专题1.4 整式的乘法与因式分解章末重难点题型-2021-2022学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题1.4 整式的乘法与因式分解章末重难点题型
【人教版】



【考点1 幂的基本运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an=am+n（m，n是正整数）
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n=amn（m，n是正整数）
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=anbn（n是正整数）
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
【例1】（2020春•雨花区校级期末）下列运算正确的是（　　）
A．a2⋅a3＝a6 B．（﹣a3）2＝a6
C．a9÷a3＝a3 D．（﹣bc）4＝﹣b4c4
【变式1-1】（2020秋•鹿城区校级月考）下列运算正确的是（　　）
A．2a2+a＝3a3 B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣a）3•a2＝﹣a6 D．（﹣a）2÷a＝a
【变式1-2】（2020春•顺德区期末）下列计算正确的是（　　）
A．（3×103）2＝6×105 B．36×32＝38
C．（-13）4×34＝﹣1 D．36÷32＝33
【变式1-3】（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（　　）
A．（x3）2＝x5 B．x3•x5＝x15
C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3 D．x6÷x3＝x2
【考点2 幂的混合运算】
【例2】（2019春•漳浦县期中）计算
（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4
（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1
（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；
（4）（﹣4am+1）3÷[2（2am）2•a]．
【变式2-1】（2019春•海陵区校级月考）计算
（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2
【变式2-2】（2019秋•崇川区校级月考）计算
（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]
【变式2-3】（2020春•安庆期中）计算：an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）
【考点3 巧用幂的运算进行简便运算】
【例3】（2020春•宁远县期中）计算（-512）2019×（225）2020的结果是（　　）
A．-512 B．-125 C．512 D．﹣2020
【变式3-1】（2020春•市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝　 　．
【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于　 　．
【变式3-3】（2019春•城关区校级期中）计算：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014
【考点4 幂的逆运算】
【例4】（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题
（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；
（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；
（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．
【变式4-1】（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【变式4-2】（2019春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【变式4-3】（2020•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；
（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；
（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．
【考点5 巧用幂的运算进行大小比较】
【例5】（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（　　）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．大小关系无法确定
【变式5-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（　　）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
【变式5-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）　 　．
【变式5-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2
∴322＞222，即322＞411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6
∴28＞26，即28＞82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
（1）比较344、433、522的大小
（2）比较8131、2741、961的大小
（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小
（4）比较312×510与310×512的大小
【考点6 幂的运算中新定义问题】
【例6】（2020春•漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝　 　，（2，14）＝　 　；
（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．
【变式6-1】（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．
（1）填空：T（2，64）＝　 　；
（2）计算：T(13，27)+T(-2，16)；
（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．
【变式6-2】（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：log24＝　 　；log216＝　 　；log264＝　 　．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．
【变式6-3】（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果ac＝b．那么【a，b】＝c
例如因为23＝8．所以【2，8】＝3
（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝　 　，【7，1】＝　 　【　 　，81】＝4
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：
设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4
即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】
②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【　 　，　 　】（结果化成最简形式）
【考点7 整式的乘法】
【例7】（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（　　）
A．1 B．﹣1 C．3x D．﹣3x
【变式7-1】（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（　　）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【变式7-2】（2019春•蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【变式7-3】（2019春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（　　）
A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．1，﹣1 D．1，1
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】（2020春•建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（　　）
①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）

A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
【变式8-1】（2019秋•平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）

A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
【变式8-2】（2020春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（　　）

A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【变式8-3】（2020春•漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：
①（2a+b）（m+n）；
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；
④2am+2an+bm+bn．
你认为其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点9 利用乘法公式求值】
【例9】（2020春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x﹣y．
【变式9-1】（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
【变式9-2】（2020春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）a2﹣b2﹣8．
【变式9-3】（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．
（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
【考点10 乘法公式几何背景】
【例10】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是　 　．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．

【变式10-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　 　．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：(1-122)(1-132)(1-142)⋯(1-120192)(1-120202)．

【变式10-2】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．

（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1　 　，
图2　 　，
图3　 　．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【变式10-3】（2020春•东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．
比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝　 　；

（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式 　；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式　 　（填写选项）．
A．xy=m2-n24 B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22
【考点11 整式乘除的计算与化简】
【例11】（2019春•淄川区期中）（1）计算：
①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
②-4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．
③（﹣4x﹣3y）2．
④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2
（2）先化简，再求值：
①(x+y)2-(x+y)(y-x)-12x(2x-y)，其中x＝﹣1，y=15．
②[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a，b满足2a﹣8b﹣6＝0．
【变式11-1】（2020春•郓城县期末）计算：
（1）（﹣2ab）2•3b÷（-13ab2）
（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92
（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=-12．
【变式11-2】（2020春•竞秀区期末）计算题：
（1）82019×（﹣0.125）2020
（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；
（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；
（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；
（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．
【变式11-3】（2019春•南山区校级期中）（1）化简：2x（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2；
（2）计算：20092﹣2010×2008；
（3）化简：（﹣3a2）3+（﹣4a3）2；
（4）已知a2﹣3a+1＝0，求代数式（3a﹣2）2﹣3a（2a﹣1）+5的值；
（5）已知m＝﹣1，n＝﹣2，求代数式（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）的值．
【考点12 整式混合运算的应用】
【例12】（2020春•衢州期中）如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．100 B．96 C．90 D．86
【变式12-1】（2020春•潜山市期末）已知图①是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边AB＝a+3b，将7张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积差为S，若BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b应满足（　　）

A．a=32b B．a＝2b C．a＝4b D．a＝3b
【变式12-2】（2020春•瑶海区期末）如图，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．当m﹣n＝2时，S1﹣S2的值为（　　）

A．﹣2b B．2a﹣2b C．2a D．2b
【变式12-3】（2020春•丹徒区期中）如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a
【考点13 因式分解的概念】
【方法点拨】掌握因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.
【例13】（2020春•鄞州区期中）下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2﹣1＝x（x-1x）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【变式13-1】（2020春•东台市期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的为（　　）
A．（2x﹣1）（x+3）＝2x2+5x﹣3
B．a4+4＝（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）
C．﹣6a2b＝﹣2a2•3b
D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x
【变式13-2】（2020秋•高新区校级月考）下列变形属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x﹣1＝x（1-1x）（x≠0）
C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【变式13-3】（2020春•淮安区期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣10）＝x2﹣10x D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例14】（2020春•邳州市期中）因式分解：
（1）x4﹣16；
（2）2ax2﹣4axy+2ay2．
【变式14-1】（2020春•锡山区期中）因式分解：
（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b；
（2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2．
【变式14-2】（2020春•玄武区期中）因式分解：
（1）a3﹣a；
（2）4ab2﹣4a2b﹣b3；
（3）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；
（4）（y2﹣1）2+6 （1﹣y2）+9．
【变式14-3】（2020春•高新区校级月考）因式分解：
（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；
（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．
【考点15 因式分解（十字相乘法）】
【方法点拨】借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解：这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
【例15】（2020春•绍兴期中）【阅读理解】如何将x2+（p+q）x+pq型式子分解因式呢？我们知道（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得；x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如：∵（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：
这样，我们可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
【迁移运用】利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+12．
（2）﹣2x2﹣2x+12．

【变式15-1】（2020春•北仑区期末）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【变式15-2】（2020春•宁远县期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2﹣5x﹣24进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2﹣19x﹣14．

【变式15-3】（2019秋•斗门区期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【考点16 因式分解（分组分解法）】
【方法点拨】分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能
出现公因式，二是分组后能应用公式．对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②
三一分法．
【例16】（2019秋•梁子湖区期末）观察下面分解因式的过程，并完成后面的习题
分解因式：am+an+bm+bn
解法一：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
解法二：原式＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
根据你发现的方法，分解因式：
（1）mx﹣my+nx﹣ny
（2）2a+4b﹣3ma﹣6mb．
【变式16-1】（2019秋•德州期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：（a+b）2﹣2（a+b）+1
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式（3a+2b）2﹣（2a+3b）2；
（2）分解因式．xy2﹣2xy+2y﹣4；
（3）分解因式：（a+b）（a+b﹣4）﹣c2+4．
【变式16-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4），这种分解因式的方法叫分组分解法．利用分组分解法分解因式：
（1）4x2+12xy+9y2﹣9；
（2）25a2+10ab﹣m2+b2+6mn﹣9n2．
【变式16-3】（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【考点17 利用因式分解求值】
【例17】（2020•眉山）已知a2+14b2＝2a﹣b﹣2，则3a-12b的值为（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【变式17-1】（2020春•碑林区校级月考）已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　）
A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11
【变式17-2】（2019秋•嘉祥县期末）已知a＝2019x+2018，b＝2019x+2019，c＝2019x+2020，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式17-3】（2020秋•鹿城区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3
∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9
∴a2（a﹣4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值．
（2）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【考点18 因式分解的应用】
【例18】（2020春•新昌县期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片　 　张，长方形纸片　 　张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内．
【变式18-1】（2020春•鼓楼区期中）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要A、B型板材若干块，A型板材规格是a×b，B型板材规格是b×b．现只能购得规格是150×b的标准板材．（单位：cm）
（1）若设a＝60cm，b＝30cm．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．

裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
3
m
n
则表中，m＝　 　，n＝　 　；
（2）为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是a×a，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式：　 　；
（3）若给定一个二次三项式2a2+5ab+3b2，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量）

【变式18-2】（2020春•高明区期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
（1）对于等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为　 　，宽为　 　，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．
（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？
方法1：　 　；
方法2：　 ；
数学等式：　 　；
（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知a+b+c＝8，a2+b2+c2＝26，求ab+bc+ac的值．

【变式18-3】（2020春•常德期末）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；

根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为b2（a﹣b），ab（a﹣b），a2（a﹣b）．
（1）分解因式：a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）＝　 　；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有a，b的代数式表示）
① 　；②　 　；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为　 　．
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解：x3﹣125；
（4）拓展：已知a﹣2b＝6，ab＝﹣2，你能求出代数式a4b﹣8ab4的值为　 　．