清单01 集合的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单01 集合的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共23页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

清单01 集合的概念及运算
一、知识与方法清单
1. 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. 判断某些对象组成的总体能否构成集合,其方法是：若某些对象能组成集合,则有明确的标准可以判断一个对象是否属于该集合,否则就不能构成集合.给定的集合,它的元素必须是确定的,也就是说,如果给定一个集合,那么任何一个元素是否属于这个集合中就确定了.判断元素否是在给定集合中的依据是该元素是否满足集合所具有的确定特征或属性.给定的元素要么在给定的集合里,要么不在给定的集合里,两种情况必有且只有其一成立.
【对点训练1】下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2019-2020学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【解析】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选B
2.集合常用大写拉丁字母A,B,C,D,…表示.集合中的元素常用小写拉丁字母a,b,c,d,…表示.如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作.若不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作.元素与集合的关系好比是个体与集体的关系,元素是集合中的个体成员,集合是元素的集体团队.注意“”与“”只能用在元素与集合之间,不能用在集合与集合之间或元素与元素之间.任何元素与集合A,关系式和有且只有一个成立.
【对点训练2】若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．aA
【答案】D
【解析】由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知aA.
3. 确定性、互异性、无序性是集合的三个重要特征,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,不少同学常因忽视互异性,疏于检验而出错．一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去.
【对点训练3】已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则的值为_________．
【答案】1
【解析】当a＋2＝1时，a＝－1，此时有(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，当a＝－2，则a2＋3a＋3＝1，舍去，经验证a＝0时满足；当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或a＝－2，由上知均不满足，故a＝0，则＝1．
4.常用数集的记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集）,记作N;
所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N+或N*；
全体整数组成的集合称为整数集,记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集,记作R.
【对点训练4】（2021甘肃省张掖市高三第一学期10月月考）若集合则中元素的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【答案】B
【解析】由，所以，
，共4个元素，故选B.
5. 注意奇数集与正奇数集的表示
①奇数集：；
②正奇数集：.
【对点训练5】已知集合，则
A．AB B．BA C． D．
【答案】B
【解析】，是整数，是奇数，故选B。
6.把集合中的元素一一列举出来,放在“”花括号内表示集合的方法叫列举法,如,等.列举法一般适用于元素个数有限、可列的集合；元素之间用“,”号隔开。
【对点训练6】用列举法表示方程的整数解集为 。
【答案】
【解析】用列举法表示方程的整数解集为。
7.描述法是指用集合所含元素的公共特征（满足条件）表示集合的方法.
写法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线的后面写上这个集合中元素所具有的公共特征.如：表示的形式为,其中是集合中元素的代表,A表示的取值范围,表示满足的条件.
解读：
（1）要写清集合的代表元素及其表示的范围；
（2）若,则可简写为的形式；
（3）描述满足的条件的语句力求精简、确切；
（4）若描述元素的公共特征有两个或两个以上,则注意“或”、“且”的准确、合理使用.
【对点训练7】（2021陕西省宝鸡市高三上学期11月教学质量检测）已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】根据题意，，，则，则集合中元素中有1个元素.故选A.
8.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集.
【对点训练8】（2021上海市虹口区高三二模）已知集合，，则___________.
【答案】
【解析】因为集合，，所以
9.二元方程组解的集合可看作点集，如 解的集合为{(2，1)}。
【对点训练9】(2021重庆市育才中学高三1月月考)若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，用列举法表示为，故选B.
10.子集的定义及性质
定义：一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作：“A包含于B”（或“B包含A”）这时,我们也说集合A为集合B的子集.符号：若,有,则称A⊆B.
理解子集的概念时可赋予其通俗的现实意义,如公司的一个部门,学校中的某个班级等.“A包含于B”中的“于”是“被”的意思,简单地说就是A被B包含.“”类似于“”,开口朝向谁谁就“大”.
性质：
(1)自反性：任何一个子集都是它本身的子集,即.
(2)传递性：若,且,则.
【对点训练10】（2021湖北省武汉市高三5月押题卷）已知为的两个不相等的非空子集，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据集合的运算，因为，可得，所以，所以.
11．真子集的定义及性质
定义:如果AB,但存在x∈B,且xA,我们称集合A是集
合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.
性质:
若A B,B C,则A C.
解读：“若A B,B C,则A C”可与“若, ,则”类比.
【对点训练11】（2021上海市普陀区高三上学期11月调研测试）已知常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角不等式得，
若，则，所以，所以，故不可能的是B．故选B．
12.空集
我们把不含有任何元素的集合称为空集,记作,并规定：空集是任何集合的子集.
解读：
（1）空集是任何集合的子集,即对任意集合A,⊆A.
（2）空集有多种不同的具体形式,如{x||x|<0},{x|x2+1=0}等.
（3）注意不要把与{0},{}混淆,{0}表示只有一个元素0的集合,{}表示只有一个元素的集合.
【对点训练12】（2021山西省朔州市怀仁市高三上学期第四次月考）下列各式中，正确的是（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥.
A．①② B．②⑤ C．④⑥ D．②③
【答案】D
【解析】①集合之间没有属于、不属于关系，错误.②是相等的，故成立，正确.③空集时任何集合的子集，正确.④不相等，错误.
⑤集合研究的元素不一样，没有相等或包含关系，错误.⑥，元素与集合只有属于、不属于关系，错误.故选D
13.有限集的子集个数
若集合A中有n个元素,求它的子集个数,可用乘法原理：在一个子集中,每个元素都有被选中与不被选中两种可能,由乘法原理可知：A的子集个数为 ,由此可得到以下结论：若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.
【对点训练13】（2021新疆乌鲁木齐高三三模）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【解析】由题意，集合，可得，所以集合的真子集的个数为.故选A.
14.Venn图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系如下图：

B
A





图示法表示集合一定是封闭的图形.一般地,常用圆、矩形、椭圆等表示集合.图示法表示集合较为直观、明了,适合于表示集合之间的关系.
【对点训练14】（2021宁夏中卫市高三第二次优秀生联考）已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】或，阴影部分用集合表示，
因为，所以，又因为，
所以，因此的元素有3个，故选C
15.判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含.
【对点训练15】(2021浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟)已知，，为非空集合，且，，，对于1，2，3的任意一个排列，，，若，，则，则下列说法正确的是（ ）．
A．三个集合互不相等 B．三个集合中至少有两个相等
C．三个集合全都相等 D．以上说法均不对
【答案】B
【解析】根据题意，若，显然正确，故排除A，若亦符合题意，故排除C，而D排除了所有可能，也是错的，故选B.
16.集合的并集
定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫做集合A与B的并集,记作,读作A并B,
数学表达式：.
用Venn图表示（阴影部分）如图所示：

A

B
A
B
B

解读：（1）仍然是一个集合.
（2）并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可,这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼,必居其一,而并集中的“或”字可以是兼有的. 或有三层含义：；；.
（3）对定义中“所有”二字不能简单地理解为把A,B中的元素放在一起,就是中的元素,要注意元素的互异性.
【对点训练16】（2021湖北省华大新高考联盟高三1月教学质量测评）若集合，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，则，解得，，，
故选D．
17.集合的交集
定义：一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫做A与B的交集,记作,读作A交B.
数学表达式：.
用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
A
B
B

A

B

解读：（1）由是由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合.（2）仍然是一个集合,当集合A与集合B没有元素时,.
【对点训练17】（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）已知向量集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，且，则，
且.，解得，则.故选B.
18.集合的补集
.全集的定义：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作.
解读：（1）全集包含我们所要研究的集合的全部元素,所要研究的集合都是它的子集.
（2）全集是相对于所研究问题的一个相对概念,所研究的问题变了,全集有可能就变了,如我们只在整数集Z范围内研究问题时,全集就是整数集Z,而当研究的问题拓展到实数集时,全集就是实数R,这时,整数集Z就不是全集了.
补集的定义：对于全集的一个子集A,由全集中不属于A的所有元素组成的集合,称为集合A相对于全集的补集,简称为集合A的补集,记作.
数学表达式：.
用Venn图表示（阴影部分）如图所示：
U
A


解读：（1）若全集为具体的数集,则全集符号可换成相应的数集符号,如全集为实数R,可记为.
（2）补集既是集合之间的一种关系,又是集合之间的一种运算.
【对点训练18】（2021湖南省六校高三下学期4月联考）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】或，，所以，
所以中的元素个数为.故选C
19.在利用集合的交集、并集、补集性质解题时,常常会遇到A∩B＝A,A∪B＝B等这类问题,在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,以下几个等价转化关系,请同学们务必掌握：A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A∩()=⇔()∪B=U,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．
【对点训练19】（2021安徽省安庆市高三下学期二模）已知集合，，若，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由知，故，解得．故选C．
20. 德摩根律与容斥原理
德摩根律
① ；
②
解读：以上两式常在集合运算中出现,其正确性可通过下面的Veen图验证：

容斥原理
我们把含有有限个元素的集合称为有限集,用card（A）表示有限集A的元素个数,如A={-1,2,3,4},则card（A）=4,

由上图易得①card（A∪B）= card（A）+card（B）－card（A∩B）；② card（A∪B∪C）= card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）+card（A∩B∩C）.
【对点训练20】已知50名同学参加跳远与铅球两项测试,及格人数分别有40人、31人,两项都不及格的有4人,那么两项都及格的有 人.
【答案】25
【解析】设50名同学组成全集U,跳远及格的同学组成集合A,铅球及格的同学组成集合B,两项都及格的同学组成集合A∩B,则card（A）=40,card（B）=31,
card（）=card（=4,
∴card（=50－4=46,
∴card（A∩B）= card（A）+card（B）－card（A∪B）=40+31－46=25.
21.进行集合的交、并、补运算注意三点：
(1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合．
(2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来．
(3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍．
【对点训练21】(2021河北省张家口市高三上学期期中)已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或．
得或，即．
综上知，即实数的取值范围为．
22.根据或求参数的取值或取值范围，要注意对空集的讨论．
【对点训练22】（2021宁夏大学附属中学高三上学期期中）已知集合＝，＝
（1）当＝时，求；
（2）若＝，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
则或，
又，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，解得；
当时，则，解得；
综上，的取值范围为.
23. 解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.
【对点训练23】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0},B＝{x|x2－x＋2a－1＜0},C＝{x|a≤x≤4a－9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围．
【解析】这个问题的反面即是三个集合全为空集,
即 解得≤a＜3,
从而所求a的取值范围为.
24.集合中的新定义问题常见有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决这类问题的基本方法是：首先读懂新定义,准确把握新信息,弄清新定义的内含与外延,然后将新的信息迁移到待解问题中,并将其转化为熟悉的知识,进而将问题加以解答.
【对点训练24】（2021. 陕西省西安市长安区高三上学期第三次月考）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为，故，故①错误，而，故，故②正确.若整数，属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确.故选C.
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021山东省日照市高三5月联考）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵∴
因此，即，故选A
2.（陕西省榆林市高三下学期第三次模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，
∴.故选C.
3.（广东省广州市天河区高三三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】时，满足题意，时，得，所以或，或，所求集合为．故选D．
4.（江苏省连云港市高三下学期模拟）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设知：，而，∴.
故选A.
5.（2021湖南省衡阳市高三上学期大联考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】{x|x＜-1或x＞3}=，故选C.
6.（2021江西省南昌市高三二模）已知集合，则集合中元素个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】D
【解析】因为等价于或，
所以集合是直线和直线上的所有点组成的集合，
所以集合中的元素个数有无数个.故选D
7.（2021安徽省池州市高三上学期12月月考）设全集，集合，集合，那么点的充要条件是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】依题意，所以满足的不等式组为，由于，故，解得，.
故选A
8.（2021.山西省怀仁市高三上学期期中）设，集合，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】两个集合相等，则集合中的元素相同， ，所以，则，那么，和，所以.故选D
9．已知集合，，且，，，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意设，，，（），
则，而，
∴．故选D．
10.（2021安徽省六安市高三上学期第一次月考）已知集合，且，则（ ）
A．-1 B．-3或-1 C．3 D．-3
【答案】D
【解析】因为，令，解得或；当时，不满足集合的互异性，故舍去；当时，集合，满足集合互异性，故；令，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去；综上所述：，故选D.
11.（2021广东省佛山市高三下学期仿真模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，，
所以.故选C.
12．（2021江苏省苏州市高三下学期三模）已知为全集，非空集合、满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：

，由图可知，，，故选A.
13．（2021陕西省西安高三下学期八校联考）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，若，由集合中元素互异性知：，；若，同理可知：，；综上所述：.
故选B.
14.（2021山东省济南市高三一模）设集合，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，得，即，由，得，即，∴，即“”是“”的充分不必要条件.
故选B.
15．（2021湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）已知为的两个不等的非空子集，若，则下列结论错误的是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，都有 D．，都有
【答案】D
【解析】因为，所以， 由于为的两个不等的非空子集，因此是真子集，C正确，D错误，A正确，B正确； 故选D．
16.（2021浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由，可得，因为等价于或，且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，故选D．
二、多选题
17．（2021山东省济南市高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为或，故选AD
18．（2021湖北省高三上学期模拟）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】AB
【解析】，，
所以，，或，
故选AB
19．（2021江苏省南通高三数学全真模拟）集合在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为.若集合，，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则实数的取值范围为
B．存在，使
C．无论取何值，都有
D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确.
对于B和C，直线过定点，因为，故C正确，B错误.
对于D，设原点到直线的距离为，则，所以的最大值，即的最大值，于是的最大值为，故D正确.故选ACD
三、填空题
20．（2021青海省西宁市高三一模）函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有___________个元素.

【答案】3
【解析】若，则或或1，∴，
若，则或2，∴，∴.
21．（2021西南名校联盟高三下学期4月适应性考试）若，集合，集合且，现将满足条件的每一个集合中的最小元素取出，然后将取出的所有元素相加，相加的结果记为，那么______，_______________________.
【答案】
【解析】∵，解得，∴，对于数，集合有子集个，∴以作为最小元素被计算的次数为，总和为，同理以作为最小元素被计算的次数为，总和为，以作为最小元素被计算的次数为，总和为，依此类推，故所求结果，则，∴，得.
四、解答题
22．（2021山西省运城市高三上学期阶段性测评）已知，
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围．
【解析】（1）若，则

则
（2），显然，
∵，则有，解得，
∴m的取值范围为．
23．（2021山西省河津高三一轮复习阶段性测评）设集合.
（1）若且，求实数的值；
（2）若是的真子集，且，求实数的取值范围.
【解析】（1），
∵，∴ ，
∴，
∵ ，
∴.
（2）∵ ，
∴ ，
∵是的真子集，
∴ ，解得。
∴实数的取值范围解得.
24．（2021北京市房山区高三二模）已知数集.如果对任意的i，j(且)，与两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.
（1）分别判断数集是否具有性质P，并说明理由：
（2）设数集具有性质P.
①若，证明：对任意都有是的因数；
②证明：.
【解析】（1）都具有性质P，
对于数集，有，；，；，；
∴根据定义知：具有性质P，
对于数集，有，；，；，；，；，；，；
∴根据定义知：具有性质P.
（2）①具有性质P，对任意有与至少有一个属于A，
∵，
∴当有，若，此时且， 是的因数；
当有，若，此时是的因数；
综上，对任意都有是的因数，得证.
②若对任意有与至少有一个属于A，
∵，在任取一个，则，若则，
∴必有，又时，均不相等，即可以取到所有元素且各一次，
∴，即得证.