【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科） 概率（精解精析）

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编   概率（原卷版）

一、选择题

1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 (　　)

A． B． C． D．

2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为 (　　)

A． B． C． D．

3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是              (　　)

A． B．

C． D．

4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个

爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机

取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 (　　)

5．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则              (　　)

A． B． C． D．

6．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是              (　　)

A． B． C． D．

7．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边,．的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II．其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自1，II,III的概率分别记为则              (　　)

A． B． C． D．

8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是              (　　)

 (　　)

A． B． C． D．

9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为              (　　)

A． B． C． D．

10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是              (　　)

(A)(B)(C)(D)

11．(2015高考数学新课标1理科)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0．6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为              (　　)

A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312

12．(2014高考数学课标2理科)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0．75，连续两为优良的概率是0．6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是              (　　)

A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45

13．(2014高考数学课标1理科)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率              (　　)

A． B． C． D．

二、填空题

14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是              ．

15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则         ．

16．(2013高考数学新课标2理科)从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则＝________．

17．(2012高考数学新课标理科)某个部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为        

三、解答题

18．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率．

19．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．

求；

求事件“且甲获胜”的概率．

20．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定，对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则()，

其中，，．假设，．

(i)证明：为等比数列；

(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．

21．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位：亿元)的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①：；根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②：．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

22．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

23．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．

(1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．

用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0．01)．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

24．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关．如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

25．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本题满分12分)某险种的基本保费为(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；

(III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

26．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(I)求的分布列；

(II)若要求，确定的最小值；

(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

27．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从，两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

地区：62  73  81  92  95  85  74  64  53  76

        78  86  95  66  97  78  88  82  76  89

地区：73  83  62  51  91  46  53  73  64  82

        93  48  65  81  74  56  54  76  65  79

(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；

(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件：“地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率．

28．(2014高考数学课标1理科)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);

(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差．

(i)利用该正态分布,求;

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187．8,212．2)的产品件数,利用(i)的结果,求．

附:．

若~,则．

29．(2013高考数学新课标2理科)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T的数学期望．

30．(2013高考数学新课标1理科)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为0．5，且各件产品是否为优质品相互独立

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望。

31．(2012高考数学新课标理科)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量

(单位：枝，)的函数解析式．

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

(i)若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润(单位：元)，求的分布列、

数学期望及方差．

(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由．