专题17 三角形内角和定理-2021-2022学年八年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案学员编号：                       年    级：               课 时 数：学员姓名：                       辅导科目：               学科教师：授课类型TC T授课日期及时段 教学内容三角形内角和定理【知识导图】   我们在小学就已经知道三角形的内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的,这个命题是不是真命题还需要证明,怎样证明呢?   一、三角形内角和定理的证明回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?1.在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码.2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下来拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.3.剪下∠A,按右下图所示拼在一起,AB∥CM,从而可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.4.把∠2和∠3剪下按下图所示拼在一起,用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果?二、探索问题如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:过点C作CE∥AB,并作线段BC的延长线CD,则∠A=∠ACE,∠B=∠DCE.又∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.即:三角形的内角和等于180°.      在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．    ① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上．(2)一条边是三角形的一边．(3)另一条边是三角形某条边的延长线．   ② 两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出：推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．证明：(略)．例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)∠BFD度数．解：(略)．  类型一 三角形内角和定理一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（  ）A.等腰三角形    B.直角三角形    C.锐角三角形    D.钝角三角形 类型二 三角形内角和定理的推论如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=______度。 类型三 三角形内角和定理与推论与折叠、旋转、动态几何问题综合如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=         1.如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（  ）A．30°    B．35°    C．40°   D．50°  2.如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC(∠A＝60°)按如图所示放置.若∠1＝55°，则∠2的度数为(    )
A.105°    B.110°    C.115°    D.120°   3.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是（  ）A.∠A=∠1+∠2    B.∠A=∠2﹣∠1    C.2∠A=∠1+∠2    D.3∠A=2（∠1+∠2）   1.如图,点O是△ABC的两条角平分线的交点,若∠BOC=118°，则∠A的大小是______.  2.如图，∥，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB的大小是　　　　　　.    3.如图,把△ABC绕点C顺时针旋转25°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,若∠A′DC=90°，则∠A=______.       1.如图,A点在B处的北偏东40°方向,C点在B处的北偏东85°方向,A点在C处的北偏西45°方向，求∠BAC及∠BCA的度数。    2.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是     ．   3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则∠EDB=______.               1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（ ）A. 35°  B. 45°C. 55°D. 65°  2.如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=28°，则∠AEC的大小为（   ）A.17°     B.62°     C.63°     D.73° 3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于      .      1.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（　　）A.60° B.50° C.40°D.30°  2.我们知道，三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．请利用这条定理解决下列问题：如图，∠1=∠2=∠3．
（1）试说明∠BAC=∠DEF．
（2）若∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC的度数．        3.如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F.         1．如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=46∘,∠1=52∘，则∠2=______度。2.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点 H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．            3.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题。探究1:如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A∴∠1+∠2=(180°−∠A)=90°−∠A，∴∠BOC=180°−(∠1+∠2)=180°−(90°−∠A)=90°+∠A探究2:如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由。探究3:如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)结论：______.