专题4.6第4章因式分解单元测试（培优卷）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题4.6第4章因式分解单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•西城区校级期中）下列变形属于因式分解的是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x﹣1＝x（1-1x）（x≠0）
C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2021春•城固县期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解析】A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
3．（2021秋•红桥区期末）若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（　　）
A．m=254，n=52 B．m=254，n＝5 C．m＝25，n＝5 D．m＝5，n=52
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【解析】∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，
∴2n＝5，m＝n2，
解得m=254，n=52，
故选：A．
4．（2021•益阳）下列因式分解正确的是（　　）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案．
【解析】A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）2，故此选项错误；
B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
5．（2021春•昌图县期末）下列各式中，没有公因式的是（　　）
A．3x﹣2与6x2﹣4x B．ab﹣ac与ab﹣bc
C．2（a﹣b）2与3（b﹣a）3 D．mx﹣my与ny﹣nx
【分析】将每一组因式分解，找到公因式即可．
【解析】A、6x2﹣4x＝2x（3x﹣2），3x﹣2与6x2﹣4x有公因式（3x﹣2），故本选项不符合题意；
B、ab﹣ac＝a（b﹣c）与ab﹣bc＝b（a﹣c）没有公因式，故本选项符合题意；
C、2（a﹣b）2与3（b﹣a）3有公因式（a﹣b）2，故本选项不符合题意；
D、mx﹣my＝m（x﹣y），ny﹣nx＝﹣n（x﹣y），mx﹣my与ny﹣nx有公因式（x﹣y），故本选项不符合题意．
故选：B．
6．设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】由已知等式用分组分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知识恒等变形，求出符合条件的a+1的值为﹣1，再将﹣1代入式子中进行运算求出值为﹣1，即答案为D．
【解析】∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此一元二次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
7．（2019秋•西宁期末）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【分析】将所求式子用完全平方公式展开可得原式＝8（n﹣1），即可进行求解．
【解析】（n+1）2﹣（n﹣3）2＝n2+2n+1﹣n2+6n﹣9＝8n﹣8＝8（n﹣1），
∴能被8整除，
故选：D．
8．（2021•高青县一模）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
【解析】∵4×4＝16，（﹣4）×（﹣4）＝16，2×8＝16，（﹣2）×（﹣8）＝16，1×16＝16，（﹣1）×（﹣16）＝16，
∴4+4＝2m，﹣4+（﹣4）＝2m，2+8＝2m，﹣2﹣8＝2m，1+16＝2m，﹣1﹣16＝2m，
分别解得：m＝4，﹣4，5，﹣5，8.5（不合题意），﹣8.5（不合题意）；
∴整数m的值有4个，
故选：A．
9．（2019秋•德州期末）二次三项式x2﹣mx﹣12（m是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m的所有可能值有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．
【解析】若x2﹣mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．共有6个．
故选：C．
10．（2018春•市南区校级期中）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=pq，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34，则F（36）的值是（　　）
A．14 B．23 C．1 D．32
【分析】将36进行分解，然后比较差的大小
【解析】1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
36﹣1＞18﹣2＞12﹣3＞9﹣4＞6﹣6
F（36）=66=1
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021•龙岗区模拟）因式分解：﹣5a3+10a2﹣15a＝　﹣5a（a2﹣2a+3）　．
【分析】通过提取公因式﹣5a对原式进行因式分解．
【解析】原式＝﹣5a（a2﹣2a+3）．
故答案是：﹣5a（a2﹣2a+3）．
12．（2010•萧山区校级模拟）分解因式：a2﹣1＝　（a﹣1）（a+1）　；化简：（x+y）2﹣2xy＝　x2+y2　．
【分析】（1）符合平方差公式的结构，直接运用平方差公式分解因式；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类项．
【解析】（1）a2﹣1＝（a﹣1）（a+1）；

（2）（x+y）2﹣2xy＝x2+2xy+y2﹣2xy＝x2+y2．
13．（2021春•奉化区期中）因式分解：（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y）＝　2（3x+y）（x+2y）　．
【分析】首先提取公因式（3x+y）即可达到分解因式的目的．
【解析】（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y），
＝（3x+y）[3x+y﹣（x﹣3y）]，
＝2（3x+y）（x+2y）．
故答案为2（3x+y）（x+2y）．
14．（2021春•下城区期末）已知x2+kx+12＝（x+a）（x+b），x2+kx+15＝（x+c）（x+d），其中a，b，c，d均为整数．则k＝　±8　．
【分析】把等式右边展开，由对应相等得出a+b＝k＝c+d，ab＝12，cd＝15；再由a，b，c，d均为整数，求出k的值即可．
【解析】∵x2+kx+12＝（x+a）（x+b），
∴x2+kx+12＝x2+（a+b）x+ab，
∴a+b＝k，ab＝12；
∵x2+kx+15＝（x+c）（x+d），
∴x2+kx+15＝x2+（c+d）x+cd，
∴c+d＝k，cd＝15；
∵a，b，c，d均为整数，
∴k＝±8；
故答案为±8．
15．（2021•浙江自主招生）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a2﹣b＝　253　．
【分析】设另一个因式是：2x2+mx+n，计算（x2+x﹣6）（2x2+mx+n），展开以后与多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
【解析】设另一个因式是：2x2+mx+n，则（x2+x﹣6）（2x2+mx+n）
＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣12）x2+（n﹣6m）x﹣6n
则：m+2=1m+n-12=-an-6m=ba+b-1=-6n，
解得：m=-1n=-3a=16b=3，
所以a2﹣b＝162﹣3＝256﹣3＝253．
故答案是：253．
16．（2021•浙江自主招生）已知x≠y，且x2＝2y+5，y2＝2x+5，则x3﹣2x2y2+y3＝　﹣16　．
【分析】将已知式子分别相加和相减，得到x+y＝﹣2，xy＝﹣1，再由x3﹣2x2y2+y3＝x2y2（x﹣2xy+y）＝﹣2+2＝0求解即可．
【解析】∵x2＝2y+5，y2＝2x+5，
∴x2﹣y2＝2y﹣2x，
∵x≠y，
∴x+y＝﹣2，
∵x2+y2＝2x+2y+10＝6，
∴（x+y）2﹣2xy＝4﹣2xy＝6，
∴xy＝﹣1，
∴x3﹣2x2y2+y3＝（x+y）（x2+y2﹣xy）﹣2x2y2＝﹣2×（6+1）﹣2×1＝﹣16，
故答案为﹣16．
17．（2019春•嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是　104020（答案不唯一）　（写出一个即可）．
【分析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），当x＝10，y＝10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可．
【解析】9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），
当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
18．（2021•浙江自主招生）△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为　12　．
【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．
【解析】∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119
∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120
（a+1）（b+1）（c+1）＝120
∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边
∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．
故可分为以下6种情况：
（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12．
（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
综上可知，△ABC的周长为12．
故答案为12．
三．解答题（共8小题）
19．（2021春•龙岗区校级月考）因式分解：
（1）a3﹣36a；
（2）14x2+xy+y2；
（3）（a2+4）2﹣16a2．
【分析】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．
（2）根据完全平方公式分解因式；
（3）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式．
【解析】（1）a3﹣36a
＝a（a2﹣36）
＝a（a+6）（a﹣6）；
（2）14x2+xy+y2=(12x+y)2；
（3）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4﹣4a）（a2+4+4a）
＝（a﹣2）2（a+2）2．
20．（2021春•东海县期末）把下列各式分解因式：
（1）4x2y﹣4xy2+y3；
（2）x4﹣1．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【解析】（1）原式＝y（4x2﹣4xy+y2）
＝y（2x﹣y）2；
（2）原式＝（x2+1）（x2﹣1）
＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）．
21．（2021秋•喀什地区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　25y2　+9y2﹣　25y2　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　4y　）2＝[（x﹣5y）+　4y　][（x﹣5y）﹣　4y　]
＝（x﹣y）（x﹣　9y　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．
【分析】（1）根据小白发现的方法即可分解因式；
（2）结合（1）的方法即可填空；
（3）根据已知所给两种方法进行分解因式即可．
【解析】（1）x2﹣8x+7
＝x2﹣8x+16+7﹣16
＝（x﹣4）2﹣9
＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]
＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x﹣13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2
＝（x+6m）2﹣49m2
＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）
＝（x+13m）（x﹣m）．
22．（2019春•城固县期末）问题背景：对于形如x2﹣120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x﹣60）2，对于二次三项式x2﹣120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2﹣120x加上一项602，使它与x2﹣120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2﹣120x+3456＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456
＝（x﹣60）2﹣144
＝（x﹣60）2﹣122＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）
＝（x﹣48）（x﹣72）
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式：x2﹣140x+4756；
（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，求这个长方形的长．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子因式分解；
（2）根据整式的除法和因式分解可以求得这个长方形的长．
【解析】（1）x2﹣140x+4756
＝x2﹣2×70x+702﹣702+4756
＝（x﹣70）2﹣144
＝（x﹣70）2﹣122
＝（x﹣70+12）（x﹣70﹣12）
＝（x﹣58）（x﹣82）；
（2）∵一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，宽为a+2b，
∴这个长方形的长是：（a2+8ab+12b2）÷（a+2b）＝（a+2b）（a+6b）÷（a+2b）＝a+6b，
即这个长方形的长是a+6b．
23．（2021春•青白江区期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝　（x+1）（x﹣5）　．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程12a2+3b2-2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【解析】（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案为：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵12a2+3b2-2ab-2b+1=0，
∴（12a2-2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（22a-2b）2+（b﹣1）2＝0
∴22a-2b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
24．（2019•隆化县二模）在下面的两位数18，27，36，45，54，63，72，71，99都是9的整数倍，小明发现这些数的个位数字与十位数字的和也都是9的整数倍，例如18的的个位数字8与十位数字1的和是9．于是小明有了这样的结论：个位数字与十位数字的和是9的倍数的两位数一定是9的倍数．小明经过思考后给出了如下的证明：
设十位上的数字为a，个位上的数字为b，并且a+b＝9n（n为正整数）
那么这个两位数可表示为10a+b
∵10a+b＝9a+a+b＝9a+9n＝9（a+n）
这个两位数是9的倍数
小明猜想：个位数字与十位数字与百位数字的和是9的倍数的三位数也一定是9的倍数．
小明的这个猜想的结论是否正确？若正确模仿小明的证明思路给出证明，若不正确举出反例．
【分析】猜想的结论正确．仿照样例进行说明便可．
【解析】猜想的结论正确．
理由：设百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，并且a+b+c＝9n（n为正整数），那么这个三位数可表示为100a+10b+c，
∵100a+10b+c＝99a+9b+a+b+c＝99a+9b+9n＝9（11a+b+n），
∴这个三位数是9的倍数．
25．（2019春•西湖区校级月考）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．

（1）则图③可以解释为等式：　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2　．
（2）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为3a2+7ab+2b2，并通过拼图对多项式3a2+7ab+2b2因式分解：3a2+7ab+2b2＝　（3a+b）（a+2b）　．（拼图图形画在方框内）
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个长方形的两边长（x＞y），结合图案，指出以下关系式：
①xy=m2-n24；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2=m2+n22
其中正确的关系式为　①②③④　．
（4）试着用剪拼图形的方法由几何图形的面积来证明：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【分析】（1）看图即可得出所求的式子；
（2）画出的矩形边长分别为（3a+b）和（a+2b）即可；
（3）根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个；
（4）把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，计算面积即可．
【解析】（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）拼图如图⑤所示：
3a2+7ab+2b2＝（3a+b）（a+2b）；
故答案为：（3a+b）（a+2b）；
（3）∵m2﹣n2＝4xy
∴①正确；
∵x+y＝m
∴②正确；
∵x+y＝m，x﹣y＝n
∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，
∴③正确；
∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）；
∴④正确．
故答案为：①②③④．
（4）剪拼图形如图⑥、⑦；
把图⑥中的阴影沿虚线三次剪下来，拼成如图⑦所示的梯形，
∴这个梯形的上底长为2b，下底长为2a，高为（a﹣b），
∴S阴影（梯形）=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∵图⑥中的S阴影＝a2﹣b2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．


26．（2019春•西湖区校级期中）如图1，小明同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形纸片拼成了一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，它的面积为（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2，写出一个代数恒等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求ab+bc+ac的值；
（3）小明同学又用4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为　2a+3b　，宽为　2a+b　．

【分析】（1）由面积的和差法证明多项式乘法（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac等式恒成立；
（2）由（1）恒等式，等式的性质，待定系数法求出ab+bc+ac的值为30；
（3）由多项式的因式分解长为2a+3b，宽为2a+b．
【解析】（1）如图2所示：

∵由图可知，外面边长为（a+b+c）正方形的面积等于3个边长分
别为a、b、c小正方形的面积，2个边长分别为a、b的长方形，
2个边长分别为a、c的长方形，2个边长分别为b、c的长方形构成，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝10，
∴（a+b+c）2＝100，
又∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴ab+bc+ac=12[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
=12×（100﹣40）
＝30；
（3）依题意得：
4a2+3b2+8ab＝（2a+3b）（2a+b），
∴长方形的长为2a+3b，宽为2a+b，
故答案为2a+3b，2a+b．