考点13 解直角三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

这是一份考点13 解直角三角形-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版），共63页。试卷主要包含了直角三角形，勾股定理及逆定理，科学选择解直角三角形的方法口诀，方向角，解直角三角形实际应用的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
考点13. 解直角三角形
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1直角三角形与勾股定理
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：（1）直角三角形两锐角互余；
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
知识点1-2锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
知识点1-3特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



知识点1-4解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
知识点1-5解直角三角形的应用
1）．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3)．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．






重难点题型
考点1.直角三角形的性质
【解题技巧】在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．
1．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．

【答案】
【分析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．
∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
2．（2020·四川乐山市·中考真题）把两个含角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点为的中点，连结交于点．则=_________．

【答案】
【分析】连接CE，设CD=2x，利用两个直角三角形的性质求得AD=4x，AC=2x，BC=x，AB=3，再由已知证得CE∥AB，则有，由角平分线的性质得，进而求得的值.
【详解】连接CE，设CD=2x，在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30º，
∴∠D=60º，AD=4x，AC=，BC==x，AB=x，
∵点E为AD的中点，∴CE=AE=DE==2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60º，
∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30º+30º=60º，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴，
在ΔBAE中，∵∠BAE=∠CAD=30º∴AF平分∠BAE，∴，
∴，∴，故答案为：.


【点睛】本题考查了含30º的直角三角形、等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质等知识，是一道综合性很强的填空题，解答的关键是认真审题，找到相关知识的联系，确定解题思路，进而探究、推理并计算.
3．（2020·湖南邵阳市·中考真题）如图，在中，，斜边，过点C作，以为边作菱形，若，则的面积为________．

【答案】
【分析】如下图，先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
【详解】

如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，
∵根据题意四边形ABEF为菱形，∴AB=BE=，
又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=，根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，∴HE=CG=，∴的面积为．
【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．
4．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】如图，作轴于．
由题意：，，，
，，，，故选B．

【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2020·山东济宁市·中考真题）如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）

A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，则∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.故选B.

【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

考点2.勾股定理的应用
【解题技巧】1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
1．（2020·山东威海市·中考真题）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，

∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2x，由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，∴x＝5，∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2），故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020·山东东营市·中考真题）如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即 BC最长，为13，所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2× 故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
3．（2020·四川内江市·中考真题）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（ ）

A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设AE的长度为x，在Rt△EMD中，由勾股定理求出DE的长度，同理在Rt△DNF中求出DF的长度，在Rt△DEF中利用勾股定理即可求出EF的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴BD==5，
设AE的长度为x，由折叠可得：△ABE≌△MBE，
∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2，
在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2，∴x2+22=（4-x）2，
解得：x=，ED=4-=，设CF的长度为y，
由折叠可得：△CBF≌△NBF，∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1，
在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2，∴y2+12=（3-y）2，解得：x=，DF=3-=，
在Rt△DEF中，EF=，故答案为：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出DE和DF的长度是解题的关键．
4．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）

A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，∴，
又∵BB’=3，A’C’= 3，∴，
∴，故选：A．
【点睛】本题主要考察了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高．
5．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】解：设芦苇的长度是尺，如下图

则，， 在中，
即故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键．
6．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1

【答案】B
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4＝，……
∴OAn的长度为（）n﹣1，故选：B．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
7．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
8．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为_____．

【答案】4．
【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可.
【详解】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，
故直角三角形的另一条直角边长为：，
故阴影部分的面积是：，故答案为：4.
【点睛】此题考查勾股定理解三角形，正方形的性质，正确理解正方形的边长3与直角三角形的关系是解题的关键.

考点3.求三角函数值
【解题技巧】（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．（3）正确应用勾股定理求第三边长．（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．
1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
2．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
3．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
4．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，

∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2020·广西河池市·中考真题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，
∴．故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
6．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．

【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．
7．（2020·四川南充市·中考真题）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，

∵，∴，
∴．故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
8．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD， 由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC= 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．

考点4. 利用特殊角的三角函数值求值
【解题技巧】锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.
1．（2020·四川中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°．
【答案】
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cos30°
＝﹣2++1﹣2﹣2×＝﹣2．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．
2．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）计算；
【答案】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的规定、绝对值的性质及特殊锐角的三角函数值计算可得；
【详解】解：原式；
【点睛】本题考查的是实数的运算、，掌握实数的运算法则是解答此题的关键．
3．（2020·广西玉林市·中考真题）sin45°的值等于（ ）
A．12 B．22 C．32 D．1
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=22．故选B．
【点睛】容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
4．（2020·天津中考真题）2sin45°的值等于（ 　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：2sin45°=2×故选B
5．（2020·云南昆明市·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）

A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
【答案】B
【分析】用计算器计算得3.464101615……得出答案．
【详解】解：使用计算器计算得，4sin60°≈3.464101615，故选：B．
【点睛】本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
6．（2020·山东淄博市·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）计算：
【答案】12
【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】解:原式．
【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关法则进行计算．
考点5. 复杂几何图形中的三角函数问题
1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．

【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，

∵，∴．
在中，．故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
2．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．

【答案】
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD= ∴．故答案为．

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
3．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为______．

【答案】
【分析】由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，∴点P的坐标为：（1，3），

如图，AP∥x轴，BP∥y轴，∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
4．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．

【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
5．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
6．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______．

【答案】
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，∴GE=，

根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，
∴DE=，∴，故答案为：．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
8．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，

∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
8．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.

考点6. 解直角三角形的应用--堤坝（坡角）问题
【解题技巧】解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.
1．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为_________m（结果精确到，参考数据：）．

【答案】4.7
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到即可解答．
【详解】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，

由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，则，
即，故答案为：4.7．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线，熟悉余弦的定义．
2．（2020·山东泰安市·中考真题）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）

【答案】10
【分析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．
【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2020·山东济宁市·中考真题）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．

【答案】
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案为：.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
4．（2020·四川自贡市·中考真题）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
5．（2020·湖南益阳市·中考真题）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度，此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离（、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：，，，）

【答案】（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求．
【分析】（1）根据坡度可求出α的值；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，解直角三角形EFC求出CF的长得到HF的长，故可得DE的长，解直角三角形PDE得PD的长，再与18进行比较即可得到结论．
【详解】解（1）∵，∴；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，如图，

则四边形DEFH是矩形，∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°，
∵α=45°，∴∠HDC=45°，∴HC=DH=12m，又∠PCD=26°，∴∠ECF=45°+26°=71°，
∴，即m，∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m， ∴DE=7.86m，
∵AE//BC，∴∠PED=∠PCH=71°，在Rt△PDE中，，即 ，
∴m，∴此次改造符合电力部门的安全要求．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．（2020·湖南娄底市·中考真题）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．

【答案】引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．
【分析】延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，计算AG，GH，BH的长度，再求和即可．
【详解】解：如图，延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，则在中，，
，在中，

答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，熟练的构造直角三角形，并计算各边的计算是解题的关键．

考点7. 解直角三角形的应用—仰角俯角问题
1．（2020·湖北鄂州市·中考真题）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米．（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）

【答案】（1）米；（2）263米
【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长；
（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解．
【详解】（1）由题意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=
在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);
（2）如图，过点B作BH⊥MD，在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=
∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四边形ABHM是矩形
∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=-50(米)∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）
故河流的宽度为263米．

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
2．（2020·湖南邵阳市·中考真题）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔分别为，，．若管道与水平线的夹角为30°，管道与水平线夹角为45°，求管道和的总长度（结果保留根号）．

【答案】．
【分析】先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．
【详解】解：根据题意知，四边形和四边形均为矩形，
，，
，，
在中，，，，；
在中，，，，
，，
即管道AB和BC的总长度为：．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB和BC的长度．
3．（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为　 　；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．

由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．
4．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．

测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离

点到建筑物的距离

从处观测建筑物顶部的仰角

从处观测建筑物底部的俯角

请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）（选择一种方法解答即可）
【答案】
【分析】第一种选择：选取，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取，，求出CD和AE的长即可．
【详解】解：第一种选择：选取‘

∴四边形为矩形
在中，

答：建筑物的高度约为．
第二种选择选取

∴四边形为矩形
在中，
在中，

答：建筑物的高度的为．
第三种选择选取，

∴四边形为矩形在中，

在中，
答：建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
5．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．

（2）在中，

（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
6．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．
【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，则BN＝NH，设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x≈8.22，
根据题意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵ MN＝AC＝10，则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．

考点8. 解直角三角形的应用—方位角问题
1．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，
∴，∴，即河宽米，故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
2．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20 (海里)故答案为：20．

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
3．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）

【答案】20.8
【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
【详解】解：过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案为：20.8.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
4．（2020·四川广元市·中考真题）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离千米处是学校B．（参考数据：，）．

（1）求学校A，B两点之间的距离（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．
【答案】（1）km;（2）km.
【分析】（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△MBE中求出BE，ME，继而得出AD，BD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理可得出AB的长度．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，点P即为站点，求出AG的长度即可．
【详解】（1）过点A作CD//MN，BE⊥MN，如图：在Rt△ACM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝＝0.6，∴CA＝3，MC＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝km，
∵sin45°＝＝，∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝CD−CA＝ME−CA＝3km，BD＝BE−DE＝BE−CM＝2km，在Rt△ABD中，AB＝km．
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD=3，DG=DE+EG=DE+BE=4+6=10，∠ADG=90°，
∴AG＝＝km．答：最短距离为km．

【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大．
5．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，，，．）

【答案】．
【分析】先在中求出PC，进而在中即可求出PB．
【详解】解：由已知，得．
在中，， ∴．
在中，，∴．答： B处距离观测塔约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航行中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
6．（2020·湖南岳阳市·中考真题）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图，两地向地新建，两条笔直的污水收集管道，现测得地在地北偏东方向上，在地北偏西方向上，的距离为，求新建管道的总长度．（结果精确到，，，，）

【答案】新建管道的总长度约为．
【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出，设，则，再在中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC、CD的长，然后在中，解直角三角形可得x的值，从而可得AC、BC的长，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点C作于点D
由题意得：，
设，则
是等腰直角三角形

在中，，即解得
经检验，是所列分式方程的解，
在中，，即解得
则答：新建管道的总长度约为．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
7．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：）

【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【分析】（1）过点B作于点D，作于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】（1）过点B作于点D，作于点E．
由题意得：，，
∵，∴，而
∴．
（2）（海里）在中，，
（海里），（海里），
在中，，（海里），

（海里），
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，∴，
∴ ，
设快艇的速度为v海里/时，则（海里时）
答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．

考点9. 解直角三角形的应用—其他问题
1．（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【答案】B
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
2．（2020·湖北荆州市·中考真题）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km，若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了_______km．

【答案】24
【分析】过点作，设，则，，在中，根据勾股定理得到，进一步求得，再根据三角函数可求，可得，，，从而求解．
【详解】解：过点作，

设，∵，∴，，
在中，，，
地在正中位置，，
又∵，，
∴，∴，
小张某天沿路线跑一圈，他跑了．故答案为：24．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
3．（2020·湖北孝感市·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）


【答案】
【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形

由图中数据可知，，，，
在中，，即解得
是等腰三角形

则的长为故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
4．（2020·湖南株洲市·中考真题）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）

A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.
【详解】解：由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋转的性质，得A1C=AC=4.
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面积为=.
即线段CA扫过的图形的面积为.故选：D
【点睛】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
5．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．

在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=，∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2020·浙江金华市·中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．

【答案】
【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．
【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a

观察图像可知：
所以tanβ＝．故答案为．
【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．

考点10. 三角函数中的新定义问题
1．（2020·贵州遵义市·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A． B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
2．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
3．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．

探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
初步应用：根据，得出，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】解：探究活动：，
理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，

∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴，
同理可证：，∴；故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：∵，∴，∴．
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝，
∵，∴，∴，
∴，∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．
4．（2021·内蒙古赤峰市·中考模拟）阅读下列材料：
如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：

证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，
∴
∴
同理：

∴
（1）通过上述材料证明：

（2）运用（1）中的结论解决问题：
如图2，在中，，求AC的长度．

（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）
【答案】（1）证明见解析 （2）12 （3）38
【分析】（1）根据材料中的S△ABCabsinCacsinBbcsinA，化为比例式可得结论；
（2）根据公式，直接代入可得结论；
（3）先根据公式计算AC的长，由S△ABCAC×BC×sin∠ACB可得结论．
【详解】（1）∵absinCacsinB，∴bsinC=csinB，∴，
同理得：，∴；
（2）由题意得：∠B=15°，∠C=60°，AB=20，∴，即，∴，∴AC=40×0.3=12；
（3）由题意得：∠ABC=90°﹣75°=15°，∠ACB=90°﹣45°=45°，∠A=180°﹣15°﹣45°=120°，由得：，∴AC=6，∴S△ABCAC×BC×sin∠ACB6×18×0.7≈38．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了解直角三角形、三角形面积、比例的性质，关键是理解并运用公式S△ABCabsinCacsinBbcsinA解决问题．
5．（2021·内蒙古赤峰市·中考模拟）如图，在中，设的对边分别为，过点作，垂足为，会有，则

，即
同理，
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理—余弦定理：

在中，若的对边分别为，则



用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图，在中，，的对边分别是3和8．

求和．
解：_______________；
______________．
（2）在中，已知，分别是以为边长的等边三角形，设的面积分别为，求证：．

【答案】（1）6，49；（2）见解析.
分析：（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；
方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．
解析：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，
∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；
（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，
两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，
∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，
方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，
∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，
∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），
∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．
考点：等边三角形的性质，解直角三角形.
6．（2020·山东济宁市·九年级期末）（阅读材料）某校九年级数学课外兴趣探究小组在学习完《第二十八章锐角三角函数》后，利用所学知识进行深度探究，得到以下正确的等量关系式：
，
，
，，
（理解应用）请你利用以上信息求下列各式的值：（1）；（2）
（拓展应用）（3）为了求出海岛上的山峰的高度，在处和处树立标杆和，标杆的高都是3丈，两处相隔1000步（1步等于6尺），并且和在同一平面内，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角75°，在标杆的顶端处测得山峰顶端的仰角30°，山峰的高度即的长是多少步？（结果保留整数）（参考数据：）

【答案】（1）；（2）；（3）山峰的高度即的长大约是719步
【分析】（1），直接利用所给等量关系式代入求解即可；
（2），直接利用所给等量关系式代入求解即可；
（3）连接，返向延长交于点，再用含AK的式子表示出KE，KC，再根据KE=CK+1000求解即可．
【详解】解：（1）
（2）

（3）连接，返向延长交于点，则，步，

在中， 同理：
∵
∴∴
解得：（步）∴（步）
答：山峰的高度即的长大约是719步.
【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数，解题的关键是读懂题意，能够灵活运用所给等量关系式．
7．（2021·全国九年级课时练习）阅读下列材料：
题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上的中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示.

【答案】(1) ， ；(2).
【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解；
（2）仿照题中求sin2A的方法求cos2A.
【详解】解：(1)作边上的中线，于，

Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝，sinA＝.
则，，×.
在中，.
(2)则，，，，
所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－.
中，.
【点睛】本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理结合三角形函数来解直角三角形.




48．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c


（1）求证：
（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值
【答案】(1)详见解析;(2)AB=,.
【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.
(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出.
【详解】(1)

如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得,,根据三角函数可得,则.同理可得,.
∴.
(2)根据(1)的结论可得,,,.将值代入得:
,解得,即AB=.

过点B作BD⊥AC,由题意可得,,
∴AD=AB·sin=, AD=BC·sin=.∴AC=AD+CD=.
∴即,得.
【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.