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专题10 一次函数的图像-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）
展开学科教师辅导教案学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型TC T授课日期及时段 教学内容一次函数的图像【知识导图】 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S（米）与小明出发的时间t（分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t≥0）下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗？ 我们说，上面的图象是函数S=80t（t≥0）的图象,这就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望．画正比例函数的图象内容：首先我们来学习什么是函数的图象？把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）．例1 请作出正比例函数y=2x的图象．解：列表:x…-2-1012…y=2x…-4-2024…描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象．由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：列表，描点，连线．目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数的图象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线．动手操作，深化探索内容：做一做（1）作出正比例函数y=-3x的图象．（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=-3x．请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来．（1）满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=-3x的图象上吗？（2）正比例函数y=-3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=-3x吗？（3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x，y）都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．议一议既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线.例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=,y=-4x的图象．解：列表x01y=x01y=3x03y=0y=4x0-4过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象．过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象．过点（0，0）和（1，）作直线，则这条直线就是y=x的图象．过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象．目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．议一议上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?在正比例函数y=kx中,当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).请你进一步思考:（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？（2）正比例函数y=x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？我们发现：越大，直线越靠近y轴。 探究一次函数y=kx+b(k≠0)图象与性质 1、作出 ①y=-x+3 ②y= 2x-2 ③y=-3x+1的图象（先小组讨论画图象的方法及技巧，并说明理由；然后再画图象）（1）一次函数图象的形状是________?三个函数的图象随x值的增大上升还是下降？与k有关系吗？若有，是什么关系？（2）根据图象分别写出三条直线与y轴的交点坐标 、 、 三个点的纵坐标与b有什么关系？从函数的图象上能否直接读出y=kx+b(k≠0)中b的值？一次函数y=kx+b(k≠0)图象与y轴交点的坐标_________？2、小组合作归纳：（1）一次函数y=kx+b(k≠0)图象的画法？（2）一次函数y=kx+b(k≠0)的性质？3、交流梳理总结：（1）一次函数y=kx+b(k≠0)图象的画法？一次函数y=kx+b(k≠0)图象与y轴交点坐标是 （2）一次函数y=kx+b(k≠0)的性质k 时 函数图象经过点 ，y 随x的增大而 ； k 时 函数图象经过点 ， y 随x的增大而 。4、巩固练习：(1)作出函数y=-x+1的图象，并回答：图象是一条______，由左至右呈_________(“上升”或“下降”)趋势，y随x的增大而________，与y轴的交点坐标(__,__)。(2)已知直线y=2x+b过点A( 1 , y1 )和B( 2 , y2)，则 y1 ____ y2(3)已知直线y=2x+b与直线y=-x+5相交于y轴上的同一点，则b=___.探究正比例函数y=kx(k≠0)与一次函数y=kx+b(k≠0)图象的关系1、观察以上作出的函数y=-x与函数y= -x+3的图象，并回答：（1）直线y=-x与直线y= -x+3有怎样的位置关系？你能通过适当的移动将直线y= -x变为直线y= -x+3吗？你能通过适当的移动得到直线y= -x-3吗？（2）直线y=-x+3可以看做有直线y= -x向_____平移____个单位得到的； 直线y= -x-3可以看做有直线y= -x向_____平移____个单位得到的。2、小组讨论：（1）直线y=kx(k≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的位置关系；（2）直线y=kx(k≠0)与直线y=kx+b(k≠0)有怎样的平移规律？3、交流梳理总结（1）直线y=kx(k≠0)与直线y=kx+b(k≠0)：平行；（2）直线y=kx(k≠0)与直线y=kx+b(k≠0)有怎样的平移规律：b＞0时，直线y=kx+b(k≠0)可以看做是直线y=kx(k≠0)向____平移____单位而得到的；b＜0时，直线y=kx+b(k≠0)可以看做是直线y=kx(k≠0)向____平移____单位而得到的。4、巩固练习(1)直线y=2x+3可以看做是直线y=2x向____平移____单位而得到的；(2)下列直线中，与y轴交点坐标相同的两条直线是_______；互相平行的两条直线是______；函数的值随x的增大而减小的有________。①y=6x-2 ②y=-6x-2 ③y=-6x+2探究一次函数y=kx+b(k≠0)图象在直角坐标系中的位置1、作出函数y=-x、 y= -x+3 、y= -x-3的图象，并回答：直线y=-x经过第_____________象限；直线y= -x+3经过第_____________象限 ；直线y=-x-3经过第_____________象限。作出函数y=2x、 y= 2x-2、y= 2x+2的图象，并回答：直线y=2x经过第_____________象限；直线y=2x-2经过第_____________象限 ；直线y=2x+2经过第_____________象限。2、小组讨论：直线y=kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值有怎样的关系？3、交流梳理总结：直线y=kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值的关系：K＞0，b＞0时，直线y=kx+b(k≠0) 经过第___________象限;K＞0，b＜0时，直线y=kx+b(k≠0) 经过第___________象限;K＜0，b＞0时，直线y=kx+b(k≠0) 经过第___________象限;K＜0，b＜0时，直线y=kx+b(k≠0) 经过第___________象限.（问：能否用平移的方法解释这个问题？）4、巩固练习（1）函数y=3x-1的图象，y随x的增大而_____，它的图象可由直线y=3x向____平移______个单位得到,经过第_____________象限。（2）函数y=-5x+3的图象，y随x的增大而_____，它的图象可由直线y=-5x向____平移______个单位得到,经过第_____________象限。（3）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过二、三、四象限，则k、b取值范围是（ ） A、K＞0，b＞0 ， B、K＞0，b＜0 C、K＜0，b＞0， D、K＜0，b＜0 类型一 正比例函数的图象和性质1.下列各点在函数的图象上的是（ ） A．（1，） B.（-1，） C.（3，） D.（，3）【解析】C【总结与反思】点在函数图象上2.正比例函数的图象是过点（0，______）与点（1，_____）的一条直线，当时，图象经过第___________象限；当时，图象经过第___________象限.【解析】0；k；一、三；二、四【总结与反思】正比例函数图象3.已知函数的函数值随值的增大而增大，则函数的图象经过（ ）A．第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限【解析】B【总结与反思】正比例函数图象性质.类型二 一次函数的图象和性质1.一次函数的图象是一条经过点_____________、____________的直线，一次函数的图象也称为直线 【解析】（0，b）、（，0）【总结与反思】 一次函数图像.2.一次函数的图象经过（ ）A．第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限【解析】B【总结与反思】 一次函数图象.3.下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）A. B. C. D. 【解析】C【总结与反思】 一次函数的性质 1.已知点A（2,3）在函数的图象上，则等于（ ）A.-1 B.1 C.2 D.-22.当时，正比例函数的图象大致是（ ） A B C D3.一次函数的图象不经过（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知点（-4， ），（2，）都在直线上，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D.无法比较答案与解析1.【答案】B【解析】根据函数图象的意义，把A（2,3）的坐标代入关系式求a的值.2.【答案】A【解析】正比例函数图象.3.【答案】B【解析】一次函数图象.4.【答案】A【解析】一次函数性质. 1.下列四个点中，在正比例函数的图象上的点是（ ）A．（2,5） B.（5,2） C.（2，-5） D.（5,-2）2.已知正比例函数 ，当x=-1时，y=-2，则它的图象大致是图中的（ ） A B C D3.已知和是直线上的两点，且，则与的大小关系是（ ）A. B. C. D.无法比较4.下列函数中，其图象同时满足两个条件：①y随x的增大而增大；②与x轴的正半轴相交.则它的表达式为（ ）A. B. C. D. 答案与解析1.【答案】D【解析】点在函数图象上.2.【答案】C【解析】正比例函数图象.3.【答案】C【解析】正比例函数的性质.4.【答案】C【解析】一次函数图象与性质. 1.正比例函数①；②；③的图象如图，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3.将直线向上平移一个单位后得到的直线对应的函数表达式是__________.4. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（ ）A. B. C. D. 答案与解析1.【答案】C 【解析】一次函数倾斜程度与k值的关系2.【答案】C 【解析】正比例函数的性质.y3.【答案】 【解析】一次函数的平移.4.【答案】D 【解析】一次函数与y轴交点和b值的关系及一次函数的性质. 1． 本节讲了2个重要内容：2． 正比例函数的图象和性质3． 一次函数的图象和性质 1.关于函数，下列判断正确的是（ ）A.图象经过第一、三象限B.y随x的增大而增大C.若，是该函数图象上的两点，则当时，D.不论x为何值，总有2.已知函数是正比例函数.（1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；（2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值.3.如图，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围（ ）A． B. C. D. 答案与解析1.【答案】C 【解析】函数图象及性质2.【答案】（1）-2 （2）2 【解析】函数图象及性质3.【答案】D 【解析】一次函数图象，图象经过第二、四象限，所以m-2＜0. 1.一次函数的图象与y轴交点坐标是（ ）A.(0，4) B.（4,0） C.（2，0） D.（0,2）2.已知直线，其中m，n是常数且满足：，，那么该直线经过（ ）A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限3.把函数的图象向下平移4个单位后所得的图象对应的函数表达式为（ ）A． B. C. D. 答案与解析1.【答案】A 【解析】一次函数与y轴交点坐标.2.【答案】B 【解析】一次函数图象.3.【答案】C 【解析】一次函数的平移. 1.已知一次函数的图象不经过第二象限，求m，n的取值范围.2.已知一次函数.（1）当为何值时，y随x的增大而减小？（2）当，为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴上方？（3）当，为何值时，函数图象经过第一、三、四象限？（4）当，为何值时，函数图象经过原点？（5）当，为何值时，该函数的图象与直线平行？答案与解析1.【答案】m >0；n≤0【解析】一次函数图象.不经过第二象限则过一、三或一、三、四，所以m＞0，n≤0.2.【答案】（1）a<-3；（2）a≠-3且b>2；（3）a>-3且b<2；（4）a≠-3且b=2；（5）a=-6且b≠2【解析】一次函数图象的性质、与y轴交点及平移.
