专题1.10第1章三角形的证明单元测试（培优卷）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

这是一份专题1.10第1章三角形的证明单元测试（培优卷）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】，文件包含专题110第1章三角形的证明单元测试培优卷-2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典解析版北师大版docx、专题110第1章三角形的证明单元测试培优卷-2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题1.10第1章三角形的证明单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知一个等腰三角形的底角为50°，则这个三角形的顶角为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去2个50°就是等腰三角形的顶角的度数．
【解析】180°﹣50°×2
＝180°﹣100°
＝80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝（　　）

A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DCA＝20°，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝20°+20°＝40°．
故选：B．
3．如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC＝100°，那么∠DAF的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝80°，根据线段垂直平分线的性质DA＝DB，得到∠DAB＝∠B，结合图形计算，得到答案．
【解析】∵BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理，∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝20°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，CD＝DE，∠CBD＝26°，则∠A的度数为（　　）

A．40° B．34° C．36° D．38°
【分析】利用角平分线的性质定理的逆定理得到BD平分∠ABC，则∠EBD＝∠CBD＝26°，然后利用互余计算∠A的度数．
【解析】∵DE⊥AB，DC⊥BC，DE＝DC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD＝26°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣2×26°＝38°．
故选：D．
5．如图，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D为BC边上的点，AD＝AC，BD＝2，则DC＝（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【分析】过点A作AE⊥BC，得到E是CD的中点，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，求出BE=52，进而求出DE=52-2=12，即可求CD．
【解析】过点A作AE⊥BC于点E，
∵AD＝AC，
∴E是CD的中点，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，
∴BE=52，
∵BD＝2，
∴DE=52-2=12，
∴CD＝1，
故选：B．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（　　）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF
【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根据三角形外角性质得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF．
故选：C．
7．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【解析】∵OC＝CD，
∴∠CDO＝∠O＝10°
∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CED＝20°，
∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，
故选：B．
8．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝12，BC＝5，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于点D、点E，那么△BCE的周长等于（　　）

A．25 B．17 C．18 D．以上都不对
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，故可得出△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC，由此即可得出结论．
【解析】∵在△ABC中，AC＝12，BC＝5，DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC＝12+5＝17．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）

A．3 B．2+3 C．3+2 D．2+2
【分析】如图．过点D作DF⊥AC于F．首先证明DE＝DF＝1，解直角三角形分别求出BD，DC即可解决问题．
【解析】如图．过点D作DF⊥AC于F．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD=2DF=2，
∴BC＝BD+CD＝2+2，
故选：D．
10．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．

A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1=12•AB•PD，S2=12•BC•PF，S3=12•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1=12•AB•PD，S2=12•BC•PF，S3=12•AC•PE，
∴S2+S3=12•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为　2　cm．

【分析】连接AN、AM，根据线段的垂直平分线的性质证明MB＝MA，得到∠NMA＝60°，同理NA＝NC，∠MNA＝60°，得到MN=13BC，得到答案．
【解析】连接AN、AM，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EM是AB的垂直平分线，
∴MB＝MA，
∴∠MAB＝∠B＝30°，
∴∠NMA＝60°，
同理NA＝NC，∠MNA＝60°，
∴△MAN是等边三角形，
∴BM＝MN＝NC=13BC＝2cm，
故答案为：2．

12．如图，△ABC中．∠C＝90°，AO平分∠BAC，OD⊥AB，BD＝3，OB＝5，则BC＝　9　．

【分析】根据勾股定理求出OD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出OC＝OD，然后即可求解．
【解析】∵OD⊥AB，BD＝3，OB＝5，
∴在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=52-32=4，
∵∠C＝90°，AO平分∠BAC，OD⊥AB，
∴OC＝OD＝4，
∴BC＝OB+OC＝5+4＝9．
故答案为：9．
13．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　1.5　．

【分析】首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE＝CF，继而求得答案．
【解析】连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD=BDDF=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．

14．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　45°　．

【分析】此题先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD＝AD，因为∠ADB＝90°，所以得出∠ABC＝45°．
【解析】∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内．
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠EAD＝∠EBD，
又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故答案为45°
15．已知P是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，点C在射线OA上，且∠OCP＝135°，点D在射线OB上运动．若DP＝CP，则∠ODP＝　135°或45°　．
【分析】由于点D在射线OB上运动，当DP＝CP时，满足条件的点D可以落在射线OB上的两个位置，分两种情况讨论即可．
【解析】如图，过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
又P是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，
∴PM＝PN．
在Rt△PMD与Rt△PNC中，
DP=CPPM=PN，
∴Rt△PMD≌Rt△PNC（HL），
∴∠PDM＝∠PCN．
∵∠OCP＝135°，
∴∠PCN＝45°，
∴∠PDM＝45°．
当D落在D1的位置时，∠ODP＝135°；
当D落在D2的位置时，∠ODP＝45°．
即∠ODP＝135°或45°．
故答案为：135°或45°．

16．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　3　cm．

【分析】求CE的长，题中给出DB＝DE，由角相等可求出CD＝CE，所以CE为边长AC的一半．
【解析】∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD=12AC＝3cm．
故填3．
17．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的周长为　48　．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2，进而得出答案．
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
∴△A5B5A6的周长为48，
故答案为：48．

18．“两直线平行内错角相等”的逆命题是　真　命题．（填“真”或“假”）
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．
【解析】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等，
∴其逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，是真命题；
故答案为：真．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．

【分析】先根据角平分线的性质，可得DE＝DF，再证得Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出结论．
【解析】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
20．已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求BC的长；
（2）求AE的长；
（3）求BD的长

【分析】（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝BC，再根据AE＝AB﹣BE计算即可得解；
（3）设CD＝DE＝x，利用勾股定理列式求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出BD．
【解析】（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC=102-82=6；
（2）∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
BD=BDCD=DE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4；
（3）设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
所以，CD＝DE＝3，
在Rt△BCD中，BD=62+32=35．
21．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解析】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．

22．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，BE，CD交于点F．
（1）求证：DC＝EB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形．

【分析】（1）先证AB＝AC，再由平行线的性质进而得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，因此BD＝CE，然后证△DBC≌△ECB（SAS），即可得出结论；
（2）由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，则△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，得△BCF是等腰三角形，BF＝CF，再由平行线的性质进而得∠FDE＝∠FED，则△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
【解析】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
即BD＝CE，
在△DBC和△ECB中，
BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB，
∴△DBC≌△ECB（SAS），
∴DC＝EB；
（2）解：图中所有的等腰三角形为△ABC、△ADE、△DEF、△BCF，理由如下：
由（1）得：AB＝AC，AD＝AE，△DBC≌△ECB，
∴△ABC、△ADE是等腰三角形，∠BCD＝∠CBE，
∴△BCF是等腰三角形，BF＝CF，
∵DE∥BC，
∴∠FDE＝∠BCD，∠FED＝∠CBE，
∴∠FDE＝∠FED，
∴△DEF是等腰三角形，FE＝FD．
23．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．

【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
（2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长．
【解析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
【解析】（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC=12AB．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE=12AB．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；

（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：
如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵∠W=∠MDBMW=DM∠WMG=∠DMB
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．



（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，∠DNG=∠HNBDN=HN∠H=∠2
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．

25．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC＝10，求AB+AE的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的定义判断，△ABC等腰直角三角形，BE为角平分线；可证△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；∠C＝45°，ED⊥DC，△EDC也符合题意，综上所述符合题意的三角形为有△ABC，△ABD，△ADE，△EDC；
（2）BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称．可得出BE⊥AD．
（3）根据（2），可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
【解析】（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．

（2）AD与BE垂直．
证明：由BE为∠ABC的平分线，
知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点，
∴AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE＝DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中
AE=DEBE=BE
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB＝BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE＝DC，
即AB+AE＝BD+DC＝BC＝10．
26．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．

【分析】（1）延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，利用SAS证明△CHG≌△EDG可得CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，再利用SAS证明△ABD≌△ACH可得AD＝AH，根据等腰三角形的性质可证明结论；
（2）延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，利用SAS证明△CMG≌△EDG可得CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，再利用SAS证明△ABD≌△ACM可得AD＝AM，根据等腰三角形的性质可求解．
【解析】（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
GH=GD∠CGH=∠EGDGC=GE，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
AB=AC∠ABD=∠ACHBD=CH，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
GM=GD∠CGM=∠EGDGC=GE，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
AB=AC∠ABD=∠ACMBD=CM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．