专题06 菱形的性质和判定-2021-2022学年八年级数学下学期期中专项复习（人教版）

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专题06 菱形的性质和判定
姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟 满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列命题中，正确的是（ ）．
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
【答案】B
【分析】
根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【解析】
两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；
一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；
对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（ ）

A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长，再根据中位线定理即可求出EF的长．
【解析】
解：因为在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，AO=4，DO=3，
∴AD=，
∵点E，F分别为AO，DO的中点，
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质和中位线的性质，注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键．
3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（ ）．

A．3 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】
根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．
【解析】
解：∵菱形AECF，AB=6，
设BE=x，则AE=CE=6-x，
∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，
∴2BE=CE，即CE=2x，
∴2x=6-x，
解得：x=2，
∴CE=4，又EB=2，
则利用勾股定理得：，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )

A．3 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】
首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．
【解析】
解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，

∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，
∴△ACD是等边三角形，PA=PC，
∵M为AD中点，
∴DM=AD=3，CM⊥AD，
∴CM==3，
∴PA+PM=PC+PM=CM=3．
故选C．
【点睛】
此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P的位置是解此题的关键．
5．如图在平面直角坐标系中若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先根据菱形的性质求出AB的长度，再利用勾股定理求出DO的长度，进而得到点C的坐标．
【解析】
∵菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D在y轴上，
∴AB=AO+OB=6+4＝10，
∴AD=AB=CD=10，
∴，
∴点C的坐标是：(10，8)．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO的长度．
6．如图，中，平分，若，则四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
连接交于点，首先证明四边形为菱形，然后求出BD的长，最后根据菱形的面积公式解答．
【解析】
解：如图，连接交于点，
在中，，


平分
，
，
，
四边形为菱形，
，
，则，
的面积为：，
故选．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形为菱形．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝6，S菱形ABCD＝60，则OE的长为（ ）

A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】
先根据菱形的性质、面积公式可得AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【解析】
四边形ABCD是菱形，，
，，，
，
，
解得，
又，，
是斜边AC上的中线，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
8．如图，在菱形中，分别是的中点，设，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用三角形的中线得到，判断出A、C错误，B符合题意，利用三角形中位线定理求得，通过计算得到，即可得到正确的答案．
【解析】
连接BD、AC，

∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∵，即，故A、C错误，B符合题意；
∵E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF=BD，EF∥BD，
∴，
∴，
即，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中线有关的面积计算，三角形中位线与三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB为半径的弧交AD于点F，连接EF．若BF＝6，AB＝5，则四边形ABEF面积是（　　）

A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】
根据题意AB＝AF，利用角平分线和平行证明BA＝BE，用一组对边平行且相等证明四边形ABEF为平行四边形，再用邻边相等证明它是菱形，最后用菱形面积公式计算面积．
【解析】
记AE与BF相交于O点，如图，
由作法得AB＝AF＝10，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝3，AE⊥BF，
在Rt△AOB中，OA，
∴AE＝2AO＝8，
∴四边形ABEF面积．
故选：B．

【点睛】
本题考查角平分线的性质，菱形的判定和面积求解 ，解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形，再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积．
10．如图，在菱形中，是菱形的高，若对角线、的长分别是6、8，则的长是　　

A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．
【解析】
解：四边形是菱形
，，




故选．
【点睛】
本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．
11．如图，菱形的边长为13，对角线的长为24，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）

A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】B
【分析】
连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得BD与AC互相垂直平分，再根据AC平分∠DAB，BF平分∠CBE，可以证明AC∥FB，根据平行线间的距离处处相等可得S△CBG=S△ABG，进而可得S△ACG=S△ABC．
【解析】
解：如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴BD与AC互相垂直平分，
∴OA=OC=12，
∴OB=OD==5，
∵DA∥CB，
∴∠DAB=∠CBE，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠DAB，
∵BF平分∠CBE，
∴∠FBE=∠CBE，
∴∠CAB=∠FBE，
∴AC∥FB，
∴S△CBG=S△ABG，
∴S△ACG=S△ABC=×AC•OB=×24×5=60，
则△ACG的面积为60．
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
12．两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ）．

A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积．
【解析】
设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：

∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG=CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，
解得：x=，
∴CG=，
∴菱形AGCH的面积=CGAB=，
即图中重叠（阴影）部分的面积为．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．菱形的周长为，一个内角等于，则这个菱形的面积为_________．
【答案】
【分析】
作AE⊥BC于E，由直角三角形的性质求出菱形的高AE，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．
【解析】
解：作AE⊥BC于E，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝cm，AE=BE＝cm，
∴菱形的面积＝BC•AE＝3×=（cm2）；
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．
14．己知菱形的边长是3，点在直线上，=1，联结与对角线相交于点，则 的值是______．
【答案】或
【分析】
首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
【解析】
解：∵菱形ABCD的边长是3，
∴AD=BC=3，AD∥BC，
如图①：当E在线段AD上时，
∴AE=AD－DE=3－1=2，
∴△MAE∽△MCB，
∴；
如图②，当E在AD的延长线上时，
∴AE=AD+DE=3+1=4，
∴△MAE∽△MCB，
∴．
∴的值是或．
故答案为或．

【点睛】
此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．
15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝ ____．

【答案】10；
【分析】
连接菱形的另一条对角线，利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长；利用三角形中位线定理可得EF长；在利用三角形全等可证即可得解．
【解析】

连接BD交AC与点O，
在菱形ABCD中
∵，
在中
，
∴，
∵点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．运用三角形中位线定理求线段长的方法：当题中有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题，首先证明出它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段这间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长．
16．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE，如图所示，若∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则折痕EF的长为______．

【答案】
【分析】
过点D作DH⊥AB于 H ，连结AD、EF，设CD=x，则DH=x，BD=4−x，由勾股定理求得x的值，设CF=y，则 AF=3−y=FD ，由勾股定理求得y的值，由菱形的性质得AD与EF垂直平分，进而求得EF的长．
【解析】
解：如图，过点D作DH⊥AB于 H ，连结AD、EF，


∵菱形AFDE，∴AD平分∠BAC，
∵∠ACB=90°，∴CD=DH，∴AH=AC=3，
设CD=x，则DH=x，BD=4−x，
∵AB=，∴HB=5−3=2，
在Rt△DBH中，，
∴x=1.5，即CD=1.5，
设CF=y，则AF=3−y=FD，
在Rt△CDF中，，
即CF=，∴AF=3−，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AO=，
由菱形的性质得AD垂直平分EF，OF=，∴EF=2OF= ，
故答案为．
【点睛】
本题考查菱形的性质，勾股定理，角平分线的性质．
17．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______．

【答案】
【分析】
先根据菱形的性质得OD＝OB，而DH⊥AB，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD，利用等腰三角形的性质得∠HDB＝∠DHO ．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD，
∴∠HDB＝∠DHO＝20°，
故填：20°．
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．已知：如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点是边的中点，且，则的最小值是_______．

【答案】
【分析】
找出B点关于AC的对称点D，连接DM，则DM就是PM+PB的最小值，求出即可．
【解析】
解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DM就是PM+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）
在Rt△ADE中，DM==．
故PM+PB的最小值为．
故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，在矩形中，对角线与相交于点．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）已知，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定证得四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可知OB=OC，然后根据菱形的判定即可证得结论；
（2）根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形的面积等于三角形的面积，利用直角三角形的面积公式即可解答．
【解析】
（1）∵，，
∴四边形是平行四边形，
在矩形中，，且与互相平分，
∴，
∴'平行四边形是菱形．
（2）∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于三角形的面积，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式，属于基础题型，难度适中，解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用．
20．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

【答案】（1）见解析；（2）BD=2
【分析】
（1）根据菱形的性质和平行线的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF，结合垂直的性质得到△AEB≌△BFC，根据三角形全等的性质即可证明；
（2）首先证明BE是AD的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可求解．
【解析】
（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形全等的证明，垂直平分线的性质，关键是要利用好菱形的性质求解．
21．如图，在菱形中，为对角线上一点，且，连接．

（1）求证：．
（2）当于点，时，求菱形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据SAS证明△ADE≌△CDE，从而得到AE＝CE，再根据AE＝DE，再得出结论；
（2）连接AC交BD于H，由菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CD，
又∵AE=DE，
∴；
（2）如图，连接AC交BD于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE═ED=1，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，
∴BE=2AE=2，
∴BD=BE+DE=3，
∴BH=DH=，
∵∠ABD=30°，AH⊥BD，
∴AB=2AH，BH= AH，
∴AH=，AB=2AH=，
∴菱形的边长为．
【点睛】
考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质．
22．如图，中，，是边上的中线，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）S菱形ADCE．
【分析】
（1）先证明四边形ADCE为平行四边形，再证明AC⊥DE即可证明；
（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求．
【解析】
（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC=DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD=DB=CD．
∴EC=AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠AOD=∠ACB=90°，
∴AC⊥DE，
∴ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，
∴AD=DB=CD=6．
∴AB=12，由勾股定理得AC=．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE=BC=6．
∴S菱形ADCE．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，含30°角的直角三角形．（1）掌握菱形的判定定理并能灵活运用是解题关键；（2）中理解菱形的面积等于对角线的乘积的一半是解题关键．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．

（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.
【答案】（1）详见解析；（2）12
【分析】
（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形OCED是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形，
（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．
【解析】
（1）∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形，
又∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OD=OC，
∴四边形OCED为菱形；
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OC=OD=AC，
又∵AC=6，
∴OC=3，
由（1）知，四边形OCED为菱形，
∴四边形OCED的周长为=4OC=4×3=12．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
24．如图，四边形中，，连接对角线，，点在上，将绕点顺时针旋转得到，且点在上．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）证明是等边三角形，由旋转的性质得出，，通过证明进行求证；

（2）由已知条件可求出，由（1）可证，进而可得出四边形是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行求证．
【解析】
证明：（1）∵，，
是等边三角形，
，，
绕点顺时针旋转得到，
，，
∵，，
，
在和中，
，
；
（2），，
，即，
又，
，
由（1）知，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形与菱形的判定，由已知条件证明是解题的关键．