专题1.1 等腰三角形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题1.1  等腰三角形（知识讲解）

【学习目标】

1. 通过对折等腰三角形纸片,发现并理解等腰三角形性质
2. 会用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题.

3.掌握并运用等腰三角形关联的几个几何模型

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

特别说明：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .

要点二、等腰三角形的性质

1. 等腰三角形的性质

性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1在同一个三角形中，把边的问题转化为角的问题，证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2“三线合一”是解决角、线段相等的重要知识点，是用来证明线段相等、角相等、垂直关系重要依据。

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．通过此内容可以更好理解对称轴是轴对称图形对应点连线的垂直平分线。

要点三、等腰三角形的判定

判定1、如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

判定2、如果一个三角形的一个顶角的外角等于另一个内角2倍，则这个三角形为等腰三角形。                                                 

         图3

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1．（2020·湖北武汉市·八年级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分线，若BD＝BC，则∠A的度数为_____．

【答案】36°

【分析】由等腰三角形的性质得出∠C＝∠BDC，由角平分线的性质得出∠ABD＝∠CBD，得出∠C＝∠BDC＝2∠A，由三角形内角和定理则可求出答案．

解：∵BD＝BC，

∴∠C＝∠BDC，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，

∴∠C＝∠BDC＝2∠A，

又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴∠A+2∠C＝180°，

把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A＝180°，

解得∠A＝36°．

故答案为：36°．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·山东聊城市·八年级期中）如图，△ABC≌△A'B'C，点B'在边AB上，线段A'B'与AC交于点D，若∠A＝40°，∠B＝60°，则∠A'CB的度数为_____．

【答案】140°

【分析】根据全等三角形的性质得到∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，根据三角形内角和定理求出∠A′CB′＝80°，根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠BCB′＝60°，根据角的和差关系计算即可结果．

解：∵△ABC≌△A′B′C，

∴∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，

∴∠A′CB′＝80°，

∴∠BB′C＝∠B＝60°，

∴∠BCB′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠A′CB＝∠A′CB′+∠BCB′＝140°．

故答案为：140°．

【总结升华】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2．（2020·隆昌市知行中学八年级月考）已知在中，，其中一内角为，则其底角的角度为___

【答案】50°或65°

【分析】根据题意，为等腰三角形，其中一内角为，则分两种情况考虑，顶角为或底角为即可得出最终结果．

【详解】如图1所示，，，

则其底角的角度为50°；

如图2所示，，，

，

则其底角的角度为65°．

故答案为：50°或65°．

【总结升华】本题考查等腰三角形，属于基础题，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键．

．举一反三：

【变式】（2020·兴化市乐吾实验学校八年级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的度数为_________．

【答案】50°或130°

【分析】分类讨论当三角形是等腰锐角三角形和等腰钝角三角形两种情况，画出图形并结合三角形的内角和定理及三角形外角的性质，即可求出顶角的大小．

【详解】

（1）当三角形是锐角三角形时，如下图．

根据题意可知，

∵三角形内角和是，

∴在中，

（2）当三角形是锐角三角形时，如下图．

根据题意可知,

同理，在中，

∵是的外角，

∴

故答案为或

【总结升华】本题考察了等腰三角形性质和三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用，分类讨论该等腰三角形是等腰锐角三角形或等腰钝角三角形是本题的关键．

3．（2020·莆田砺志学校八年级月考）如果一个等腰三角形的周长为17，一边长为5，那么腰长为_____．

【答案】5或6

【分析】

此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．

解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17-5）÷2=6，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7，能够组成三角形．
所以，该等腰三角形的腰长为：5或6．

故答案为：5或6．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·江苏盐城市·八年级期中）等腰三角形一边长为8，另一边长为3，则此三角形的周长为______．

【答案】19

解：可以分两种情况：

（1）腰为3，底为8，则三角形三边为3，3，8，

∵3+3<8，∴此种情况三角形不存在；

（2）腰为8，底为3，则三角形三边为8，8，3，

∵3+8>8，∴此种情况三角形存在，且周长为8+8+3=19，

故答案为19．

【总结升华】本题考查等腰三角形的应用，对于等腰三角形的边，注意区分是腰还是底且根据三角形三边关系判断三角形是否存在是不可或缺的步骤．

【变式】（2020·无锡市玉祁初级中学八年级月考）如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、），若线段的长是正整数，则点的个数共有______个．

【答案】3

【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．

解：过A作AE⊥BC，

∵AB=AC，
∴EC=BE=BC=4，
∴AE==3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故答案为：3．

【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

4、已知：如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF

并延长交AC于点E，∠BAD＝∠FCD．

求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.

证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.

∵ ，

∴

∴ AD＝CD

     ∵ ，

     ∴ △ABD≌△CFD

(2)∵△ABD≌△CFD

∴ BD＝FD.

∵ ∠FDB＝90°， 

     ∴ .

     ∵ ，

     ∴ .

      ∴ BE⊥AC．

【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．

举一反三：

【变式】（2020·大冶市实验中学八年级月考）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

【思路点拨】

（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论．

（1）证明：平分

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB，

；

②，

平分

（2）

理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，

，∠DBC=∠ABC，

又

又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE

∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，

∴．

【总结升华】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键．

全等三角形的判定等知识点．