专题3.8期中全真模拟卷08-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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2021-2022学年八年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】
专题3.8期中全真模拟卷08
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择12道、填空6道、解答8道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选：A．
2．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为（　　）
A．40° B．50° C．65° D．60°
【分析】等腰三角形中，给出了顶角为50°，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理直接求出底角，答案可得．
【解析】∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：C．
3．把不等式组2x+1＞-1x+2≤3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题的关键是先解不等式组，然后再在数轴上表示．
【解析】由（1）得x＞﹣1，由（2）得x≤1，所以﹣1＜x≤1．故选B．
4．点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　）
A．3 B．﹣2 C．﹣3 D．2
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【解析】∵点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，
∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4，
解得：2a＝﹣2，b＝﹣1，
∴2a+b＝﹣2﹣1＝﹣3，
故选：C．
5．如图，在9×6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置B，下列说法中正确的是（　　）

A．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45°
B．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转45°
C．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90°
D．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转90°
【分析】先判断出∠1的度数，再进行解答即可．
【解析】∵小树经过正方形BCDE的顶点B、D，
∴∠1＝45°，
∴小树从位置A经过旋转平移后到位置B时应绕B点逆时针旋转45°，再向右平移6格．
故选：B．
6．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　）

A．45° B．60° C．70° D．90°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解析】∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B=12（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故选：D．
7．如图．△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB交AB于D，∠ABC的平分线BE交CD与E，则∠BEC的大小是（　　）

A．135°-14∠A B．135°+14∠A C．90°+12∠A D．180°-12∠A
【分析】由AB＝AC，根据三角形的内角和定理得∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，而BE是∠ABC的平分线，则∠DBE=12∠ABC＝45°-14∠A．再根据三角形的外角性质和CD⊥AB，得到∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝90°+45°-14∠A＝135°-14∠A．
【解析】∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DBE=12∠ABC＝45°-14∠A．
∵∠BEC是△BED的外角，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDE+∠DBE＝90°+45°-14∠A＝135°-14∠A．
故选：A．
8．等腰三角形两边的长分别为3cm和5cm，则这个三角形的周长是（　　）
A．11cm B．13cm C．11cm或13cm D．不确定
【分析】分3cm是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+3+5＝11cm，
②3cm是底边长时，三角形的三边分别为3cm、5cm、5cm，
能组成三角形，周长＝3+5+5＝13cm，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故选：C．
9．已知不等式组x-a≥0-2x＞-4有解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜2 D．a≥2
【分析】分别解这两个不等式，得出解集，既然有解，根据同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则，建立适当的不等式，进行解答．
【解析】由（1）得x≥a，由（2）得x＜2，故原不等式组的解集为a≤x＜2，
∵不等式组x-a≥0-2x＞-4有解，
∴a的取值范围为a＜2．
故选：C．
10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．
【解析】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA＝∠ADC＝90°．
∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
在△BDF和△ADC中，∠FDB=∠ADC∠FBD=∠CADBF=AC，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
故选：B．

11．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为（　　）

A．90° B．84° C．64° D．58°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DAB＝∠B＝32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【解析】∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝32°，
∴∠C＝180°﹣32°﹣32°﹣32°＝84°，
故选：B．
12．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+33；⑤S△AOC+S△AOB＝6+943．其中正确的结论是（　　）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝6+43，故结论④错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
【解析】由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42＝6+43，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″=12×3×4+34×32＝6+943，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选：A．


二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
13．当x　≥13　时，代数式﹣3x+5的值不大于4．
【分析】根据题意列出关于x的不等式，解之可得．
【解析】根据题意得﹣3x+5≤4，
则﹣3x≤4﹣5，
﹣3x≤﹣1，
x≥13，
故答案为：≥13．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CH⊥AB于H，若AH＝2，则BH＝　6　．

【分析】根据直角三角形的性质可得∠A和∠ACH的度数，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC和AB的长，进而可得答案．
【解析】∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ACH＝30°，
∴AC＝2AH＝4，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝8，
∴BH＝AB﹣AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
15．如图，BD⊥OA于点D，交射线OC于P，PD＝1，∠B＝30°，若P到OB的距离为1，则OP的长为　2　．

【分析】过点P作PE⊥OB于点E，可得出PD＝PE＝1，则得出∠POD＝∠POE，由直角三角形的性质得出答案．
【解析】如图，过点P作PE⊥OB于点E，

∵P到OB的距离为1，
∴PE＝1，
∵PD＝1，
∴PD＝PE，
又∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠POD＝∠POE，
∵∠B＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠POE=12∠BOD＝30°，
∴OP＝2PE＝2．
故答案为：2．
16．如果不等式（2a﹣1）x＞1的解集是x＜12a-1，那么a的取值范围是　a＜12　．
【分析】根据不等式的性质3，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解析】∵（2a﹣1）x＞1的解集为x＜12a-1，
∴2a﹣1＜0，
解得：a＜12，
故答案为：a＜12．
17．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：
①y随x的增大而增大；
②b＞0；
③关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；
④kx+b＞0的解集是x＞2．
其中说法正确的有　②③　．（把你认为说法正确的序号都填上）

【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【解析】由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，
当k＜0时，y随x的增大而减小，故①错误，②正确，
由图象得：与x轴的交点为（2，0），则当x＝2时y＝0，
当x＞2时，y＜0，当x＜2时，y＞0，故③正确，④错误．
故答案为②③．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，CF的长为　4或210　．

【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，先利用勾股定理计算出AC＝10，根据折叠的性质得∠AFE＝∠B＝90°，而当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC＝90°，所以点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，则EB＝EF，AB＝AF＝6，可计算出CF；
②当点F落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEF为正方形，根据勾股定理计算出CF．
【解析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．
连接AC，
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE＝∠B＝90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC＝90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，
∴EB＝EF，AB＝AF＝6，
∴CF＝10﹣6＝4；
②当点F落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE＝AB＝6，CE＝8﹣6＝2，
∴CF＝210．
综上所述，CF的长为4或210．
故答案为：4或210．

三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解下列不等式（组）．
（1）4x+5≥6x﹣3；
（2）2x-13-5x+12≤1；
（3）x-32(2x-1)≤41+3x2＞2x-1，并写出其整数解．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（3）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解析】（1）4x+5≥6x﹣3，
4x﹣6x≥﹣3﹣5，
﹣2x≥﹣8
x≤4；

（2）2x-13-5x+12≤1，
2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，
4x﹣2﹣15x﹣3≤6，
﹣11x≤11，
x≥﹣1；

（3）x-32(2x-1)≤4①1+3x2＞2x-1②，
解不等式①得：x≥-54，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为-54≤x＜3，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2；
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是　（a+4，﹣b）　；
（4）在y轴上找一点P，使△PAB的周长最小，点P的坐标为　P（0，135）　．

【分析】（1）作出A1、B1、C1即可得到答案，
（2）作出A2、B2、C2即可得到答案，
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，
（4）作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，可以求出A′B的解析式，再令x＝0即可得答案．
【解析】（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1见下图；

（2）△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2见上图；
（3）关于x轴的对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，沿x轴向右平移4个单位长度则横坐标增加4，
∴AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，对应A2C2上的点M2的坐标是（a+4，﹣b），
故答案为：（a+4，﹣b），
（4）如下图：

使△PAB的周长最小即是使PA+PB最小，作A关于y轴对称点A′，连接A′B，与y轴交点即为所求的点P，
∵A（﹣3，5），
∴A′（3，5），又B（﹣2，1），
∴A′B的解析式为：y=45x+135，
令x＝0得y=135，
∴P（0，135），
故答案为：P（0，135）．
21．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若AE＝6，求CE的长．

【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质得出BE＝CE，得出∠ABE＝∠DBE＝30°，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BE，

∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
∴BE＝CE，
∴∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE=12BE，DE=12BE，
∴AE＝DE；
（2）解：∵∠A＝90°，AE＝6，∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE＝12，
∴CE＝BE＝12．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD平分∠ACB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F．当AC＝4时，求EF的长．

【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．
（2）连接EC，想办法证明EF＝EC即可解决问题．
【解析】（1）如图所示，直线l是所求作的线段AB的垂直平分线．

（2）解：连接EC．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AC=12AB，∠A＝60°，
∴AB＝8，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=12AB＝4，∠AEF＝90°，
∴AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠AEC＝∠ACE＝60°，EC＝AC＝4，
∴∠FEC＝∠AEF+∠AEC＝150°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=12∠ACB＝45°，
∴∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA＝15°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝15°＝∠ECF，
∴EF＝EC＝4．
23．平高集团有限公司准备生产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区，已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元．
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元？
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品a万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解析】（1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，
根据题意得：2x=3y3x-2y=1500，
解得：x=900y=600．
答：甲种商品的销售单价为900元/件，乙种商品的销售单价为600元/件．

（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a+600（8﹣a）≥5400，
解得a≥2．
答：至少销售甲种商品2万件．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．

【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B＝45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE＝BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；
（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE＝AC，再由CD＝BE可得出结论．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∴CD＝BE；

（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，
∴DE＝BE＝CD＝2，
∴BD=DE2+BE2=22+22=22，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+22；

（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵AD=ADCD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE＝AC．
∵由（1）知CD＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
25．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．
（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝　130°　；
（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．

【分析】（1）求出∠COE的度数，即可求出答案；
（2）分为两种情况，根据∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；
（3）根据∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．
【解析】（1）∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∵OD在OA和OC之间，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，
∴∠COE＝60°﹣20°＝40°，
∴∠AOE＝90°+40°＝130°，
故答案为：130°；

（2）在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，
有两种情况：①如图1、∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，
∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，
②如图2、∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，
∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，
即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；

（3）如图1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，
∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，
解得：∠COD＝18.75°，
∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；
如图2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，
∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，
∴∠COD＝25°，
∴∠AOE＝7×25°＝175°；
即∠AOE＝131.25°或175°．
26．（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
（2）已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG的交点，点N在边EG′上且EN＝EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

【分析】（1）①根据正三角形的性质知∠BAC＝∠PAQ＝60°，所以∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC；然后再由等边三角形的边都相等知AB＝AC，AP＝AQ；从而根据全等三角形的判定定理SAS来证明△ABP≌△ACQ；
②如图：当点P由点B运动到点C时，点D运动路线为DD′，由三角形中位线定理进行解答．
（2）作辅助线“过点E作底边FG的垂线，点H为垂足”构建直角三角形，然后根据旋转的性质先证明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG＝∠EMF＝90°、EM＝12，即点E到直线GN的距离是12．
【解析】（1）①证明：∵△ABC和△APQ是正三角形，
∴AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ．
∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAQ﹣∠PAC．
∴∠BAP＝∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．
②如图：当点P由点B运动到点C时，点D运动路线为DD′，
∵AD＝CD，AD′＝D′Q′，
∴DD′=12CQ′=12AB＝3；
∴点D运动路线的长为3．

（2）解法一：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．（6分）类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM＝∠EGN．
∵∠EFG＝∠EGF，
∴∠EGF＝∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分线，
∴点E到直线FG和GN的距离相等，
∴点E到直线GN的距离是12．
解法二：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．
过点E作直线 GN的垂线，点K为垂足．
在△EFG中，易得EH＝12．
类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM＝∠EGN．可证明△EFH≌△EGK，
∴EH＝EK．所以点E到直线GN的距离是12．
解法三：把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．
由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF＝90°．类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG＝∠EMF＝90°．
求得EM＝12．
∴点E到直线GN的距离是12． （酌情赋分）