专题6.7第6章平行四边形单元测试（培优卷）-2021-2022学年八年级数学下册 培优题典【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下册 同步培优题典【北师大版】
专题6.7第6章平行四边形单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•镇原县期末）一个多边形的每个外角为30°，那么这个多边形边数为（　　）
A．12 B．6 C．10 D．8
【分析】一个多边形的外角和为360°，而每个外角为30°，进而求出外角的个数，即为多边形的边数．
【解析】360°÷30°＝12，
故选：A．
2．（2021秋•本溪期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（　　）
A．18条 B．14条 C．20条 D．27条
【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为n(n-3)2进行解答．
【解析】∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴多边形的边数为6+3＝9，
∴这个多边形是九边形．
∴该多边形对角线一共有：9×(9-3)2=27（条）．
故选：D．
3．（2021秋•海淀区校级期末）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解析】A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
4．（2019春•滕州市期末）若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（　　）
A．12和2 B．3和4 C．14和16 D．4和8
【分析】平行四边形的长为7的一边，与对角线的交点，构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设两条对角线的长度分别是x、y，即三角形的另两边分别是12x、12y，那么得到不等式组12x+12y＞712x-12y＜7，解得x+y＞14x-y＜14，所以符合条件的对角线只有8，14．
【解析】如图，▱ABCD中，
AB＝7，设两条对角线AC、BD的长分别是x，y．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∴OA=12x，OB=12y，
∴在△AOB中，OA+OB＞ABOA-OB＜AB，
即：12x+12y＞712x-12y＜7，
解得：x+y＞14x-y＜14，
将四个选项分别代入方程组中，只有C选项满足．
故选：C．

5．（2021春•高港区期中）下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠C
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定定理即可可得答案．
【解析】A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；
D、∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
故选：D．

6．（2021春•南岗区校级期中）平行四边形的两条对角线长分别是x，y，一边长为12，则x，y可能是下列各组中的（　　）
A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38
【分析】由平行四边形的两条对角线长分别是x，y，一边长为12，根据平行线的性质与三角形三边关系，即可得12x+12y＞12，|12y-12x|＜12，然后验证即可求得答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC=12x，OB＝OD=12BD=12y，BC＝12，
根据三角形三边关系可得：12x+12y＞12，|12y-12x|＜12，
即：x+y＞24，|x﹣y|＜24，
然后代入数值检验．即可得C符合要求．
故选：C．

7．（2021•石家庄一模）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG，使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为（　　）

A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】根据多边形的内角和公式可得∠A＝108°，根据等腰三角形的性质可得∠ABE＝36°，再根据正方形的性质可得∠EBG＝90°，然后根据角的和差关系解答即可．
【解析】根据题意得∠A=(5-2)×180°5=108°，
∴∠ABE=180°-108°2=36°，
∵∠EBG＝90°，
∴∠ABG＝∠EBG﹣∠ABE＝54°．
故选：C．
8．（2021春•鄞州区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，若AD⊥BD，AB＝10，BC＝6，则对角线AC的长是（　　）

A．45 B．12 C．213 D．413
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC＝6，利用勾股定理得出BD＝8，进而利用勾股定理解答即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AD⊥BD，AB＝10，
∴BD=AB2-AD2=102-62=8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝4，
∴OA=AD2+OD2=62+42=213，
∴AC＝2OA＝413，
故选：D．
9．（2018春•番禺区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是（　　）

A．CD=2EF B．AB=2CD
C．∠DEC＝33.75° D．DE平分∠FDC
【分析】根据直角三角形的性质、三角形中位线定理判断A、B；根据等腰三角形的性质、三角形中位线定理判断C；根据角平分线的定义判断D．
【解析】∵Rt△ADC是以AC为斜边的直角三角形，∠CAD＝45°，F是AC的中点，
∴DF=12AC，DF⊥AC，∠DCA＝90°，
∴CD=2DF，
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF=12AB，
∵AB＝AC，
∴FE＝FD，
∴CD=2EF，A正确，不符合题意；
由题意得，CD=2EF=2×12AB，
∴AB=2CD，B正确，不符合题意；
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠ABC＝67.5°，
∴∠EFD＝135°，
∴∠FED＝22.5°，
∴∠DEC＝45°，C错误，符合题意；
∵∠FDC＝45°，∠FDE＝22.5°，
∴DE平分∠FDC，D正确，不符合题意；
故选：C．
10．（2019春•惠山区期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB=12BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝27；③S四边形ABCD＝AB•AC；④OE=14AD；⑤S△BOE=32．其中正确的个数有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质可得：S△BOE＝S△EOC=12OE•OC=32．
【解析】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE=12AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC=EC2-OE2=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD=OD2+CD2=7
BD＝2OD＝27
故②正确
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S▱ABCD＝AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=12AB，
∵AB=12BC，
∴OE=14BC=14AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2
∴S△BOE＝S△EOC=12OE•OC=32
故⑤正确
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝　13　．
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝1980°，然后解方程即可求解．
【解析】设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1980°，
解得n＝13．
故答案为：13．
12．（2021秋•松山区期末）一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝　132　°．

【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解决问题．
【解析】如图：

由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，
故答案为：132．
13．（2021春•方城县期中）如图，E为▱ABCD内任一点，且▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为　3　．

【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影=12S四边形ABCD．
【解析】设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD=12AB•h1+12CD•h2=12AB（h1+h2）
=12S四边形ABCD=12×6＝3．
故答案为：3．
14．在平面直角坐标系中，已知三点O（0，0），A（1，﹣2），B（3，1），若以A、B、C、O为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为　（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）　．
【分析】利用图象法解决问题即可．
【解析】如图，观察图象可知，满足条件的点C的坐标为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）

故答案为（2，3）或（﹣2，﹣3）或（4，﹣1）．
15．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC∥DG，AD∥BE∥CF，AF∥BG．图中平行四边形有　5　个．

【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得．
【解析】如图，

图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF，
故答案为：5．
16．（2021春•高邮市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为　13　．

【分析】过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，得到四边形ACBP是平行四边形，推出四边形ACBP是矩形，得到PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，连接CH并延长JIAOPB于M，连接CG并延长交AP于N，根据全等三角形的性质得到BM＝CD＝4，CH＝HM，同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，根据勾股定理得到MN=PM2+PN2=213，由三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交 PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN=PM2+PN2=213，
∴HG=12MN=13，
方法二：求AB的中点，连接FG，FH，
∵G是AE的中点，
∴FG∥BE，FG=12BE=12(BC-EC)=2，
同理，FH∥AD，FH=12AD=12(AC-CD)=3，
∵∠C＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴GH=FG2+FH2=22+32=13；
故答案为：13．


17．（2021秋•金乡县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2021的坐标为　（2，2）　．

【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解析】观察，发现规律：
P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）．
∵2021＝6×336+4，
∴P2021（2，2）．
故答案为：（2，2）．
18．（2019春•西城区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD、OE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝　60　°．

【分析】根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形中位线定理计算即可．
【解析】在Rt△ACD中，
∵点O是AC中点，
∴OD＝AO，
∴∠ADO＝∠CAD＝20°，
∴∠DOC＝40°，
∵E为BC的中点，点O是AC中点，
∴OE∥AB，
∴∠COE＝∠CAB＝20°，
∴∠DOE＝60°，
故答案为：60．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021春•富平县期末）一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和．
【分析】设这个正多边形的外角为x，则内角为5x﹣60，根据内角和外角互补可得x+5x﹣60＝180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数，根据内角和公式：（n﹣2）×180°计算内角和即可．
【解析】设这个正多边形的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9．（9﹣2）×180°＝1260°
答：这个正多边形的边数是9，内角和是1260°．
20．（2021春•牡丹区期末）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在AC上，且AE＝CF，AH＝CG．
求证：四边形EGFH是平行四边形．

【分析】证△AEH≌△CFG（SAS），得EH＝FG，∠AHE＝∠CGF，证出EH∥FG，即可得出四边形EGFH是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAH＝∠FCG，
在△AEH和△CFG中，AE=CF∠EAH=∠FCGAH=CG，
∴△AEH≌△CFG（SAS），
∴EH＝FG，∠AHE＝∠CGF，
∴EH∥FG，
∴四边形EGFH是平行四边形．
21．（2021秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，F在DE的延长线上，DE＝EF，连接CF，CF∥AB．

（1）如图1，求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出图中与线段CF相等的所有线段．
【分析】（1）先证△ADE≌△CFE（AAS），得AD＝CF，再证BD＝CF，即可得出结论；
（2）由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ECF，
又∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，且CF∥BD，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）解：与线段CF相等的所有线段为AD、BD、AE、CE；理由如下：
由（1）得：BD＝AD＝CF，AE＝CE，
∵AB＝AC，
∴BD＝AD＝AE＝CE＝CF．
22．（2021•南宁）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．

【分析】（1）证出BC＝EF，由SSS即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出AB∥DE，由AB＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
23．（2021•江都区二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．
（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．
【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠ECF
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∠B=∠ECFBE=EC∠AEB=∠FEC
∴△ABE≌△FCE．

（2）结论：CH⊥DG．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵AB＝CD，
∴DC＝CF，
∵H为DG的中点，
∴CH∥FG
∵DG⊥AE，
∴CH⊥DG．

24．（2021春•建平县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝　t　；DP＝　12﹣t　；BQ＝　15﹣2t　；CQ＝　2t　．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解析】（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．

25．（2014秋•罗田县校级月考）已知凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．
（1）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，求证：DE⊥BF；
（2）如图②，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE∥BF．

【分析】（1）延长DE交BF于G．易证∠ADC＝∠CBM．可得∠CDE＝∠EBF．即可得∠EGB＝∠C＝90°，则可证得DE⊥BF．
（2）连接BD，易证∠NDC+∠MBC＝180°，则可得∠EDC+∠CBF＝90°，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC＝180°，则可得DE∥BF．
【解析】（1）DE⊥BF．
延长DE交BF于G，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠ADC＝∠CBM，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，
∴∠CDE=12∠ADC，∠EBF=12∠CBM，
∴∠CDE＝∠EBF．
∵∠DEC＝∠BEG，
∴∠EGB＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF．

（2）DE∥BF，
连接BD，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠NDC+∠MBC＝180°，
∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠EDC+∠CBF＝90°，
∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC＝180°，
∴DE∥BF．

26．（2021•建邺区二模）数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？
悦悦的思考：

①如图，延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．
②由AD是EF的垂直平分线，易证∠E＝∠F．
③由∠E＝∠F，易证∠ABC＝∠ACB．
④得到AB＝AC．
如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】如图①，延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．则∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，证出AD是EF的垂直平分线，则AE＝AF，由等腰三角形的性质得∠E＝∠F，证出∠ABC＝∠ACB，即可得出AB＝AC．
如图②，在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN，先证四边形MBND是平行四边形，得MB＝ND，∠M＝∠N，再证△ABM≌△CDN（ASA），得AM＝CN，证出AD＝BC，即可得出结论．
【解答】如图①，
解：AB＝AC，理由如下：延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．

则∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，
∵AB+BD＝AC+CD，
∴BE+BD＝CF+CD，
即DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AE＝AF，
∴∠E＝∠F，
∴∠E＝∠F＝∠BAE＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
如图②，
证明：在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN，

则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN，
∵AB+AD＝CD+CB，且 AM＝AB，CN＝CD，
∴AM+AD＝CN+CB，
即DM＝BN，
又∵AD∥BC，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴MB＝ND，∠M＝∠N，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM和△CDN中，∠M=∠NMB=ND∠ABM=∠CDN，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM＝CN，
∵DM＝BN，
∴DM﹣AM＝BN﹣CN，
即AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．