专题5.12第5章分式与分式方程单元测试（培优卷）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】专题5.12第5章分式与分式方程单元测试（培优卷）姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021春•溧水区期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．【解析】若式子在实数范围内有意义，则x≠0，故选：B．2．（2018秋•开福区校级期末）把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值是（　　）A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．缩小到原来的【分析】按照分式的基本性质，结合题意进行变形，可得答案．【解析】将分式中的x，y的值都扩大3倍，则有： 故选：C．3．（2019秋•白云区期末）计算的结果是（　　）A．b2 B． C．b2（a+b）2 D．b2（a﹣b）2【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案．【解析】原式＝b2（a+b）•＝b2．故选：A．4．（2021春•青岛期末）下列化简正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【解析】A.，故本选项符合题意；B.，故本选项不符合题意；C.，故本选项不符合题意；D.，故本选项不符合题意；故选：A．5．（2021春•丰泽区校级期中）若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　）A．x B．x C．x D．x取任意实数【分析】直接利用分式的值是正数结合偶次方的性质得出x的取值范围．【解析】∵分式的值为正数，∴x2+5＞0，2x﹣1＞0，解得：x．故选：A．6．（2019春•鼓楼区期末）甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同．设甲每天加工服装x件，由题意可得方程（　　）A． B． C． D．【分析】根据乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同，列出相应的方程，本题得以解决．【解析】由题意可得，，故选：C．7．（2019秋•张家港市期末）若关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（　　）A．a≥﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1且a≠﹣2【分析】解分式方程得x＝a+1，由题意可知a+1＜0，当x＝﹣1时，a＝﹣2，方程有增根．【解析】方程两边同时乘以x+1，得2x﹣a＝x+1，解得：x＝a+1，∵解为负数，∴a+1＜0，∴a＜﹣1，当x＝﹣1时，a＝﹣2，∴a＜﹣1且a≠﹣2，故选：D．8．（2019•綦江区一模）如果关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组的解集为x，那么符合条件的所有整数a的和为（　　）A．4 B．6 C．2 D．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出a的值，不等式组整理后，由已知解集确定出a的范围，进而确定出满足题意的所有a的值，求出之和即可．【解析】分式方程去分母得：ax﹣2x+4＝﹣x，整理得：x，由分式方程有整数解，得到1﹣a＝1或﹣1或﹣2或4或﹣4，解得：a＝0，2，3，﹣3，5，不等式组整理得：，由不等式组的解集为x，得到a﹣1，即a，则a的值为0，2，3，﹣3，之和为2，故选：C．9．（2021•南通模拟）如方程1有增根，则a的值是（　　）A．2 B．2或6 C．2或﹣6 D．6【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；【解析】分式方程去分母得：x﹣a＝﹣4，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，即x＝2或x＝﹣2，把x＝2代入整式方程得：2﹣a＝﹣4，即a＝6；把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2﹣a＝﹣4，即a＝2，综上，a的值为2或6；故选：B．10．（2021春•南京期末）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．【解析】∵t1，t2，∴t1﹣t2═，∵0＜p＜v，∴t1﹣t2＜0，∴t1＜t2．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•崇川区校级期末）若分式的值为整数，则整数x＝　0或﹣2或﹣3　．【分析】先化简分式，再根据值为整数求出x+1的取值，进而得x的取值．【解析】原式，∵原式的值为整数，∴x+1＝±1或±2，∴x＝﹣3或﹣2或0或1，但当x＝1时，原式分母为0，原式无意义，应舍去，∴x＝﹣3或﹣2或0．故答案为：﹣3或﹣2或0．12．（2019春•京口区校级月考）分式，的最简公分母是　（m+2）（m﹣2）．　．【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．【解析】根据题意，先对m2﹣4分解因式得：（m+2）（m﹣2），所以最简公分母为：（m+2）（m﹣2）．13．（2019秋•崇川区校级期末）对于分式，当x＝1时，分式的值为零，则a+b＝　﹣1且a，b　．【分析】将x＝1代入原式后根据分式的值为零即可求出答案．【解析】将x＝1代入，∴，∴a+b＝﹣1且a﹣2b+3≠0，即a且b，∴a+b＝﹣1故答案为：﹣1且a，b．14．（2019春•惠山区期末）一种运算：规则是x※y，根据此规则化简（m+1）※（m﹣1）的结果为　　．【分析】根据所给规则列出算式，再通分，然后计算同分母的分式减法即可．【解析】由题意得：（m+1）※（m﹣1），，，，．故答案为：．15．（2019•大庆三模）如果a﹣b＝3ab，那么　﹣3　．【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．【解析】∵a﹣b＝3ab，∴原式3，故答案为：﹣316．（2021秋•房山区期末）某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A型计算机和B型计算机．已知一台A型计算机的售价比一台B型计算机的售价便宜400元，如果购买A型计算机需要224000元，购买B型计算机需要240000元．求一台A型计算机和一台B型计算机的售价分别是多少元．设一台B型计算机的售价是x元，依题意列方程为　　．【分析】设一台B型计算机的售价是x元，则一台A型计算机的售价是（x﹣400）元，根据数量＝总价÷单价结合购买两种型号计算机数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解析】设一台B型计算机的售价是x元，则一台A型计算机的售价是（x﹣400）元，依题意得：．故答案为：．17．（2021秋•硚口区期末）某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　①③④　．【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间＝路程÷速度及相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论．【解析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，依题意得：①；③；④．故其中正确的方程有①③④．故答案为：①③④．18．（2021秋•鹿邑县期末）如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符号条件的所有整数a有　﹣2，0　．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，由解为负整数，求出a的范围，不等式组整理后，根据解集确定出a的范围，进而求出整数a的值即可．【解析】分式方程去分母得：a﹣3x﹣3＝1﹣x，解得：x，由分式方程有负整数解，得到0且1，即a＜4，且a≠2，不等式组整理得：，由解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，∴整数a＝﹣2，0，故答案为：﹣2，0三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021秋•高邮市期末）先化简，再求值（x+1），其中整数x满足﹣1≤x＜3．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x＜3中选取使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（x+1） ，∵x（x+1）≠0，∴x≠0，x≠﹣1，∵整数x满足﹣1≤x＜3，∴x＝1或2，当x＝1时，原式1，当x＝2时，原式．20．（2021春•江阴市期中）解分式方程：（1）0．（2）1【分析】（1）分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】（1）两边都乘以x（1+x），得：2（1+x）﹣x＝0，解得：x＝﹣2，检验：x＝﹣2时，x（1+x）＝2≠0，所以原分式方程的解为x＝﹣2； （2）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得：（x﹣2）2﹣16＝（x+2）（x﹣2），解得：x＝﹣2，检验：x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2是分式方程的增根，则原分式方程无解．21．（2021秋•郑州期末）（1）化简：；（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当a＞1时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．【分析】（1）根据分式的除法法则计算；（2）根据分式的减法法则求出B﹣A，得到答案．【解析】（1）• ；（2）B的值比A的值相比变小了．理由如下：B﹣A，当a＞1时，a（a﹣1）＞0，∴0，∴B＜A，∴B的值比A的值相比变小了．22．（2021秋•澄海区期末）设M．（1）化简M；（2）当a＝3时，记此时M的值为f（3）；当a＝4时，记此时M的值为f（4）；…．解关于x的不等式f（3）+f（4）+…+f（11）．【分析】（1）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子；（2）根据（1）中的结果和解一元一次不等式的方法，可以求得所求不等式的解集．【解析】（1）M ；（2）∵，∴f（3），f（4），…，f（11），∴f（3）+f（4）+…+f（11），∵f（3）+f（4）+…+f（11），∴，解得x≤4，∴原不等式的解集是x≤4．23．（2021秋•唐山期末）（提示：我们知道，如果a﹣b＞0，那么a＞b．）已知m＞n＞0．如果将分式的分子、分母都加上同一个不为0的数后，所得分式的值比是增大了还是减小了？请按照以下要求尝试做探究．（1）当所加的这个数为1时，请通过计算说明；（2）当所加的这个数为2时，直接说出结果；（3）当所加的这个数为a＞0时，直接说出结果．【分析】（1）当所加的这个数为1时，判断出的值大于0，即可判断出所得分式的值比原来增大了．（2）当所加的这个数为2时，所得分式的值比原来增大了．（3）当所加的这个数为a＞0时，所得分式的值比原来增大了．【解析】（1） ，∵m＞n＞0，∴m﹣n＞0，∵m＞0，m+1＞0，∴0，0，∴，即所得分式的值比原来增大了． （2）如果将分式的分子、分母都加上2，所得分式的值比是增大了． ，∵m＞n＞0，∴m﹣n＞0，∵m＞0，m+2＞0，∴0，0，∴，即所得分式的值比原来增大了． （3）如果将分式的分子、分母都加上a（a＞0），所得分式的值比是增大了． ，∵m＞n＞0，∴m﹣n＞0，∵a＞0，m＞0，m+a＞0，∴0，0，∴，即所得分式的值比原来增大了．24．（2021•东莞市一模）某工厂准备今年春季开工前美化厂区，计划对面积为2000m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若工厂每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.5万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，至少应安排甲队工作多少天？【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据“在独立完成面积为480m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作（50﹣2y）天，根据总费用＝需付给甲队总费用+需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其内的最小正整数即可．【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据题意得：6，解得：x＝40．经检验，x＝40是原方程的解，∴2x＝80．答：甲工程队每天能完成绿化的面积为80m2，乙工程队每天能完成绿化的面积为40m2．（2）设安排甲工程队工作y天，则乙工程队工作（50﹣2y）天，根据题意得：0.4y+0.5（50﹣2y）≤10，解得：y≥25．答：至少应安排甲队工作25天．25．（2019秋•密云区期末）数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x﹣1．小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题．具体过程如下：设则有故此解得所以问题解决：（1）设，求A、B．（2）直接写出方程的解．【分析】（1）仿照题例，列方程组求A、B．（2）由（1）和题例规律，把、分别写成两个分式的和的形式，化简后得结论．【解析】（1）∵ ∴A+B＝﹣1，A＝1∴B＝﹣2（2）由（1）可得，同理可得所以原方程可变形为：，∴解得x经检验，x是原方程的解．所以原方程的解为：26．（2021秋•丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：11．（1）请你运用这个运算规律计算：　　；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．【分析】（1）利用拆项方法变形即可得到结果；（2）①由第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，得出倒2次水倒出的总水量是，第3次倒出的水量是L的，那么倒3次水倒出的总水量是，同理得出倒m次水倒出的总水量的式子是，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；②将①的计算结果与1比较即可求解．【解析】（1） ．故答案为：；（2）①＝1＝1（L）； ②这1L水不能倒完，理由如下：∵1，∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．