专题2.12不等式（组）的实际问题（重难点培优）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典（解析版）【北师大版】

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姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
1．（2021春•方城县期中）学校“百变魔方“社团准备购买A，B两种魔方．已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需款数和购买4个B种魔方所需款数相同．
（1）求A、B这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示设购买A种魔方m个，按活动一购买所需费用为w1元，按活动二购买所需费用为w2元．请根据以上信息，解决以下问题：
①试用含m的代数式分别表示w1，w2．
②试求当购买A种魔方多少个时，选择两种优惠活动同样实惠？
③以A种魔方的个数说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．
【分析】（1）设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，根据“购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元；购买3个A种魔方所需款数和购买4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据单价＝总价×数量结合两个优惠活动的方案，即可用含m的代数式表示出w1，w2；
②由选择两种优惠活动同样实惠，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
③分w1＞w2及w1＜w2两种情况，找出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】（1）设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，
依题意，得：2x+6y=1303x=4y，
解得：x=20y=15．
答：A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元．
（2）①w1＝20×0.8m+15×0.4×（100﹣m）＝10m+600，
w2＝20m+15×（100﹣m﹣m）＝﹣10m+1500．
②当w1＝w2时，10m+600＝﹣10m+1500，
解得：m＝45．
答：当购买A种魔方45个时，选择两种优惠活动同样实惠．
③当w1＞w2时，10m+600＞﹣10m+1500，
解得：m＞45，
又∵m≤50，
∴45＜m≤50；
当w1＜w2时，10m+600＜﹣10m+1500，
解得：m＜45，
又∵m＞0，
∴0＜m＜45．
答：当45＜m≤50时，选择活动二更实惠；当0＜m＜45时，选择活动一更实惠．
2．（2021春•武汉月考）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出了不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费．
（1）当顾客累计购物不超过100元时，选择到哪家商场购物花费少？（直接回答）
（2）当顾客累计购物超过100元且不超过200元时，选择到哪家商场购物花费少？（直接回答）
（3）当顾客累计购物超过200元时，选择到哪家商场购物花费少？请你运用所学的不等式知识计算回答．
【分析】（1）由累计购物的价值结合两商场的优惠方案，即可得出结论；
（2）由累计购物的价值结合两商场的优惠方案，即可得出结论；
（3）设购买物品的原价为x元（x＞200），则到甲商场购买的花费为（0.8x+40）元，到乙商场购买的花费为（0.9x+10）元，分0.8x+40＞0.9x+10，0.8x+40＝0.9x+10及0.8x+40＜0.9x+10三种情况，求出x的取值范围（或x的值），进而可得出结论．
【解析】（1）当顾客累计购物不超过100元时，选择两家商场都不优惠，且两家商场以同样的价格出售同样的商品，因此到两家商场购物花费一样．
（2）当顾客累计购物超过100元且不超过200元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少．
（3）设购买物品的原价为x元（x＞200），则到甲商场购买的花费为200+（x﹣200）×80%＝（0.8x+40）元，到乙商场购买的花费为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元．
当0.8x+40＞0.9x+10时，x＜300，
∴200＜x＜300；
当0.8x+40＝0.9x+10时，x＝300；
当0.8x+40＜0.9x+10时，x＞300．
答：当购物超过200元而不到300元时，到乙商场花费少；当购物300元时，到甲乙两家商场花费一样；当购物超过300元时，到甲商场花费少．
3．（2021秋•道里区校级期中）和兴商厦销售A、B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？
（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，和兴商厦决定再一次购进A、B两种商品共30件，如果将这30件商品全部售完后所得利润高于4000元，那么和兴商厦至少需购进多少件A种商品？
【分析】（1）设售出每件A种商品的利润为x元，售出每件B商品的利润为y元，根据“售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设和兴商厦需购进m件A种商品，则需购进（30﹣m）件B种商品，根据总利润＝每件利润×销售数量（购进数量）结合总利润高于4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解析】（1）设售出每件A种商品的利润为x元，售出每件B商品的利润为y元，
依题意，得：x+4y=6003x+5y=1100，
解得：x=200y=100．
答：售出每件A种商品的利润为200元，售出每件B商品的利润为100元．
（2）设和兴商厦需购进m件A种商品，则需购进（30﹣m）件B种商品，
依题意，得：200m+100（30﹣m）＞4000，
解得：m＞10，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为11．
答：和兴商厦至少需购进11件A种商品．
4．（2021秋•南岗区校级月考）为培养学生养成良好的读书习惯，学校计划创建中、小型两类班级图书角以打造书香校园．已知创建一个中型图书角需科技类书籍90本，人文类书籍60本，共需购书费用1080元；创建一个小型图书角需科技类书籍40本，人文类书籍30本，共需购书费用500元，又知每本科技类书籍的价格相同，每本人文类书籍的价格也相同．
（1）求每本科技类书籍和每本人文类书籍的价格分别为多少元？
（2）若该学校计划用不超过15800元的资金组建中、小型两类图书角共20个，求最多创建多少个中型图书角？
【分析】（1）设每本科技类书籍x元，每本人文类书籍的价格为y元，根据组建中型图书角和小型图书角的费用列二元一次方程组求解可得；
（2）设组建a个中型图书角，则组建（20﹣a）个小型图书角，根据“中型图书角的总费用+小型图书角的总费用≤15800”列一元一次不等式组求解可得．
【解析】（1）设每本科技类书籍x元，每本人文类书籍的价格为y元，
根据题意，得：90x+60y=108040x+30y=500，
解得：x=8y=6，
答：每本科技类书籍8元，每本人文类书籍的价格为6元；
（2）设组建a个中型图书角，则组建（20﹣a）个小型图书角，
根据题意，得：1080a+500（20﹣a）≤15800，
解得：a≤10，
答：最多组建10个中型图书角．
5．（2021秋•道里区校级月考）疫情期间为了满足口罩需求，某药店计划从一口罩厂购买同一品牌的甲型口罩和乙型口罩．已知购买1个甲型口罩和2个乙型口罩，需花费12元，购买10个甲型口罩和4个乙型口罩，需花费40元．
（1）求购买该品牌一个甲型口罩、一个乙型口罩各需要多少元？
（2）经商谈，口罩厂给予该药店购买一个该品牌乙型口罩即赠送一个该品牌甲型口罩的优惠，如果药店需要甲型口罩的个数是乙型口罩个数的2倍还多8个，且该药店购买甲型口罩和乙型口罩的总费用不超过716元，那么该药店最多可购买多少个该品牌乙型口罩？
【分析】（1）设购买该品牌一个甲型口罩需要x元，一个乙型口罩需要y元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案；
（2）设该药店购买a个该品牌乙型口罩，则购买了（2a+8﹣a）个该品牌甲型口罩，由题意列出一元一次不等式，则可得出答案．
【解析】（1）解：设购买该品牌一个甲型口罩需要x元，一个乙型口罩需要y元，由题意得，
x+2y=1210x+4y=40，
解得x=2y=5，
答：购买该品牌一个甲型口罩需要2元，一个乙型口罩需要5元．
（2）设该药店购买a个该品牌乙型口罩，则购买了（2a+8﹣a）个该品牌甲型口罩，由题意得，
2（2a+8﹣a）+5a≤716，
解得a≤100，
∵a为整数，
∴a的最大值为100．
答：该药店最多可购买100个该品牌乙型口罩．
6．（2021春•五华区校级月考）水是人类的生命之源，为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 （15a+5b） 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）如果小王家5月份用水水费计划不超过67元，则小王家5月份最多可用水多少吨？
【分析】（1）根据总价＝单价×数量结合生活用水阶梯式计费价格表，即可用含a，b的代数式表示出应交水费；
（2）根据“小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小王家5月份用水x吨（x＞25），根据用水水费计划不超过67元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解析】（1）15a+（20﹣15）b＝15a+5b（元），
故答案为：（15a+5b）．
（2）依题意，得：15a+(21-15)b=4815a+(25-15)b+(27-25)×5=70，
解得：a=2b=3，
答：a的值为2，b的值为3．
（3）设小王家5月份用水x吨（x＞25），
依题意，得：15×2+（25﹣15）×3+5（x﹣25）≤67，
解得：x≤26.4，
答：小王家5月份最多可用水26.4吨．
7．（2021春•南岗区校级月考）某超市到批发中心购进甲、乙两种书包，甲、乙两种书包的单价和为50元；现购进甲种书包9个，乙种书包10个，共用去470元．
（1）求超市购进甲、乙两种书包各花多少元？
（2）由于甲、乙两种书包畅销，超市决定再购进甲、乙两种书包共26个，已知甲种书包售价为35元，乙种书包售价为28元．若超市可以通过销售这26个书包再获得利润不少于195元，那么该超市最多再购进甲种书包多少个？
【分析】（1）设甲种书包的进价为x元，乙种书包的进价为y元，根据“甲、乙两种书包的单价和为50元；现购进甲种书包9个，乙种书包10个，共用去470元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该超市再购进甲种书包m个，则购进乙种书包（26﹣m）个，根据总利润＝每个的利润×销售数量（购进数量）结合销售这26个书包再获得利润不少于195元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论．
【解析】（1）设甲种书包的进价为x元，乙种书包的进价为y元，
依题意，得：x+y=509x+10y=470，
解得：x=30y=20．
答：甲种书包的进价为30元，乙种书包的进价为20元．
（2）设该超市再购进甲种书包m个，则购进乙种书包（26﹣m）个，
依题意，得：（35﹣30）m+（28﹣20）（26﹣m）≥195，
解得：m≤133，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为4．
答：该超市最多再购进甲种书包4个．
8．（2021秋•开福区校级月考）小斌大学毕业后自主创业，用36000元购进甲乙两种商品，销售完后共获利6000元，其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）小斌购进甲乙两种商品各多少件；
（2）小斌第二次以原进价购进甲乙两种商品．购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8400元，乙种商品最低售价为每件多少元？
【分析】（1）设小斌购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据总价＝单价×数量及总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙种商品的售价为每件m元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量）结合总利润不少于8400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设小斌购进甲种商品x件，乙种商品y件，
依题意，得：120x+100y=36000(138-120)x+(120-100)y=6000，
解得：x=200y=120．
答：小斌购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品的售价为每件m元，
依题意，得：（138﹣120）×200×2+（m﹣100）×120≥8400，
解得：m≥110．
答：乙种商品最低售价为每件110元．
9．（2021春•南岗区校级月考）某商店欲购进A，B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件，共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件，共需440元．
（1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若该商店每件A种商品售价是48元，每件B种商品售价为30元，且商店将购进A，B共50件的商品全部售出后，要获得的利润不低于348元，问A种商品至少购进多少件？
【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“购进A种商品5件和B种商品4件，共需300元；购进A种商品6件和B种商品8件，共需440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量）结合总利润不低于348元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论．
【解析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
依题意，得：5x+4y=3006x+8y=440，
解得：x=40y=25．
答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元．
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，
依题意，得：（48﹣40）m+（30﹣25）（50﹣m）≥348，
解得：m≥983，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为33．
答：A种商品至少购进33件．
10．（2021春•皇姑区校级月考）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？
（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，根据总价＝单价×数量结合近两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合总价不多于5400元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，
依题意，得：3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，
依题意，得：200m+170（30﹣m）≤5400，
解得：m≤10．
答：A款T恤衫最多能采购10件．
（3）依题意，得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1300，
解得：m＝10，
∴当A款T恤衫采购了10件，B款T恤衫采购了20件时，销售完这30件T恤衫的利润为1300元．
11．（2021春•邓州市期末）某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标，由甲，乙两个工程队来完成，已知甲队5天能完成绿化的面积等于乙队10天完成绿化的面积，甲队3天能完成绿化的面积比乙队5天能完成绿化面积多60m2．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，要使这次绿化的总费用不超过32万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据甲队3天能完成绿化的面积比乙队5天能完成绿化面积多50m2，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设安排乙工程队绿化m天，则安排甲工程队绿化3600-60m120天，根据总费用＝每日绿化的费用×绿化时间结合这次绿化的总费用不超过32万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
依题意，得：3×2x﹣5x＝60，
解得：x＝60，
∴2x＝120．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为120m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为60m2．
（2）设安排乙工程队绿化m天，则安排甲工程队绿化3600-60m120天，
依题意，得：1.2×3600-60m120+0.5m≤32，
解得：m≥40．
答：至少应安排乙工程队绿化40天．
12．（2021春•仁寿县期末）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于5280元，乙种商品最低售价为每件多少元？
【分析】（1）设商场购进甲商品x件，购进乙商品y件，根据“购进总成本为36000元、共获利6000元”列方程组求解可得；
（2）根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润≥5280，可以列出一元一次不等式解决问题．
【解析】（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：
120x+100y36000(138-120)x+(120-100)y=6000，
解得：x=200y=120．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．
（2）设乙种商品每件售价m元，根据题意，得
120（m﹣100）+2×200×（138﹣120）≥5280，
解得：m≥84．
∵m为整数，
∴m的最小值为84．
答：乙种商品最低售价为每件84元．
13．（2021秋•南岗区校级月考）开学初，小琪与小然去学校附近的商店购买学习用品，在不打折的前提下，小琪用46元买得4个笔记本和两支签字笔；小然用28元买得1个笔记本和6支签字笔．
（1）求笔记本和签字笔的单价；
（2）面临期中考试，班主任拿出80元班费交给小琪与小然，用以购买上述的笔记本和签字笔，来表彰进步明显的同学，共有先进典型10人，奖励每人一本笔记本或一支签字笔．经两名同学与商店协商，超出50元的部分打九折．已知她俩所花费用超过了50元，在不超过80元的情况下，小琪与小然最多可以买几本笔记本？
【分析】（1）设笔记本的单价为x元，签字笔的单价为y元，根据“小琪用46元买得4个笔记本和两支签字笔；小然用28元买得1个笔记本和6支签字笔”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设买了m本笔记本，则买了（10﹣m）支签字笔，根据“她俩所花费用超过了50元，但不超过80元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解析】（1）设笔记本的单价为x元，签字笔的单价为y元，
依题意，得：4x+2y=46x+6y=28，
解得：x=10y=3．
答：笔记本的单价为10元，签字笔的单价为3元．
（2）设买了m本笔记本，则买了（10﹣m）支签字笔，
依题意，得：10m+3(10-m)＞50[10m+3(10-m)-50]×0.9+50≤80，
解得：207＜m≤16021，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7．
答：小琪与小然最多可以买7本笔记本．
14．（2021春•雨花区校级期中）南雅中学小卖部推出了新款的校园文化衫和校园风景明信片．小南购买2件文化衫和2套明信片花了66元，小雅购买1件文化衫和3套明信片花了49元．
（1）一件文化衫和一套明信片各多少元？
（2）学校规定，每位同学每天在小卖部消费不能超过100元，小美购买文化衫和明信片两种商品共5件，且文化衫的件数大于明信片的套数，请问她购买文化衫多少件？明信片多少套？
【分析】（1）设一件文化衫x元，一套明信片y元，根据“小南购买2件文化衫和2套明信片花了66元，小雅购买1件文化衫和3套明信片花了49元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买文化衫a件，则购买明信片（5﹣a）套，根据每位同学每天在小卖部消费不能超过100元且购买文化衫的件数大于明信片的套数，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出结论．
【解析】（1）设一件文化衫x元，一套明信片y元，
依题意，得：2x+2y=66x+3y=49，
解得：x=25y=8．
答：一件文化衫25元，一套明信片8元．
（2）设购买文化衫a件，则购买明信片（5﹣a）套，
依题意，得：25a+8(5-a)≤100a＞5-a，
解得：52＜a≤6017，
又∵a为整数，
∴a＝3，
∴5﹣a＝2．
答：购买文化衫3件，明信片2套．
15．（2021春•巩义市期末）为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩生产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择．经调查：购买3台甲型口罩生产线比购买2台乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩7万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【分析】（1）设未知数，列二元一次方程组可以求解，
（2）设购买甲设备a台，根据购买甲型设备不少于3台，和购买甲、乙两种新设备的资金不超过110万元，列出不等式组，根据不等式组的整数解得出购买方案．
【解析】（1）设甲型号口罩生产线的单价为x万元，乙型号口罩生产线的单价为y万元，由题意得：
3x-2y=144x=5y，
解得：x=10y=8，
答：甲型号口罩生产线的单价为10万元，乙型号口罩生产线的单价为8万元．
（2）设购买甲型号口罩生产线m条，则购买乙型号口罩生产线（10﹣m）条，由题意得：
10m+8(10-m)≤909m+7(10-m)≥75，
解得：2.5≤m≤5，
又∵m为整数，
∴m＝3，或m＝4，或m＝5，
因此有三种购买方案：
①购买甲型3条，乙型7条；
②购买甲型4条，乙型6条；
③购买甲型5条，乙型5条．
当m＝3时，购买资金为：10×3+8×7＝86（万元），
当m＝4时，购买资金为：10×4+8×6＝88（万元），
当m＝5时，购买资金为：10×5+8×5＝90（万元），
∵86＜88＜90，
∴最省钱的购买方案为：选购甲型3条，乙型7条，最少费用为86万元．
16．（2021春•侯马市期末）某爱心公司捐资购买了120吨物资打算运往山区，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车都满载，但不超载）
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费9100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）公司计划用甲、乙两种车型同时参与运送，且总运费控制在8600元以内，有几种用车方案？每种用车方案各需要多少元？
【分析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据①购买了120吨物资；②需运费9100元；列出方程组计算即可求解；
（2）设需甲车型a辆，乙车型b辆，根据①购买了120吨物资；②总运费控制在8600元以内；列出不等式组计算即可求解．
【解析】（1）设需甲种车型x辆，乙种车型y辆，依题意有
5x+10y=120①400x+700y=9100②，
解得x=14y=5．
故需甲种车型14辆，乙种车型5辆；
（2）设需甲车型a辆，乙车型b辆，依题意有
5a+10b=120400a+700b≤8600，
解得a≤4，b≥10，
∵a，b是正整数，
∴a＝4，b＝10，需要400×4+700×10＝8600（元）；
a＝2，b＝11，需要400×2+700×11＝8500（元）；
故有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型10辆，需要8600元；
②甲车型2辆，乙车型11辆，需要8500元．
17．（2021春•邹城市期末）某商场计划用7.8万元从同一供应商处购进A，B两种商品，供应商负责运输．已知A种商品的进价为120元/件，B种商品的进价为100元/件．如果售价定为：A种商品135元/件，B种商品120元/件，那么销售完后可获得利润1.2万元．
（1）该商场计划购进A，B两种商品各多少件？
（2）供应商计划租用甲、乙两种货车共16辆，一次性将A，B两种商品运送到商场，已知甲种货车可装A种商品30件和B种商品12件，乙种货车可装A种商品20件和B种商品30件，试通过计算帮助供应商设计几种运输用车方案？
【分析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．由题意列出二元一次方程组，则可得出答案；
（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（16﹣a）辆，由题意列出不等式组，解不等式组则可得出答案．
【解析】（1）设购进A种商品x件，B种商品y件．
根据题意得：120x+100y=78000(135-120)x+(120-100)y=12000，
解得：x=400y=300．
答：购进A种商品400件，B种商品300件．
（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车（16﹣a）辆，
则30a+20(16-a)≥40012a+30(16-a)≥300．
解得8≤a≤10．
∵a为整数，
∴a＝8，9，10．
故有3种用车方案：①A种车8辆，B种车8辆；②A种车9辆，B种车7辆；
③A种车10辆，B种车6辆．
答：有3种用车方案：①A种车8辆，B种车8辆；②A种车9辆，B种车7辆；③A种车10辆，B种车6辆．
18．（2021春•博兴县期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于124万元，请通过求解给出所有的购车方案．
【分析】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
（2）根设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥124，求出整数解即可．
【解析】（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
x+3y=962x+y=62，
解得x=18y=26．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得
18a+26（6﹣a）≥124，
解得a≤4
∴2≤a≤4．
∵a是正整数，
∴a＝2或a＝3或a＝4．
共有三种方案：
方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；
方案三：购买4辆A型车和2辆B型车．
19．（2021春•新余期末）疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨；教育局现有21吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，且A车至少1辆．根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮助教育局设计租车方案完成一次配送完21吨消毒液；
（3）若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆A型车，则租用（6﹣m）辆B型车，根据“计划租用A、B两种型号车6辆一次配送至少21吨消毒液，且A车至少1辆”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各租车方案；
（3）根据租车总费用＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
依题意，得：2x+y=10x+2y=11，
解得：x=3y=4．
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨．
（2）设租用m辆A型车，则租用（6﹣m）辆B型车，
依题意，得：m≥13m+4(6-m)≥21，
解得：1≤m≤3．
∵m为正整数，
∴m可以取1，2，3，
∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆．
（3）方案1的租车费为1×80+100×5＝580（元）；
方案2的租车费为2×80+100×4＝560（元）；
方案3的租车费为3×80+100×3＝540（元）．
∵580＞560＞540，
∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费用为540元．
20．（2021春•牡丹江期末）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．
请解答下列问题：
（1）该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？（列方程组解答此问）
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案；
（3）在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个．
【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答；
（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；
（3）先假设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意：利润＝售价﹣进价，赠送的书包也要算在进价里面，则可列出方程，求出m的值即可．
【解析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元．
根据题意得x=2y-302x+3y=255．
解得x=60y=45．
答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元；
（2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包（200﹣m）个，
根据题意可得50m+40（200﹣m）≤8900．
解得m≤90．
∵m＞87，
∴87＜m≤90．
∵m为整数，
∴m＝88、89、90，200﹣m＝112，111，110．
∴该网店有3种进货方案：
方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个；
方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个；
方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个；
（3）分三种情况：
①购进甲种书包88个，乙种书包112个时：
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，
88×（60﹣50）﹣m×50+112×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，
解得，m＝3，4﹣m＝1，
故甲书包赠送3个，乙书包赠送1个；
②购进甲种书包89个，乙种书包111个时；
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，
89×（60﹣50）﹣m×50+111×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，
解得，m＝3.5，
∵m是整数，故此种情况不成立；
③购进甲种书包90个，乙种书包110个时；
设该网店甲书包赠送了m个，则乙书包赠送了（4﹣m）个，根据题意得，
90×（60﹣50）﹣m×50+110×（45﹣40）﹣（4﹣m）×40＝1250，
解得，m＝4，4﹣m＝0，
故甲书包赠送4个，乙书包赠送0个．自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
销售时段
销售数量
销售收入
A
B
第一天
3件
5件
1800元
第二天
4件
10件
3100元
车型
甲
乙
汽车运载量（吨/辆）
5
10
汽车运费（元/辆）
400
700