考点12 图形的相似-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

考点12. 图形的相似
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
知识点1-2相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
知识点1-3相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
知识点1-4位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．





重难点题型
题型1比例线段及其性质
【解题技巧】1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
2．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
1．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入=+1中即可求出结论．
【解析】∵，∴=+1=+1=．故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．
2．（2020·甘肃金昌市·中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（ ）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米
【答案】A
【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．
【详解】解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A
【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
4．（2020·湖南湘潭市·中考真题）若，则________．
【答案】
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
【详解】由可设，，k是非零整数，
则．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
5．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
【详解】解：过点A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，∴即，
解得CD=，同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE和AF的长是解题的关键。
题型2平行线分线段成比例
【解题技巧】
1．（2020·江苏南京市·）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．

（1）当时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格

（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【分析】（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴△△，∴，
∵，∴△△，故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，

∵DE∥BC，∴△△，∴，
同理：，又，∴，∴，
同理：，∴，即，∴，
又，∴，∴△△， ∴，
∵DE∥BC，∴，同理：，∴，
又，∴△△．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，比例的性质，正确作出辅助线是解答第2问的关键．
4．（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】解：∵DE//AB，∴∴的值为．故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
5．（2020·四川成都市·中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；∴，
∵，∴△CEG∽△CAB，∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，∴，∵，∴，
∴，故选项正确C． 故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
7．（2020·吉林中考真题）如图，．若，，则______．

【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，D，E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则___________．

【答案】1
【分析】利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.
【详解】解:∵D，E为边的三等分点，，∴EF:DG:AC=1:2:3
∵AC=6,∴EF=2, 由中位线定理得到,在△AEF中,DH平行且等于 故答案是:1
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质,熟悉平行线之间的性质是解题关键.

题型3相似多边形
【解题技巧】1．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形．
2．相似多边形对应边的比叫做相似比．
3．多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
4．相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
1．（2021·福建莆田市·中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是( )
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
【答案】D
【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定.
【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；
B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，∴不一定相似；
C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；
D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．故选D．
2．（2021·山西中考模拟）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　）

A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1 在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形 故选：D．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
3．（2019·甘肃庆阳市·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
4．（2021·海南中考模拟）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）

A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
【详解】
解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则 设DF=xcm，得到：解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
5．（2017·贵州六盘水市·中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4,b=+2 B．a=4,b=-2 C．a=2,b=+1 D．a=2,b=-1
【答案】D
【解析】黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长= ，只有选项D中b：a= ，
故选D．
6．（2019·辽宁朝阳市·中考真题）如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____．

【答案】．
【分析】因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形与第一个阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得，所以它们的正切相等，等于，据此可求出OB的长，再用OA－OB即为第一个阴影正方形的边长，于是S1可得；同理可求得与AB的关系，进而可求得与的关系；以此规律类推可求得Sn与S1的关系，整理即得答案.
【详解】解：在直线中，当时，；当时，；
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
∵正方形ABCA1中的四个小正方形都与△AOB全等，∴第一个阴影正方形的边长为：，
∴，同理：，
∴， ∴，∴，
同理可得，，…，．故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、注意知识的前后联系，解答的关键是找出解题的规律，正确得出Sn与S1的关系.
7．（2019·四川内江市·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____．

【答案】．
【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答
【详解】设，则，，

∵四边形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，即，，
∵，，∴，，
∴，故答案为．
【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形
8．（2021·山东枣庄市·中考模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________

【答案】
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【详解】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，
解得x1=,x2= (负值舍去)，经检验x1=是原方程的解.
【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

题型4判定相似的条件
【解题技巧】
1．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAE=∠BAC，
A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
2．（2020·山东德州市·九年级月考）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
【详解】∵∠DAE＝∠BAC，∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当时，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
3．（2020·河北邢台市·九年级期末）如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
4．（2020·湖南张家界市·九年级期中）如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定:
（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．（2020·安徽亳州市·九年级二模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　）

A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180° C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【答案】C
【分析】A、根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
B：根据题意可得到∠ADE=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【详解】解：A、由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C=180°，∠ADE+∠BDE=180°，得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC=AC•DE，得ADAC=DEBC不能判断△ADE∽△ACB,必须两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.D、由AD•AB=AE•AC得ADAC=AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似（注意，一定是夹角）；
有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）

A．∠ADC＝∠ACB B． C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】解：A选项：由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
B选项：由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；
C选项：由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；
D选项：由AC2=AD•AB，即，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．

题型5 相似比的应用
【解题技巧】
1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
2．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）

A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵∴∴
∵∴∴∴
∵∴∴故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）

A．30 B．25 C．22．5 D．20
【答案】D
【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20故本题选择D
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．
4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，边长为4的等边中，D、E分别为AB，AC的中点，则的面积是　　

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，由此可得△ADE和△ABC相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC的面积．
【详解】等边的边长为4，，
点D，E分别是的边AB，AC的中点，是的中位线，
，，，，即，
∽，相似比为，故：：4，
即，故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．
5．（2020·吉林中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．

【答案】
【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案．
【详解】点，分别是边，的中点
，即
又则四边形的面积为故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
6．（2020·山东东营市·中考真题）如图，为平行四边形边上一点，分别为上的点，且的面积分别记为．若则____．

【答案】
【分析】证明△PEF∽△PAD，再结合△PEF的面积为2可求出△PAD的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积，再用平行四边形ABCD的面积减去△PAD的面积即可求解．
【详解】解：∵∴，且∠APD=∠EPF，∴△PEF∽△PAD，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且△PEF的面积为2可知，
，∴，
过P点作平行四边形ABCD的底AD上的高PH，

∴，∴ ，即平行四边形ABCD的面积为，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质等，熟练掌握其性质是解决本题的关键．
7．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．

【答案】
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】解：∵，，，
∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
8．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

【答案】3
【分析】根据□ABCD的对边互相平行的性质及中位线的性质知EC是△ABF的中位线；然后根证明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面积比是相似比的平方及△ECF的面积为1求得△ABF的面积；最后根据图示求得S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．
【详解】解：∵在□ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，∴EC是△ABF的中位线；
在△ABF和△CEF中，∠B=∠DCF，∠F=∠F，∴△ABF∽△ECF，
∴，∴S△ABF：S△CEF=1：4；
又∵△ECF的面积为1，∴S△ABF=4，∴S四边形ABCE=S△ABF-S△CEF=3．故答案为：3．
【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质；解得此题的关键是根据平行四边形的性质及三角形的中位线的判定证明EC是△ABF的中位线，从而求得△ABF与△CEF的相似比．

题型6相似三角形的实际应用
1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
【详解】解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．

【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．

【答案】48mm
【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【详解】设正方形的边长为x mm，则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC，∴,即，
解得x＝48 mm，∴这个正方形零件的边长是48mm．
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．（2020·上海中考真题）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为____米．

【答案】7米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BDAC，∴△ACE∽△DBE，
∴，∴，∴AC=7(米)，故答案为：7(米) ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类题的关键．
4．（2020·山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A．图形的平移 B．图形的旋转 C．图形的轴对称 D．图形的相似
【答案】D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
5．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(　　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．
【详解】解：∵，∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆和建筑物CD均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE∽△ACD
∴,即,解得CD=17.5m．故答案为A．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．
6．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（ ）
A．或 B．15 C． D．
【答案】A
【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，当，n=10，，故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键．
7．（2020·广西玉林市·中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【答案】B
【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可．
【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm，若从60cm长的木条上截取，
∵x+y≤60120cm，∴此种情况不符合题意；
②当60cm与100cm是对应边时，∵两三角形相似，∴，解得x=45，y=72，
∵60cm