFB＝．
解得：t＝．
综合以上可得，若△EBF为直角三角形，t的值为或．
9．如图，已知点B的坐标是（﹣2，0），点C的坐标是（8，0），以线段BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得△PFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得∠GFC＝∠DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵以BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，
∴∠BDO+∠ODC＝90°，
又∵∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝∠BDO，
又∵∠DOC＝DOB＝90°，
∴△BOD∽△DOC，
∴＝，
又∵B（﹣2，0），C（8，0），
∴＝，
解得，OD＝4（取正值），
∴D（0，4），
故设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），
∴4＝a（0+2）（0﹣8），
解得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；

（2）∵BC为⊙A的直径，且B（﹣2，0），C（8，0），
∴OA＝3，A（3，0），
∵点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，
∴∠CDF＝∠CDE＝×90°＝45°，
连接AF，则∠CAF＝2∠CDF＝2×45°＝90°，
∵OA＝3，AF＝5，
∴F（3，5），
∵∠CDB＝90°，
∴如图2，延长CD至点C'，使CD＝C'D，则C'（﹣8，8），
连接C'F交BE于点P，再连接PF，PC，
此时△PFC的周长最短，
将C'（﹣8，8），F（3，5）代入y＝kx+b，
得，k＝﹣，b＝，
∴直线C'F的解析式为y＝﹣x+，
设BD的解析式为y＝kx+4，
将点B（﹣2，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BD的解析式为y＝2x+4，
联立，得，
解得，x＝，y＝，
∴点P坐标为（，）；

（3）存在，理由如下：
如图3，①当点G在直线FC上方时，过点F作DC的平行线，交抛物线于点G，则此时∠GFC＝∠DCF，
设直线DC的解析式为y＝kx+4，
将点C（8，0）代入，
得，b＝﹣，
∴直线DC的解析式为y＝﹣x+4，
则可设FG的解析式为y＝﹣x+m，
将点F（3，5）代入，
得，m＝，
∴直线FG的解析式为y＝﹣x+，
联立，得﹣x+＝﹣x2+x+4，
解得，x1＝4+，x2＝4﹣（舍去），
∴G1（4+，）；
②当点G在直线FC下方时，过点A作AH⊥FC于H，设AH交DC于M，
则AH垂直平分FC，
∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠DCF，
则射线FM与抛物线的交点为G2，
设直线FC的解析式为y＝kx+b，
将点F（3，5），C（8，0）代入，
得，k＝﹣1，b＝8，
∴直线FC的解析式为y＝﹣x+8，
∵点H是FC的中点，
∴H（，），
又∵AH垂直FC，
∴可设直线AH的解析式为y＝x+n，
将点H（，）代入，
得，n＝﹣3，
∴直线AH的解析式为y＝x﹣3，
联立直线AH与直线DC，
得x﹣3＝﹣x+4，
解得，x＝，
∴M（，），
设直线FM的解析式为y＝mx+d，
将点F（3，5），M（，）代入，
得，m＝﹣2，d＝11，
∴直线FM的解析式为y＝﹣2x+11，
联立直线FM与抛物线，
得，﹣2x+11＝﹣x2+x+4，
解得，x1＝7+，x2＝7﹣（舍去），
∴G2（7+，﹣3﹣2），
综上所述，点G的坐标为（4+，）或（7+，﹣3﹣2）．



10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是第四象限内抛物线上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．

【答案】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，
，
解得，
所以，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0）知，AB＝4．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3．
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，即△ABC的面积是6；

（3）设BC的解析式为y＝kx+t，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝．

11．如图，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴正半轴交于点C，连接BC，P为线段AC上的动点，P与A，C不重合，作PQ∥BC交AB于Q，A关于PQ的对称点为D，连接PD，QD，BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）设点P的横坐标为x，△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S．
①直接写出S与x的函数关系式；
②当△BDQ为直角三角形时，直接写出x的值．

【答案】解：（1）直线y＝x+4①，
令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣3
∴A（﹣3，0）B（0，4），
∵抛物线经过A，B两点，
∴，解得，
∴；

（2）设P点坐标为（x，0），
令＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝4，
∴OB＝OC＝4，
∴∠BCO＝45°，
又PQ∥BC，
∴∠QPA＝∠BCO＝45°，
∴∠APD＝90°，
∴D（x，x+3），
∴，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵P与A，C不重合，
∴P（1，0）；

（3）∵PQ∥BC，
∴直线PQ的表达式中的k值为﹣1，
则直线PQ的表达式为：y＝﹣x+b，
将点P的坐标[改设为：点P（m，0）]代入上式并解得：
直线PQ的表达式为：y＝﹣x+m②，
联立①②并解得：x＝，故点Q（，）；
①由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
由（2）知，点D（x，x+3），
∵当点D在直线BC上时，即x+3＝﹣x+4，解得：x＝；
当﹣3＜x≤时，
S＝S△PQG＝×PD×（xP﹣xQ）＝×（x+3）（x﹣）＝；
当＜x＜4时，
同理可得：S＝；
②点B的坐标（0，4），点D（x，x+3），点Q（，）；
（Ⅰ）当∠BDQ为直角时，如图1，

过点D作y轴的平行线交过点Q与x轴的平行线于点M，交过点B与x轴的平行线于点N，
∵∠NDB+∠NBD＝90°，∠NDB+∠MDQ＝90°，
∴∠MDQ＝∠NBD，
∴tan∠MDQ＝tan∠NBD，即，
而MQ＝x﹣＝，MD＝x+3﹣＝，BN＝x，ND＝4﹣（x﹣3）＝1﹣x，
，解得：x＝或﹣3（舍去﹣3），
故x＝；
（Ⅱ）当∠BQD为直角时，如图2，

同理可得：tan∠QDN＝tan∠MQB，即，则，
解得：x＝0或﹣3（舍去）；
（3）当∠QBD为直角时，
同理可得：x＝；
综上，当△BDQ为直角三角形时，x的值是或．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD＝，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求PC+PB的最小值．

【答案】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ＝﹣x2++；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴，
解得
即直线BC的解析式为 ，
令y＝t，得：，
∴点E（5﹣t，t），
把 代入，得 ，
即，
∴，
∴△BCF的面积＝×EF×BD＝（t﹣）＝，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，

∴，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，，
∴，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，
∴线段BH的长就是的最小值，
∵，
又∵，
∴，
即，
∴的最小值为．
13．如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，
得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得：，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴点D的坐标为：（，），
将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，
∴点E的坐标为：（，），
∴DE＝﹣＝，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴＝，
∵C（0，4）、E（，），
∴CE＝＝，
由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF＝＝t，
∴＝，
∵t≠0，
∴（﹣t+4）＝3，
解得：t＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为：（，）．

14．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，
（1）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（2）当CM+DM的值最小时，求m的值．

【答案】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得：b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），即OC＝2，
当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
即：OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∴AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝12+22＝5，BC2＝OC2+OB2＝22+42＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，
则C′（0，2），OC′＝2，连接C′D交x轴于点M，如图所示：
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的最小值为线段C'D，
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点
设直线C'D解析式：y＝kx+b（k≠0），则，
解得：k＝﹣，b＝2，
∴直线C'D解析式：y＝﹣x+2，
当y＝0时，得x＝，
∴m＝．

15．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x＝﹣1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S△KAC＝S△DAC求点K的坐标；
（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM＝30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．

【答案】解：（1）由题意可得，

解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1．

由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4可得顶点D为（﹣1，4），
∴S△ADC＝S梯形AOHD﹣S△OAC﹣S△DHC
＝（1+3）×4﹣×3×3﹣×1×（4﹣3）＝3．
又∵S△AEC＝AE•OC＝×2×3＝3，
∴S△ADC＝S△AEC．
∵S△KAC＝S△DAC，
∴S△KAC＝S△EAC，
∴EK∥AC，
∴，
∴，
∴OF＝1，F（0，1）．
设直线EK的解析式为y＝mx+n，则有
，
解得，
∴直线EK的解析式为y＝x+1．
解方程组，得
，，
∴点K的坐标为（，）或（，）；

（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．

∵∠CDM″＝∠PDM＝90°，∠DPM＝∠DCM″＝30°，
∴＝，∠PDC＝∠MDM″，
∴△DPC∽△DMM″，
∴∠DCP＝∠DM″M．
同理可得△DAC∽△DM′M″，
∴∠DCA＝∠DM″M′．
∴∠DM″M＝∠DM″M′＝∠DCP，
∵∠DCP是定值，
∴点M的运动路径是线段M′M″．
∵△DM′M″∽△DAC，
∴＝＝．
∵AC＝＝＝3，
∴M′M″＝，
∴点M的运动路径长为．
16．如图，已知关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．
（1）求出二次函数的关系式；
（2）点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D．若OD＝m，△PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）探索线段MB上是否存在点P，使得△PCD为直角三角形？如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴，
解得 1分
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）
设直线MB的解析式为y＝kx+n，
则有
解得：，
∴直线MB的解析式为y＝﹣2x+6
∵PD⊥x轴，OD＝m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S三角形PCD＝×（﹣2m+6）•m＝﹣m2+3m（1≤m＜3）；

（3）∵若∠PDC是直角，则点C在x轴上，由函数图象可知点C在y轴的正半轴上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，当∠DPC＝90°时，
当CP∥AB时，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD＝OC＝3，
∴P点纵坐标为：3，代入y＝﹣2x+6，
∴x＝，此时P（，3）．
∴线段BM上存在点P（ ，3）使△PCD为直角三角形．
当∠P′CD′＝90°时，△COD′∽△D′CP′，
此时CD′2＝CO•P′D′，
即9+m2＝3（﹣2m+6），
∴m2+6m﹣9＝0，
解得：m＝﹣3±3，
∵1≤m＜3，
∴m＝3（﹣1），
∴P′（3﹣3，12﹣6）
综上所述：P点坐标为：（，3），（3﹣3，12﹣6）．