专题1.2一元一次不等式（组）（精讲精练）-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车（北师大版）
专题1.2一元一次不等式（组）（精讲精练）
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【知识梳理】
1.不等式：
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2.不等式的性质：
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
  若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
3.不等式的解集：
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
5.一元一次不等式：
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
6. 一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8. 一元一次不等式（组）的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式（组）；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
【典例剖析】
考点1 不等式的有关定义
【例1】（2021春•丛台区校级期中）式子①x﹣y＝2 ②x≤y③x+y④x2﹣3y⑤x≥0⑥12x≠3中，属于不等式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用不等式的定义进行解答即可．
【解析】①x﹣y＝2是二元一次方程；
②x≤y是不等式；
③x+y是代数式；
④x2﹣3y是代数式；
⑤x≥0是不等式；
⑥12x≠3是不等式；
属于不等式的共3个，
故选：B．
【变式1-1】（2021•新华区校级二模）在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足（　　）
A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8
【分析】根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8．显然是介于﹣8和8之间．
【解析】依题意得：|x|＜8
∴﹣8＜x＜8
故选：A．
【变式1-2】（2019春•德惠市期末）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是2℃～6℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（　　）
A．2℃～3℃ B．2℃～8℃ C．3℃～6℃ D．6℃～8℃
【分析】找出甲乙两种蔬菜温度的公共部分即可．
【解析】∵甲种蔬菜保鲜适宜的温度是2℃～6℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，
∴将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是3℃～6℃，
故选：C．
【变式1-3】（2021春•中原区校级月考）下列式子：
①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1，
其中不等式有（　　）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据不等式定义可得答案．
【解析】①3＞0；②4x+5＞0；③x＜3；⑤x≠﹣4；⑥x+2＞x+1是不等式，共5个，
故选：C．
【变式1-4】（2021春•南昌期末）如图，是某品牌的酒精消毒液，容积为200mL，标注的酒精含量是75%±5%，此时，每毫升酒精消毒液约是0.85克，设该品牌酒精消毒液含酒精为x克，则x的取值范围约是　119≤x≤136　．

【分析】利用200×酒精含量×每毫升酒精中消毒液含量，然后可得答案．
【解析】200×80%×0.85＝136，
200×70%×0.85＝119，
则119≤x≤136，
故答案为：119≤x≤136．
考点2 不等式的基本性质
【例2】（2021秋•罗湖区校级期末）下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2 B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2
C．若x＞y，则2x＞2y D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解析】A、∵x＞y，y＞2，
∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x＞y，
∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•沙坪坝区校级月考）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中成立的是（　　）
A．a+c＞b+c B．ac＜bc C．ac2＞bc2 D．ac+1＞bc+1
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解析】A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式2-2】（2021春•昌图县期末）如果a＞b，且ac＜bc，那么应有（　　）
A．c＜0 B．c＝0 C．c＞0 D．c≥0
【分析】根据不等式的性质3得出即可．
【解析】∵a＞b，ac＜bc，
∴c＜0，
故选：A．
【变式2-3】（2021春•浦北县期末）下列推理不正确的是（　　）
A．如果a＞b，那么2a＞2b
B．如果a﹣1＞b﹣1，那么a＞b
C．如果-12a＞-12b，那么a＜b
D．如果a＞b，那么﹣2a＞﹣2b
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解析】A、不等式a＞b两边都乘以2可得2a＞2b，故本选项不合题意；
B、不等式a﹣1＞b﹣1两边都加上1可得a＞b，故本选项不合题意；
C、不等式-12a＞-12b两边都乘以﹣2可得a＜b，故本选项不合题意；
D、不等式a＞b两边都乘以﹣2可得﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式2-4】（2019秋•下城区期末）设、是实数，、是正整数，若，则　　
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况分析四个选项，若时，，则；若时，，则；能使两种情况均成立的即为所求．
【解析】、是正整数，
若时，，则，
、、正确，不正确；
若时，，则，
正确；
综上所述：正确；
故选：．
考点3 解一元一次不等式（组）
【例 3】（2021秋•青田县期末）解不等式组：2x+1＞-1x+1≤3．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解析】2x+1＞-1①x+1≤3②，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
【变式3-1】（2021秋•延庆区期末）解不等式：3（x+1）≤5x+7，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解析】3（x+1）≤5x+7，
去括号，得3x+3≤5x+7，
移项、合并同类项，得﹣2x≤4，
系数化成1，得x≥﹣2，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
【变式3-2】（2021秋•朝阳区校级月考）不等式组3x+6＞0x-3≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解析】3x+6＞0①x-3≤0②，
由①得x＞﹣2，
由②得x≤3，
不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•罗湖区校级期末）解不等式组3x＜x+2，①x+12≥2x+15．②并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解析】3x＜x+2，①x+12≥2x+15．②，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
在数轴上表示为：
．
考点4 一元一次不等式的整数解及含参问题
【例4】（2021•江汉区校级一模）若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（　　）
A．6＜a＜7 B．7＜a＜8 C．6≤a＜7 D．6≤a＜8
【分析】首先确定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解析】解不等式2x﹣a≤0，得：x≤a2，
∵不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，
∴3≤a2＜4，
解得：6≤a＜8，
故选：D．
【变式4-1】（2021秋•青田县期末）若关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，则整数m的最大值是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】先解不等式得到x＜13（m﹣1），再根据正整数解是1，2，3得到3＜13（m﹣1）≤4时，然后从不等式的解集中找出适合条件的最大整数即可．
【解析】解不等式3x+1＜m，得x＜13（m﹣1）．
∵关于x的不等式3x+1＜m的正整数解是1，2，3，
∴3＜13（m﹣1）≤4，
∴10＜m≤13，
∴整数m的最大值是13．
故选：D．
【变式4-2】（2021春•惠安县期末）已知关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，则满足条件的整数a的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】先求出不等式的解集，根据不等式的整数解得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数a即可．
【解析】解不等式3x﹣2a＜4﹣5x得：x＜a+24，
∵关于x的不等式3x﹣2a＜4﹣5x有且仅有三个正整数解，是1，2，3，
∴3＜a+24≤4，
解得：10＜a≤14，
∴整数a可以是11，12，13，14，共4个，
故选：B．
【变式4-3】（2021春•相城区期末）一元一次不等式的解集在数轴上如图表示，该不等式有两个负整数解，则a的取值范围是（　　）

A．﹣3≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣2≤a＜﹣1 D．﹣3＜a＜﹣1
【分析】根据关于x的一元一次不等式x≥a的两个负整数解只能是﹣2、﹣1，求出a的取值范围即可求解．
【解析】∵关于x的一元一次不等式x≥a只有两个负整数解，
∴关于x的一元一次不等式x≥a的2个负整数解只能是﹣2、﹣1，
∴a的取值范围是﹣3＜a≤﹣2．
故选：B．
考点5一元一次不等式组的整数解问题
【例5】（2021秋•余杭区期末）若关于x的不等式组x-2＜03x+4＞a-x恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．1
【分析】求出不等式组的解集，由不等式组整数解有3个，确定出a的范围，即可求得满足条件的整数．
【解析】解不等式组得：a-44＜x＜2，
由关于x的不等式组x-2＜03x+4＞a-x恰好只有2个整数解，得到﹣1≤a-44＜0，即0≤a＜4，
满足条件的整数a的值为0、1、2、3，
整数a的值之和是0+1+2+3＝6，
故选：C．
【变式5-1】（2021春•南关区月考）若不等式组x＜1x≥m-1恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0
【分析】根据不等式组x＜1x≥m-1恰有两个整数解，可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解析】∵不等式组x＜1x≥m-1，
∴该不等式组的解集为m﹣1≤x＜1，
∵不等式组x＜1x≥m-1恰恰有两个整数解，
∴﹣2＜m﹣1≤﹣1，
∴﹣1＜m≤0．
故选：B．
【变式5-2】（2021春•东兴区校级月考）关于x的不等式组x-12-x+23≤1x-a＞2只有3个整数解，求a的取值范围（　　）
A．8≤a＜9 B．8＜a≤9 C．8＜a＜9 D．8≤a≤9
【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意列出关于a的不等式组，解不等式组得到答案．
【解析】x-12-x+23≤1①x-a＞2②，
解①得，x≤13，
解②得，x＞2+a，
∴不等式组的解集为：2+a＜x≤13，
∵不等式组只有3个整数解，
∴10≤2+a＜11，
解得，8≤a＜9，
故选：A．
【变式5-3】（2021秋•龙凤区校级期末）如果关于x的不等式组x-m2≥2x-4≤3(x-2)的解集为x≥1，且关于x的方程m-(1-x)3=x-2有非负整数解，则所有符合条件的整数m的值有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】表示出不等式组的解集，由已知解集确定出m的范围，表示出方程的解，由方程有非负整数解，确定出整数m的值即可．
【解析】不等式组整理得：x≥4+mx≥1，
由不等式组的解集为x≥1，得到m+4≤1，即m≤﹣3，
方程去分母得：m﹣1+x＝3x﹣6，
解得：x=m+52，
由方程有非负整数解，得到m＝﹣5或﹣3，
则符合条件的整数m的值有2个．
故选：A．
【变式5-4】（2021春•津南区校级期末）已知关于x的不等式组x-m＞02x-n≤0的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（　　）
A．3 B．4 C．5或6 D．6或7
【分析】先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得．
【解析】解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
解不等式2x﹣n≤0，得：x≤n2，
∵不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴﹣3≤m＜﹣2，4≤n2＜5，即8≤n＜10，
∵m，n为整数，
∴m＝﹣3，n＝8或n＝9，
当n＝8时，m+n＝﹣3+8＝5；
当n＝9时，m+n＝﹣3+9＝6；
综上，m+n的值为5或6，
故选：C．
考点6不等式的解集问题
【例6】（2021春•锦江区校级月考）若不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞2
【分析】根据“同小取小”即可得出m的取值范围．
【解析】∵不等式x≤m的解都是不等式x≤2的解，
∴m≤2．
故选：A．
【变式6-1】（2021春•东西湖区期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　）
A．x＜-12 B．x＞12 C．x＞-12 D．x＜12
【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m＝3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】∵mx﹣n＞0，
∴mx＞n，
∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，
∴m＜0，nm=13，
∴m＝3n，n＜0，
∴n﹣m＝﹣2n，m+n＝4n，
∴关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是x＞-12，
故选：C．
【变式6-2】（2021•博兴县模拟）已知关于不等式2＜（1﹣a）x的解集为x＜21-a，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＞0 C．a＜0 D．a＜1
【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
【解析】由题意可得1﹣a＜0，
移项得﹣a＜﹣1，
化系数为1得a＞1．
故选：A．
【变式6-3】（2021春•武昌区期末）若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞-23，则关于x的不等式mx﹣m＞2nx﹣n的解集是（　　）
A．x＞43 B．x＜43 C．x＞-43 D．x＜-43
【分析】根据不等式的性质3，可得m、n的关系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣n，解不等式可得答案．
【解析】∵mx+m＜﹣nx+n，
∴（m+n）x＜n﹣m，
∵关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞-23，
∴m+n＜0，
∴x＞n-mm+n，
∴n-m=2①m+n=-3②，
①+②得：2n＝﹣1，
∴n=-12，
把n=-12代入①得：-12-m＝2，
∴m=-52，
∴把n=-12，m=-52代入mx﹣m＞2nx﹣n，得：
[-52-2×(-12)]x＞-52-(-12)，
解得，x＜43．
故选：B．
【变式6-4】（2021•唐山二模）已知关于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+13＞0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解析】由4x+a3＞1得，x＞3-a4，
由2x+13＞0得，x＞-12，
∵关于x的不等式4x+a3＞1的解都是不等式2x+13＞0的解，
∴3-a4≥-12，
解得a≤5．
即a的取值范围是：a≤5．
故选：C．
考点7一元一次不等式与一次函数之间的关系
【例7】（2021秋•玄武区期末）如图，函数y＝kx+b经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（　　）

A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2
【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值小于2的自变量x的取值范围．
【解析】由图中可以看出，当x＞﹣3时，kx+b＜2，
故选：A．
【变式7-1】（2021秋•济南期末）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集是（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1
【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
【解析】当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：B．
【变式7-2】（2021秋•罗湖区校级期中）一次函数y1＝kx+b与y2＝mx+n的图象如图所示，则以下结论：①k＞0；②b＞0；③m＞0；④n＞0；⑤当x＝3时：y1＞y2．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合函数图象，利用一次函数的性质对①②③④进行判断；利用函数图象得到x＞2时，一次函数y1＝kx+b的图象在y2＝mx+n的图象上方，则可对⑤进行判断．
【解析】∵一次函数y1＝kx+b的图象经过第一、三象限，
∴k＞0，所以①正确；
∵一次函数y1＝kx+b的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴b＜0，所以②错误；
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过第二、四象限，
∴m＜0，所以③错误；
∵一次函数y2＝mx+n的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴n＞0，所以④正确；
∵x＞2时，y1＞y2，
∴当x＝3时：y1＞y2．所以⑤正确．
故选：C．
【变式7-3】（2021秋•福田区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx﹣n＞mx的解集是　x＞1　．

【分析】写出直线y＝kx在直线y＝mx+n上方所对应的自变量的范围即可．
【解析】根据图象可知：两函数的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx﹣n＞mx的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
考点8一元一次不等式的应用问题
【例8】（2021•市南区二模）为了应对“新冠”防疫对口罩的需求，某药店的口罩专柜，对A，B两种品牌的口罩分两次采购试销后，供不应求，计划继续采购进行销售．已知这两种口罩过去两次的进货情况如下表：

第一次
第二次
A品牌口罩数/个
8000
10000
B品牌口罩数/个
6000
8000
累计采购款/元
29200
37600
（1）问A，B两种品牌口罩的进货单价各是多少元？
（2）由于A品牌口罩的销量好于B品牌，药店决定采购A品牌的口罩数比B品牌口罩数的32多1000个，在采购总价不超过43600元的情况下，最多能购进多少个A品牌口罩？
【分析】（1）设A品牌口罩的进货单价为x元，B品牌口罩的进货单价为y元，根据总价＝单价×数量结合两次的进货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m个B品牌口罩，则购进（32m+1000）个A品牌口罩，根据总价＝单价×数量结合采购总价不超过43600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再将其代入（32m+1000）中取最大值即可得出结论．
【解析】（1）设A品牌口罩的进货单价为x元，B品牌口罩的进货单价为y元，
依题意得：8000x+6000y=2920010000x+8000y=37600，
解得：x=2y=2.2．
答：A品牌口罩的进货单价为2元，B品牌口罩的进货单价为2.2元．
（2）设购进m个B品牌口罩，则购进（32m+1000）个A品牌口罩，
依题意得：2（32m+1000）+2.2m≤43600，
解得：m≤8000，
∴32m+1000≤13000．
答：最多能购进13000个A品牌口罩．
【变式8-1】（2021•安徽二模）波波家具城是家专门卖家具的商场，坐落在城市的中心．5月份，波波家具城为了提高销售业绩，将单价为300元一张的桌子和60元一把的椅子推行了两种优惠方案．
方案一：买一张桌子赠送两把椅子；方案二：按总价的87.5%付款．
某公司准备装修，正准备购买5张桌子和若干把椅子，其中椅子不会少于10把，问：这个公司选择家具城所推行的哪种优惠方案会比较划算？
【分析】设该公司准备购买x把椅子（x≥10），分选择方案一划算、选择两种方案费用相同及选择方案二划算三种情况，找出关于x的一元一次不等式（或一元一次方程），解之即可得出结论．
【解析】设该公司准备购买x把椅子（x≥10）．
当选择方案一划算时，300×5+60（x﹣5×2）＜（300×5+60x）×87.5%，
解得：x＜55；
当选择两种方案费用相等时，300×5+60（x﹣5×2）＝（300×5+60x）×87.5%，
解得：x＝55；
当选择方案二划算时，300×5+60（x﹣5×2）＞（300×5+60x）×87.5%，
解得：x＞55．
答：当该公司准备购买的椅子不少10把且少于55把时，选择优惠方案一划算；当该公司准备购买的椅子等于55把时，选择两种优惠方案费用相同；当该公司准备购买的椅子多于55把时，选择优惠方案二划算．
【变式8-2】（2021•越秀区一模）疫情期间为了满足口罩需求，某学校决定购进A，B两种型号的口罩．若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元，
（1）求A，B两种型号的口罩每盒各需多少元？
（2）若该学校决定购进这两种型号的口罩共计200盒，考虑到实际需求，要求购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，请为该学校设计出最省钱的方案，并说明理由．
【分析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，根据“若购进A型口罩10盒，B型口罩5盒，共需1000元；若购进A型口罩4盒，B型口罩3盒，共需550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，由购进A型号口罩的盒数不超过B型口罩盒数的6倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该学校购进这批口罩共花费w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解析】（1）设购进A型口罩每盒需x元，B型口罩每盒需y元，
依题意，得：10x+5y=10004x+3y=550，
解得：x=25y=150．
答：购进A型口罩每盒需25元，B型口罩每盒需150元．
（2）设购进m盒A型口罩，则购进（200﹣m）盒B型口罩，
依题意，得：m≤6（200﹣m），
解得：m≤17137．
设该学校购进这批口罩共花费w元，则w＝25m+150（200﹣m）＝﹣125m+30000．
∵﹣125＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m≤17137，且m为整数，
∴当m＝171时，w取得最小值，此时200﹣m＝29．
∴最省钱的购买方案为：购进171盒A型口罩，29盒B型口罩．
【变式8-3】（2021春•荔湾区校级月考）某电器超市销售200元、170元的A、B两种型号的电风扇．下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣送货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备电风扇共30台，打算销售完实现利润不低于1320元，求A种型号的电风扇至少要采购多少台？
【分析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量结合近两周的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种型号的电风扇采购了m台，则B种型号的电风扇采购了（30﹣m）台，根据总利润＝销售每台的利润×销售数量（购进数量）结合销售总利润不低于1320元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设A种型号的电风扇的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，
依题意得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A种型号的电风扇的销售单价为250元，B种型号的电风扇的销售单价为210元．
（2）设A种型号的电风扇采购了m台，则B种型号的电风扇采购了（30﹣m）台，
依题意得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）≥1320，
解得：m≥12．
答：A种型号的电风扇至少要采购12台．
考点9一元一次不等式组的应用问题
【例9】（2021•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？
【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，即可得出W关于a的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．
【解析】（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：
50x+20y=500030x+10y=2800，
解这个方程组得：x=60y=100，
答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，
60a+100(500-a)≤42000500-a≥14a，
解得，200≤a≤400．
∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，
∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣40a．
∵﹣40＜0，
∴W值随a值的增大而减小，
∵200≤a≤400，
∴当a＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
【变式9-1】（2021春•江岸区校级月考）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元．
（1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？
（2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的14，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，根据购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元l列方程组求解；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，根据要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的14，不超过B型打印机数量的一半；购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元；可列不等式组求解．
【解析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有
3x+4y=61804x+6y=8840，
解得x=860y=900．
故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有
m≥14(20-m)m≤12(20-m)860m+900(20-m)≤17800，
解得：5≤m≤203．
故共有两种购买方案：
购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）；
购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）；
∵17800＞17760，
∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．
【变式9-2】（2021秋•武汉月考）某超市看好A，B两种水果的市场价值，决定每天购进A，B两种水果共100千克，经调查这两种水果的进价及售价如表所示，设购买A种水果x千克（x为整数）．
种类
A
B
进价/元
10
14
售价/元
16
18
（1）用含有x的式子表示：该超市每天投入资金　（1400﹣4x）　（元），每天利润　（400+2x）　（元）；（请直接写出结果）
（2）若该超市每天投入资金不少于1160元，每天利润又不少于514元，则共有几种不同的购买方案？
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的A种水果每千克捐出2a元，B种水果每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）设购买A种水果x千克，则购买B种水果（100﹣x）千克，根据每天投入的资金＝进价×购进数量及每天的利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可用含x的代数式表示出各量；
（2）根据“该超市每天投入资金不少于1160元，每天利润又不少于514元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出购买方案的个数；
（3）由每天的利润为（400+2x）元，可得出当x＝6时超市获得的利润最大，再根据利润＝销售收入﹣成本结合要保证捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）设购买A种水果x千克，则购买B种水果（100﹣x）千克，
∴该超市每天投入的资金为10x+14（100﹣x）＝（1400﹣4x）元，每天的利润为（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝（400+2x）元．
故答案为：（1400﹣4x）；（400+2x）．
（2）依题意得：1400-4x≥1160400+2x≥514，
解得：57≤x≤60．
又∵x为整数，
∴x可以为57，58，59，60，
∴共有4种不同的购买方案．
（3）∵每天的利润为（400+2x）元，2＞0，
∴当x＝60时，超市获得的利润最大．
依题意得：60（16﹣2a）+（100﹣60）（18﹣a）﹣60×10﹣（100﹣60）×14≥[60×10+（100﹣60）×14]×20%，
解得：a≤1.8．
答：a的最大值为1.8．
【变式9-3】（2021秋•开福区校级期中）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱，根据购买20个垃圾箱的总费用低于2150元且至少购买6个B型垃圾箱，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出购买方案的个数．
【解析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：3x+2y=5403y-2x=160，
解得：x=100y=120．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱，
依题意，得：100(20-m)+120m＜2150m≥6，
解得：6≤m＜152．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【变式9-4】（2021春•蔡甸区校级月考）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．
（1）求食品和矿泉水各有多少箱？
（2）现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？
（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？
【分析】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，根据“品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，根据租用的10辆货车可以一次运送这批物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案；
（3）根据总运费＝每辆车的运费×租车辆数，可分别求出三个运输方案所需总运费，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设食品有x箱，矿泉水有y箱，
依题意，得：x+y=410x-y=110，
解得：x=260y=150．
答：食品有260箱，矿泉水有150箱．
（2）设租用A种货车m辆，则租用B种货车（10﹣m）辆，
依题意，得：40m+20(10-m)≥26010m+20(10-m)≥150，
解得：3≤m≤5，
又∵m为正整数，
∴m可以为3，4，5，
∴共有3种运输方案，方案1：租用A种货车3辆，B种货车7辆；方案2：租用A种货车4辆，B种货车6辆；方案3：租用A种货车5辆，B种货车5辆．
（3）选择方案1所需运费为600×3+450×7＝4950（元），
选择方案2所需运费为600×4+450×6＝5100（元），
选择方案3所需运费为600×5+450×5＝5250元）．
∵4950＜5100＜5250，
∴政府应该选择方案1，才能使运费最少，最少运费是4950元．