高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切随堂练习题

1.cos 23°sin 53°-sin 23°cos 53°等于(　　)

A. B.- C.- D.

解析:原式=sin 53°cos 23°-cos 53°sin 23°=sin(53°-23°)=sin 30°=.

答案:A

2.如果α∈,且sin α=,那么sincos α等于(　　)

A. B.- C. D.-

解析:sincos α=sin αcos+cos αsincos α=sin α=.

答案:A

3.函数f(x)=5sin x-12cos x(x∈R)的最小值是(　　)

A.-5 B.-12 C.-13 D.0

解析:由于f(x)=5sin x-12cos x=sin(x+φ)=13sin(x+φ),其中,sin φ=-,cos φ=.由于x∈R,所以x+φ∈R,故f(x)的最小值是-13.

答案:C

4.设a=2sin 24°,b=sin 85°-cos 85°,c=2(sin 47°·sin 66°-sin 24°sin 43°),则(　　)

A.a>b>c B.b>c>a[来源:Z,xx,k.Com]

C.c>b>a D.b>a>c

解析:b=sin 85°-cos 85°=2sin(85°-60°)=2sin 25°,

c=2(sin 47°sin 66°-sin 24°sin 43°)

=2(sin 47°cos 24°-cos 47°sin 24°)=2sin(47°-24°)=2sin 23°,

而a=2sin 24°,且sin 23°<sin 24°<sin 25°,

所以必有b>a>c.

答案:D

5.在△ABC中,若sin B=2sin Acos C,则△ABC一定是 (　　)

A.等腰直角三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等边三角形

解析:由于A+B+C=π,所以B=π-(A+C).

于是sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,

因此sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,

于是sin Acos C-cos Asin C=0,即sin(A-C)=0,

必有A=C,△ABC是等腰三角形.

答案:B

6.已知向量a=(cos x,sin x),b=(),a·b=,则cos等于(　　)

A.- B.- C. D.

解析:由a·b=,得cos x+sin x=,

∴cos x+sin x=,即cos ,故选D.

答案:D[来源:Z.xx.k.Com]

7.若α,β都为锐角,则sin(α+β)与sin α+sin β的值满足 (　　)[来源:Zxxk.Com]

A.sin(α+β)> sin α+sin β

B.sin(α+β)<sin α+sin β

C.sin(α+β)=sin α+sin β

D.sin(α+β)≥sin α+sin β[来源:学+科+网]

解析:将sin(α+β)利用两角和的正弦公式展开,注意锐角条件,则有sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β.

答案:B

8.已知tan(α+β)=2,则=　　　　. 

解析:原式==3.

答案:3

9.要使sin α-cos α=2m+1有意义,则m的取值范围是　　　　. 

解析:由于sin α-cos α=2=2sin,

因此-2≤2m+1≤2,即-≤m≤.

答案:

★10.已知cos,sin,其中<α<,0<β<,求sin(α+β)的值.

解:∵α+β++β-,

∴sin(α+β)=-cos

=-cos

=-coscos-sinsin.[来源:学科网ZXXK]

∵<α<,0<β<,

∴--α<0,+β<π.

∴sin=-,cos=-.

∴sin(α+β)=-.

★11.已知函数f(x)=-1+2sin 2x+mcos 2x的图象经过点A(0,1),求此函数在上的最值.

解:∵点A(0,1)在函数f(x)的图象上,

∴1=-1+2sin 0+mcos 0,解得m=2.

∴f(x)=-1+2sin 2x+2cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)-1=2sin-1.

∵0≤x≤,∴≤2x+.

∴-≤sin≤1.

∴-3≤f(x)≤2-1.

∴函数f(x)的最大值为2-1,最小值为-3.