专题6.3三角形的中位线-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题6.3三角形的中位线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021春•鹿城区校级期中）如图，三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝4，则BC＝（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝4，
∴BC＝8，
故选：C．
2．（2021春•灌云县期中）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（　　）

A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，利用四边形的周长得到即可．
【解析】∵点E，D分别是边AC，AB的中点，BC＝6米，
∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．
故选：B．
3．（2021•江干区模拟）如图，直l1∥l2，点A、B固定在直线l2上，点C是直线l1上一动点，若点E、F分别为CA、CB中点，对于下列各值：①线段EF的长；②△CEF的周长；③△CEF的面积；④∠ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】判断出AB长为定值，C到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出CA+CB不断发生变化、∠ACB的大小不断发生变化，即可判断②④．
【解析】∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∵点E，F分别为CA，CB的中点，
∴EF是△CAB的中位线，
∴EF=12AB为定值，故①正确；
∵点A，B为直线l2上定点，直线l1∥l2，
∴C到l2的距离为定值，
∵EF是△CAB的中位线，
∴EF∥l1∥l2，
∴C到EF的距离为定值，
又∵EF为定值，
∴△CEF的面积为定值，故③正确；
当C点移动时，CA+CB的长发生变化，
则CE+CF的长发生变化，
∴△CEF的周长发生变化，故②错误；
当C点移动时，∠ACB发生变化，则∠ECF发生变化，故④错误；
故选：B．
4．（2021春•温州期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB＝AC＝2，则四边形ADEF的周长为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念计算，得到答案．
【解析】∵点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴AD=12AB＝1，AF=12AC＝1，DE、FE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝1，EF=12AB＝1，
∴四边形ADEF的周长＝AD+DE+EF+AF＝4，
故选：C．
5．（2019秋•宽城区期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若AD＝10，BD＝8，CD＝6，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．24 B．20 C．12 D．10
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，然后代入数据进行计算即可得解．
【解析】∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，
∴BC=BD2+CD2=82+62=10，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG=12BC，EF＝GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝10，
∴四边形EFGH的周长＝10+10＝20，
故选：B．
6．（2021秋•遂宁期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
7．（2021•广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（　　）
A．22° B．68° C．96° D．112°
【分析】根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质即可求得∠AED＝∠C＝68°．
【解析】∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠C＝68°，
∴∠AED＝∠C＝68°．
故选：B．

8．（2021春•静宁县校级期中）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
9．（2019秋•乳山市期末）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（　　）

A．保持不变 B．逐渐变小
C．先变大，再变小 D．逐渐变大
【分析】连接AQ，根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】连接AQ，
∵点Q是边BC上的定点，
∴AQ的大小不变，
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF=12AQ，
∴线段EF的长度保持不变，
故选：A．

10．（2021春•朝阳区校级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝23，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

A．3 B．23 C．4 D．2
【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF=12DN，结合图形解答即可．
【解析】连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝23，AD＝2，
∴BD=AD2+AB2=4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF=12DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上）
11．（2021•铜山区二模）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE＝　3　．
【分析】根据三角形的中位线定理得出DE=12BC，代入求出即可．
【解析】如图，
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC，
∵BC＝6，
∴DE＝3，
故答案为：3．

12．（2021•潮阳区模拟）如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是　35°　．

【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可求出∠PEF的度数．
【解析】∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF=12BC，PE=12AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝35°，
∴∠PEF＝∠PFE＝35°，
故答案为：35°．
13．（2021春•开封期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接OA，OB，并分别取OA，OB的中点M，N，若测得MN＝50m，则A，B两点间的距离是　100　m．

【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB＝2MN＝2×50＝100（m），
故答案为：100．
14．（2021春•牡丹区期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，四边形BEFD周长为14，则AB+BC的长为　14　．

【分析】根据三角形的中位线可得DF=12BC，EF=12AB，判定四边形BEFD为平行四边形，利用平行四边形的性质可求解．
【解析】∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，DF=12BC，EF=12AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∵四边形BEFD周长为14，
∴DF+EF＝7，
∴AB+BC＝14．
故答案为14．
15．（2019春•路桥区期末）如图，为测量池塘边A、B两点间的距离，可在池塘的一侧选取一点O，连接OA，OB，分别取OA，OB的中点D，E，测得DE＝35米，由此可知A、B之间的距离是　70　米．

【分析】连接AB，根据三角形的中位线性质得出AB＝2DE，代入求出即可．
【解析】连接AB，
∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴AB＝2DE，
∵DE＝35米，
∴AB＝70米，
故答案为：70．

16．（2021春•荔湾区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC＝16cm，则四边形ADEF的周长等于　26　cm．

【分析】根据三角形中位线定理，证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理，求出DE、EF的长，即可解决问题．
【解析】∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，
∴DE，EF都是△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝8cm，DE∥AC，EF=12AB＝5cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．
故答案为：26．
17．（2021春•西宁期末）如图，在△MBN中，已知BM＝8，BN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点．则四边形ABCD的周长是　18　．

【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的定义分别求出AD、DC、BC、AB，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解析】∵点A，D分别是MB，MN的中点，
∴AD=12BN=12×10＝5，AB=12BM=12×8＝4，
同理可得，DC=12BM=12×8＝4，BC=12BN=12×10＝5，
∴四边形ABCD的周长＝AD+DC+BC+AB＝5+4+5+4＝18，
故答案为：18．
18．（2021春•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝　4　cm．

【分析】根据勾股定理求出AC，得到BD的长，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2-BC2=132-122=5，
∴AD＝AC＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AC＝AD，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵CE＝DE，CF＝BF，
∴EF是△CBD的中位线，
∴EF=12BD＝4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（2021春•长葛市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．
求证DE＝AF．
证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝　12BC　．
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝　12BC　，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
证法2：

【分析】证法1：根据三角形中位线定理得到DE=12BC，根据直角三角形的性质得到AF=12BC，等量代换证明结论；
证法2：连接DF、EF，根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，证明四边形ADFE是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
【解答】证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF=12BC，
∴DE＝AF，
证法2：连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴DE＝AF．
故答案为：12BC；12BC．

20．已知在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点，H是EF的中点．求证：EF⊥GH．

【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12CD，FG=12AB，得到EG＝FG，根据等腰三角形的三线合一证明结论．
【解析】连接GE、GF，
∵E、G分别是BD、BC的中点，
∴EG=12CD，
同理，FG=12AB，
∵AB＝CD，
∴EG＝FG，
∵H是EF的中点，
∴EF⊥GH．

21．（2016•长春模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC延长线上一点，且CF=12BC，连结CD、EF．求证：CD＝EF．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，DE=12BC，然后求出四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明即可．
【解答】证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=12BC，
∵CF=12BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴CD＝EF．
22．（2021春•工业园区校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．

【分析】根据三角形中位线定理得到PE=12AD，PF=12BC，得到PE＝PF，根据等腰三角形的性质解答．
【解析】∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=12AD，
同理，PF=12BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
23．（2017秋•临洮县期末）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．

【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG＝AC＝4，GF＝CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解析】在△AGF和△ACF中，
∠GAF=∠CAFAF=AF∠AFG=∠AFC，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG＝AC＝6，GF＝CF，
则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=12BG＝1．
24．（2021春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG=12BD，FH=12CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．