清单02 常用逻辑用语（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单02 常用逻辑用语（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单02 常用逻辑用语
一、知识与方法清单
1. “⇒”及“⇔”的含义
“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,
“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.
【对点训练1】给出下列结论：①；②；③,其中正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D .3
【答案】 C
【解析】①②正确,③错误,故选C.
2.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；
(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
【对点训练2】（2021江西南昌二中、河南实验中学高三5月冲刺联考）已知,,则“存在使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于在R上的最大值为2,最小值,且相邻的最大值与最小值之间的水平距离为半个周期,即,所以若存在使得,则必有,但反之不成立,比如时,,但在上的最大值为2,最小值为,时的最大值为3,不可能等于4,∴“存在使得”是“”的充分不必要条件,
故选A.
3.充分条件与必要条件的理解
充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”
【对点训练3】若实数a,b满足a>0,b>0,则“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设f(x)＝x＋lnx,显然f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∵a>b,∴f(a)>f(b),
∴a＋lna>b＋lnb,故充分性成立；
∵a＋lna>b＋lnb,
∴f(a)>f(b),∴a>b,故必要性成立,
故“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”的充要条件,故选C.
4.从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
【对点训练4】（2021湖北省武汉市华中师大一附中高三上学期期中）“”是“,是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意,命题“,是假命题”可得命题“,是真命题”,当时,即时,不等式恒成立；
当时,即时,则满足,解得,
综上可得,实数,即命题“,是假命题”时,实数的取值范围是,又由“”是“”的必要不充分条件,
所以“”是“,是假命题”的必要不充分条件,
故选B.
5.判断充分条件、必要条件的注意点
(1)明确条件与结论.
(2)判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
(3)可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.
【对点训练5】设a,b为正数,则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】∵a－b>1,即a>b＋1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1,即a2－b2>1成立；反之,当a＝,b＝1时,满足a2－b2>1,但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．
6.充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
①p是q的充分条件；②p的充分条件是q.
【对点训练6】已知,命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,为真命题,所以,,因为函数在上单调递增,所以,所以
又因为,所以命题“,”是真命题的一个充分不必要条件为,故选C
7. 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【对点训练7】设命题,命题,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由题意得,,解得,所以,由
,解得,即,要使得是的充分不必要条件,则,解得,所以实数的取值范围是.
8.充要条件的证明策略
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
【对点训练8】证明数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1
证明：充分性:当q=-1时,a1=p-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时,上式也成立.
于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p,即数列{an}为等比数列.
必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1,
所以an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p.
因为{an}为等比数列,
所以a2a1=an+1an=p=p(p-1)p+q,所以q=-1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
9.求充要条件的方法
求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.
【对点训练9】已知集合M={x|x5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5