专题1.2 等腰三角形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题1.2 等腰三角形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.2 等腰三角形（专项练习）
一、单选题
1．△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC； （2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
3．等腰三角形的底角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，在中，为BC边上的中线，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，△是等边三角形，是边上的高，且，是的中点，是上的一个动点，则与的和最小是（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，中，，，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△中，，为钝角．按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交BC于点D，交AB于点E；②以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点；④作射线交于点．下列说法不正确的是( )

A．= B．=∠ACB
C．∠CHB=∠A+∠B D．=∠HCB
9．如图所示，在中，，是边上任意一点，过作于，于，若，，则AB=（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
10．在网格中作出点P，使△ABP以AB为腰的等腰三角形，且点P要在格点上，则这样的点P的个数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题
11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则这个等腰三角形的底角度数是____________．
12．已知等腰三角形的一边等于8 cm，另一边等于6 cm，则此三角形的周长为 _____________．
13．如图①是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt△ABC中，BC＝6，则AB＝_____．

14．中，，则______．
15．如图，在中，， ，BD平分，交AC于点D，，则点 D到BC的距离是 ________ ．

16．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点，交于点，若，，则的长为________．

17．如图：在中，，，平分，若，则_____．

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE=90°，连结BE．若AD=5，DB=12，则DE的长为_________．

19．如图，是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是______．

20．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，则的度数是______．

21．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________．


三、解答题
22．如图，．

（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）选其中一个等腰三角形加以证明．
23．如图，在中，点是上一点，，，求的度数．

24．如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单位/秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连接DF交射线AC于点G，设点D的运动时间为t秒；

（1）当DF⊥AB时，求t的值；
（2）当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG=GF？若成立，请说明理由；
（3）小扬同学通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化？若改变，说明理由；若不变，求出EG的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（8，0）．动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，点P到达点O，两点同时停止运动，设运动时间为t．
（1）当∠OPQ=45°时，请求出运动时间t；
（2）如图2，以PQ为斜边在第一象限作等腰Rt△PQM，设M点坐标为（m，n），请探究m与n的数量关系并说明理由．

26．如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC＝6，OA＝OB＝10，交AC于D点，且∠ODQ＝90°，求D点的坐标．

27． 如图，和均为等腰直角三角形，，E在上，P为的中点，交射线于F，连接．
求证：（1）
（2）．


参考答案
1．D
【分析】
由等腰三角形的等边对等角判断（1），等腰三角形的三线合一，可判断（2），（3），从而可得答案．
解：如图，为的中点，


平分
故（1）（2）（3）正确．
故选：
【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的等边对等角，三线合一是解题的关键．
2．C
【分析】
分类讨论，腰是3或者7，注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3＋3＝6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：C．
【总结升华】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，“分类讨论”是关键．
3．B
【分析】
根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．
解：∵三角形为等腰三角形，且底角为50°，
∴顶角＝180°﹣50°×2＝80°．
故选：B．
【总结升华】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，题目比较简单，理解等腰三角形两个底角相等是解题关键．
4．B
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，从而利用直角三角形两锐角互余的性质求解．
解：∵为BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠B=65°
故选：B．
【总结升华】本题考查等腰三角形三线合一性质的运用，题目比较简单，掌握等腰三角形三线合一的性质正确推理计算是解题关键．
5．C
【分析】
连接BE，与AD交于点P，连接CP，则BE的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出BE=AD=6，从而得出结论．
解：如图，连接BE，与AD交于点P，连接CP

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，BC=AC
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，根据两点之间线段最短，BE的长就是PE+PC的最小值，
∵是的中点，
∴BE⊥AC
∵S△ABC=BC·AD=AC·BE
∴BE=AD=6
即与的和最小值是6
故选：C．
【总结升华】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
6．C
【分析】
先根据已知角求出，再利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，所以，根据等腰求，所以利用外角性质可求得和的度数．
【详解】
解：∵ ，
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴ ．
故选：C
【总结升华】本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质和判定、三角形的外角性质，熟练掌握这些性质是关键，本题要注意角的和与差之间的关系．
7．C
【分析】
依据等边三角形的判定方法进行判断：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【详解】
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的判定，解题时注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．D
【分析】
根据作图过程可知是作一个角等于已知角，可得A选项正确，再根据三角形外角性质可得B和C选项正确，进而可以判断．
解：根据作图过程可知：
∠ACH=∠B，
所以A选项正确；
∵∠AHC=∠HCB+∠HBC=∠HCB+∠ACH=∠ACB，
所以B选项正确；
∵∠CHB=∠A+∠ACH=∠A+∠B，
所以C选项正确；
∵BC与BH不一定相等，
∴∠CHB与∠HCB不一定相等．
所以D选项错误．
故选：D．
【总结升华】本题考查了作图-复杂作图、作一个角等于已知角、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图．
9．A
【分析】
过点C作CG⊥AB于G，连接AF，利用等腰三角形的性质和三角形的面积公式得出CG=DF+EF=8，再利用求出答案．
【详解】
过点C作CG⊥AB于G，连接AF，
∵，AB=AC，
∴，
∴CG=DF+EF=8，
∵，
∴，
∴AB=5，
故选：A．

【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，正确理解题意是解题的关键．
10．D
【分析】
分情况讨论，以AB为腰的等腰三角形，找出所有的P点．
解；如图所示：

故选：D．
【总结升华】本题考查等腰三角形，解题的关键是利用分类讨论的思想去考虑等腰三角形的存在性问题．
11．65°或25°
【分析】
在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，分当BD在△ABC内部时和当BD在△ABC外部时两种情况讨论，画出图形求解即可．
解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-50°）=65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
【总结升华】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．能根据题意，分情况讨论画出对应图形是解题关键．
12．22cm或20cm
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为8cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：当三角形的三边是8cm，8cm，6cm时，则周长是22cm；
当三角形的三边是8cm，6cm，6cm时，则三角形的周长是20cm．
故答案为：22cm或20cm．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．12
【分析】
此题解答时可以根据正三角形的性质解答即可．
解：∵Rt△ABC纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，
∴AB＝2BC＝12，
故答案为：12．
【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，关键是熟练掌握等边三角形的边长相等．
14．50°
【分析】
由已知可以判定是三角形的底角，是顶角，是底角，根据等腰三角形等边对等角求解即可．
【详解】
∵
∴=50°
故答案为：50°
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质；有已知判断出、是三角形的底角是解答本题的关键．
15．2
【分析】
作DE⊥BC与BC相交于E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE即可．
解：作DE⊥BC与BC相交于E，

∵,
∴．
故答案为：2．
【总结升华】本题考查点到直线的距离，含30°角的直角三角形．理解点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题关键．
16．5
【分析】
利用角平分线和平行线可证得∠EBM=∠MEB，∠NCE=∠NEC，可得到BM=EM，CN=NE，可得到MN=BM+CN．
解：∵，的平分线相交于点，
∴，．
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，即．
∵，
∴．
故答案为：．
【总结升华】本题主要考查等腰三角形的判定和性质与平行线的性质，会利用平行线的性质与角平分证等腰三角形，掌握等角对等边是解题的关键．
17．
【分析】
根据三角形内角和定理可得，根据平分，可得，进而得到，所以，根据直角三角形角所对的直角边长是斜边长的一半计算即可．
【详解】
解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【总结升华】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，准确掌握直角三角形角所对的直角边长是斜边长的一半是解题的关键．
18．13
【分析】
先证明，可得： 再证明，利用勾股定理可得答案．
解： 等腰直角三角形CDE，∠DCE=90°，

∠ACB=90°，AC=BC．


在与中，






故答案为：．
【总结升华】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
19．7
【分析】
由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．即可求解．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故答案为：7．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．
20．60°
【分析】
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故答案为：60°．
【总结升华】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
21．10
【分析】
由题意，根据等角对等边得到AE=AF=3，再结合AC=AB=7，即可求出答案．
解：∵于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴AE=AF=3，
∵，
∴；
故答案为：10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，对角对等边，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到AE=AF=3．
22．（1）图中共有个等腰三角形，即；（2）见解析
【分析】
（1）由，根据三角形内角和定理，可求得，继而求得答案．
（2）根据，由三角形内角和定理可得，则根据等腰三角形的判定方法可得是等腰三角形.
（1）解：图中共有个等腰三角形，即.
理由：在中，，
∴，
∴，
∴，
∴ 是等腰三角形；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
综上所述，图中共有个等腰三角形.
（2）证明：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
【总结升华】此题考查了等腰三角形的判定以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23．
【分析】
先根据，利用三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出和的度数，再根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可求出的大小．
解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
【总结升华】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
24．（1）t=2；（2）成立，理由见解析；（3）不变，EG=3
【分析】
（1）由题意可得AD=t，则BD=6－t，BF=6+t，根据直角三角形和等边三角形的性质可得∠F=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质可得关于t的方程，解方程即可求出t；
（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定以及线段的代换可利用AAS证明△DGH≌△FGC，再根据全等三角形的性质即可推出结论；
（3）如图2，过点F作FH⊥AC于点H，根据AAS可证△ADE≌△CFH，然后根据全等三角形的性质和线段的和差可得AC=EH，再利用AAS证明△GDE≌△GFH，从而得EG=GH，进一步即可得出结论．
解：（1）由题意得：AD=t，则BD=6－t，BF=6+t，
∵DF⊥AB，△ABC是等边三角形，
∴∠BDF=90°，∠B=60°，
∴∠F=30°，
∴BF=2BD，
即，解得：t=2；
（2）始终有DG=GF成立；
理由如下：如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG，∠ADH=∠ABC，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADH=∠B=∠A=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
又∵AD=CF，
∴DH=FC，
在△DGH和△FGC中，
∵∠DHG=∠FCG，∠DGH=∠FGC，DH=FC，
∴△DGH≌△FGC（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过点F作FH⊥AC于点H．

在△ADE和△CFH中，
∵∠AED=∠FHC=90°，∠A=∠FCH=60°，AD=CF，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
∵∠DEG=∠FHG=90°，∠DGE=∠FGH，DE=FH，
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=EH=AC=3．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及30°角的直角三角形的性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
25．（1）当∠OPQ=45°时，运动时间为2秒；（2）；理由见解析．
【分析】
（1）先由运动知，OP=8-2t，OQ=2t，根据等腰直角三角形的性质即可结论；
（2）先判断出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出点M的纵横坐标相等，即可得出结论．
【详解】
（1）由题意可知，AP=2t，OQ=2t，
∵A（8，0），OA=8，
∴，
∴OP=，
在Rt△POQ中，
∵∠POQ=90°, ∠OPQ=45°，
∴∠OQP=45°
∴OP=OQ，
∴，
∴，
∴当∠OPQ=45°时，运动时间为2秒；
（2）．
理由：如图，过点M作MB⊥x轴于B，作MC⊥y轴于C，则MC=m，MB=n．
∵MB⊥x轴，MC⊥y轴，
∴∠MBP=∠MCQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠BMC=90°，

∵△PMQ是等腰直角三角形，
∴MQ=MP，∠PMQ=90°,
∴∠CMQ=∠BMP，
在△MCQ和△MBP中，
，
∴△MCQ≌△MBP（AAS），
∴MC=MB，
∴．
【总结升华】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题关键是作出辅助线，构造全等三角形解决问题，
26．．
【分析】
连接OB，延长OD交AB于点E，由题意可得OA＝OB，OE⊥AB，根据三线合一性质可求得点E坐标，可得正比例函数OE的解析式，根据A、C的坐标可得一次函数AC的解析式，联立两个函数解得x的值，进而求得点D坐标．
解：连接BO，延长OD，交AB于E，如图：

∵，OD⊥PQ，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝10，OC＝6，四边形OABC是直角梯形，
∴CB8，
∴B点坐标（8，6），
又∵A（10，0），点E是AB中点，
∴AB的中点E点坐标为（9，3），
设直线DO的解析式为：y＝ax，
即：3＝9a，
解得：a，
∴OD的表达式为：，
∵将A（10，0），C（0，6），代入一次函数y＝kx+b可列方程：
，
解得：
∴AC的表达式为：，
∵AC、OD交于点D，可得：

解得：，
∴点D的坐标为（，）．
【总结升华】本题主要考查了一次函数的综合应用及三线合一性质，根据三线合一性质确定点E坐标，联立两个函数求出交点的值是解题关键．
27．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理，即可得到结论；
（2）连接CD，FD，结合（1）中的结论，得EF=BC，利用勾股定理和等量代换，得DF=DC，结合等腰三角形的性质，即可得到结论．
【详解】
（1）∵P为的中点，
∴AP=EP，
∵，
∴∠A=∠FEP，
又∵∠APC=∠FPE，
∴∆APC≅∆FPE，
∴AC=EF；
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，ED=BD，
∵AC=EF，
∴EF=BC，
连接CD，FD，
∵∠DBC=90°，∠ACB=90°，
∴AC∥DB，
∵，
∴AC∥DB∥EF，
∴∠FED=90°，
∵ED=BD，EF=BC，
又∵，，
∴DF=DC，即∆DCF是等腰三角形，
∵CP=FP，
∴．

【总结升华】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，添加辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．