专题09 一次函数与正比例函数-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型TC T授课日期及时段教学内容一次函数与正比例函数【知识导图】一、知识讲解考点1 函数及其表示方法做一做1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？填表层数123…x钢管总数思考：层数n和物体总数y之间是什么关系?2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？思考：在关系式T=t+273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个?函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．函数的表示法：①图象法；②列表法；③关系式法.典例精析例1.已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝1/2×12·h，即S＝6h，在这个式子中，常量和变量分别是什么？【总结与反思】判断一个量是常量还是变量的方法：看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量．如图，各曲线中表示y是x的函数的是_______．(写出所有满足条件的图的序号) 【方法总结】判断一个关系是不是函数关系的方法：一看是否存在一个变化过程；二看过程中是否存在两个变量；三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应，三者必须同时满足．解本例的技巧在于过x轴上任意一点作x轴的垂线，若垂线与曲线交于两点或多点，说明x取一值，有两个或多个y值与其对应，则y不是x的函数．变式训练1.函数是研究(　　)A．常量之间的对应关系 B．常量与变量之间的对应关系C．变量之间的对应关 D．以上说法都不对 2.下列关系式中，y不是x的函数的是(　　)A．y＝±(x＞0) B．y＝x2 C．y＝－(x＞0) D．y＝()2(x＞0)3.已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：x-101Y-113则y与x之间的函数关系式可能是（ ）A. B. C. D. 考点2 函数自变量的取值范围函数自变量取值范围的确定：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围，其确定方法是：(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0；(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义．典例精析例3.求下列函数中自变量x的取值范围：(1) y＝3x＋7；(2)；(3) y＝。【方法总结】求自变量的取值范围，应按给出的各种式子的存在意义的条件求出．当给出的式子是复合形式时，应先求出使每个式子存在意义的范围，再找出它们的公共范围即可． .变式训练1.如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数表达式为(　　)A．y＝x＋2 B．y＝x2＋2 C．y＝ D．2.(中考·恩施州)函数的自变量x取值范围是(　　)A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2考点3 一次函数做一做1.某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增 加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：x/千克012345y/厘米你能写出y与x之间的关系式吗？2.某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.（1）完成下表：汽车行驶路程x/千米050100150200300油箱剩余油量y/升 (2)你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ (3 )你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？一次函数： 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称y是x的一次函数.典例精析例1 已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)．(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．【方法总结】根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；(2) 注意隐含条件：一次项的系数不为0.变式训练1.下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是(　　)A．1 B．2 C．3 D．42.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)A．－3 B．3 C．±3 D．±2考点4. 正比例函数定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．也就是一次函数中当b=0时，称y＝ kx是x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数.2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 典例精析例2 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．例3 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？【方法总结】由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件． 变式训练1.(中考·上海)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　)A．y＝x2　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝2.已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.3.下列说法中正确的是(　　)A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数3.若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．考点5. 确定实际问题中一次函数关系式典例精析例4 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3 500元但不超过5 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3 860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3 860-3 500) ×3% = 10.8 (元）.(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x (元）之间的关系式；(2)某人月收入为4 160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、 薪金收入是多少元？例5 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；“神州行”使用者不缴月租 费，每通话1 min，付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为x min，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的费用相同？(3)若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业务比较合算？【方法总结】确定实际问题中的一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围 .变式训练1.(中考·广安)某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是(　　)A．y＝0.12x，x>0 B．y＝60－0.12x，x>0C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60－0.12x，0≤x≤5002.已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x之间的函数关系式为(　　)A．y＝20－2x(0