专题02 一定是直角三角形吗-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

一定是直角三角形吗

【知识导图】

在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？

(1)情境引入

1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？

2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？

意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情。

效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础.

(2)实验观察

1、 用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用三角板量出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法）

2、 用圆规、刻度尺作△ABC，使AB=5㎝，AC=4㎝，BC=3㎝，量一量∠C。

再画一个三角形，使它的三边长分别是5㎝、12㎝、13㎝，这个三角形有什么特征？

为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？

猜想：如果一个三角形的三边长满足下面的关系，那么这个三角形是直角三角形。 

（3）探究新知

1、探究：在下图中，△ABC的三边长，，满足。如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是，的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形， 使∠ =90°，=， =。把画好的△ 剪下，放到△ABC上，它们重合吗？

2、用三角形全等的方法证明这个命题。（由于难度较大，由教师示范证明过程）

已知：在△ABC中，AB=，BC=，AC=，并且，如上图（1）。

求证：∠C=90°。

证明 : 作△A’B’C’，使∠C’=90°，A’C’=，  B’C’=，如上图（2），

　    那么A’B’ =（勾股定理）

又∵（已知）

∴A’B’=，A’B’=c (A’B’＞0)

　    在△ABC和△A’B’C’中，

　        BC==B’C’           

　  　    CA==C’A’           

　  　    AB==A’B’           

　   ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)

∴∠C=∠C’=90°，

　   ∴△ABC是直角三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。如果三角形三边长a,b,c满足a²+ b²= c²,那么这个三角形是直角三角形。

【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。

（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.

应用举例

1、判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形:

（1），，；

（2），，.

2、像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。

你还能举出其它一组勾股数吗？

提问：

1．同学们还能找出哪些勾股数呢？

2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？

3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?

4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？

意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系

类型一 勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（     ）

（A）1.5，2，2.5     （B）7，24，25

（C）8，12，15       （D）6，8，10

【解析】C

【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且，试判断△AEF是否是直角三角形？试说明理由．

【解析】△AEF是是直角三角形

试题分析：可设正方形的边长为4a，由已知条件可得CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．根据勾股定理可求出AF，AE和EF的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理的逆定理，则△AEF为直角三角形，否则不是直角三角形.

试题解析：解：设正方形的边长为4a,

∵E是BC的中点，,

∴CF=a，DF=3a，CE=BE=2a.

由勾股定理得：AF²=AD²+DF²=16a²+9a²=25a²，EF²=CE²+CF²=4a²+a²=5a²，AE²=AB²+BE²=16a²+4a²=20a²，

∴AF²=EF²+AE²，

∴△AEF为直角三角形.

【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

四边形ABCD中，AD⊥DC，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.求四边形ABCD的面积.

【解析】1. 答案：144．

试题分析：连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．

试题解析：连结AC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=8米，CD=6米，由勾股定理得：AC=（米），

∵，∴∠ACB=90°，

该区域面积S==×6×8+×10×24=144（平方米），

【总结与反思】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）及图形面积的综合应用.

类型二 勾股数

1.有五组数：（1）25、7、24（2）8、15、17（3）0.3、0.4、0.5（4）、、（5）、属于勾股数组的个数为（   ）

A．1      B．2     C．3    D．4

【解析】B

【总结与反思】主要考查勾股数的概念

下列各组数能够构成勾股数的是（      ）

①6,8,10 ②0.3,0.4,0.5,④ n²-1，2n，n²+1（n是大于1的整数）⑤，,1

【解析】①④

【总结与反思】主要考查勾股数的概念

1.下列各组数中不是勾股数的是（  ）

A．5,12,13  B.7,24,25  C.8,12,15  D.3k,4k,5k（k为正整数）

2.给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③n²﹣1，2n，n²+1；④+1，﹣1，．其中能组成直角三角形的三条边长是（   ）

A．①③       B．②④       C．①②       D．③④

3．如图所示的一块地，已知AD=4m,CD=3m， AD⊥DC，AB=13m,bc=12m，求这块地的面积.

答案与解析

1.【答案】C

【解析】主要考查勾股数的概念

2.【答案】D

【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

3．【答案】144

【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

试题分析：连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．

试题解析：连结AC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC==5（米），

∵AC²+BC²=5²+12²=169，AB²=13²=169，∴AC²+BC²=AB²，∴∠ACB=90°，

该区域面积S==×5×12﹣×3×4=24（平方米），

1.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）²+=0，则三角形的形状是（  ）

A.底与腰不相等的等腰三角形  B.等边三角形    C.钝角三角形    D.直角三角形

2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（  ）

A．三内角之比1:2:3      B．三边长的平方之比为1:2:3 

 C．三边长之比为3:4:5   D．三内角之比为3:4:5

3．如图,在四边形ABCD中,AB=2cm,BC=cm,CD=5cm,AD=4cm,∠B=90°，求四边形ABCD的面积｡

答案与解析

1.【答案】D

【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）

2.【答案】D

【解析】综合考查直角三角形的判定

3.【答案】

【解析】考查勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）及图形面积的综合应用

试题分析：连接AC，由勾股定理求出AC的值，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，根据三角形的面积公式求解即可．

连接AC，

在中，  

在中,

∴直角三角形  

1.在△ABC中，已知AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm则△ABC的面积等于       .

2.若三角形的三边长分别是2n+1,2n²+2n, 2n²+2n +1（n为正整数），则三角形的最大内角等于_______度

3.一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为        ．

答案与解析

1.【答案】54cm²

【解析】考查勾股定理的定理及分类讨论思想

2.【答案】90

【解析】考查勾股定理的逆定理

3.【答案】150cm

【解析】考查勾股定理的逆定理及面积

本节讲了2个重要内容：

1.勾股定理的逆定理

2．勾股数

1.下列三条线段不能构成直角三角形的是（）

A.1、、2   B．  C.5、12、13  D.9、40、41

2.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（  ）

A.直角三角形       B.锐角三角形     C.钝角三角形       D.以上答案都不对

2.如图，AD=4,CD=3,∠ADC=90°，AB=13,BC=12．求四边形ABCD的面积．

答案与解析

1.【答案】B．

【解析】勾股定理的逆定理

2. 【答案】A．

【解析】勾股定理的逆定理

3.【答案】24

【解析】

试题分析：根据AD=4,CD=3,∠ADC=90°可首先想到利用勾股定理，故需联结AC，求出AC长；又根据AB,AC,BC的长度关系得到∠ACB=90°，所以四边形的面积可根据两个直角三角形面积之差来求.

试题解析：联结AC  ∵AD=4,CD=3,∠ADC=90°    ∴

又∵AB=13,BC=12  ∴∠ACB=90°  

1.满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（    ）

A.a=1,b=2,c=,   B．a∶b∶c=3∶4∶5   C．∠A＋∠B=∠C    D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5  

2.已知△ABC三边a,b,c满足a²+b²+c²=10a+24b+26c-338，请你判断的形状，并说明理由．

3.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，BC=4，AB=3，AC=5,AD=13，CD=12那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD的面积．

答案与解析

1.D

【解析】直角三角形判定

2.【答案】直角三角形.

【解析】试题分析：根据题意讲其化成三个完全平方公式，求出a.b.c的值，然后判断三角形的性质.

试题解析：△ABC是直角三角形

理由如下：∵a²+b²+c²=10a+24b+26c-338

∴a²-10a +25+b²-24b+144+c²-26c+169=0

即（a-5）²+(b-12) ²+(c-13) ²=0

∴a=5,b=12,c=13  ∵5²+12²=13²

∴△ABC是直角三角形

3.【答案】36.

【解析】

试题分析：根据勾股定理的逆定理，判断出△ABC、△ADC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；这个零件的面积=△ABC的面积+A△DC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．

试题解析：∵BC=4，AB=3，AC=5，DC=12，AD=13，

∴AB2+BC2=AC2，AC2+CD2=AD2，

∴△ABA、△DAC是直角三角形，

∴∠B=90°，∠ACD=90°，

∴这个零件的面积=△ABC的面积+△ADC的面积

=3×4÷2+5×12÷2，

=6+30，

=36．

1观察一下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数:______________________

2有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是         .

答案与解析

1.【答案】11，60，61

【解析】试题分析：根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．

∵①3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，

②5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，

③7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，…，

∴第n组勾股数为：

a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，

∴第⑤组勾股数为a=2×5+1=11，b=2×5×（5+1）=60，c=2×5×（5+1）+1=61，即11，60，61．

解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．

2. 【答案】15

【解析】设第三个数是a，①若a为最长边，则，不是整数，不符合题意；

② 若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15