专题1.6 线段的垂直平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题1.6 线段的垂直平分线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题1.6 线段的垂直平分线（专项练习）
一、单选题
1．下列命题，正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
D．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的周长为（ ）

A．8 B．11 C．16 D．17
3．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连结AD，则∠CAD=（ ）

A．40° B．30° C．20° D．10°
4．若是△所在平面内的点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点是△三边垂直平分线的交点
B．点是△三条角平分线的交点
C．点是△三边上高的交点
D．点是△三边中线的交点
5．如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线交于点，交于点，，，则的长为(　　)

A．4 B． C． D．2
6．如图，已知，，则（ ）

A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
7．如图，已知△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB=5cm，AB=8cm，则△AOB的周长是（　　）

A．21cm B．18cm C．15cm D．13cm
8．如图，在中，垂直平分，交于点，连接，若，，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在钝角三角形ABC中，为钝角，以点B为圆心，AB长为半径面弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点下列结论错误的是

A．CE垂直平分AD B．CE平分
C．是等腰三角形 D．是等边三角形
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝13，AC＝5，则△ACD的周长为( )

A．18 B．17 C．20 D．25
11．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若,则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，A点为直线y＝x上一点，过A点作AB⊥x轴于B点，若OB＝4，E是OB边上的一点，且OE＝3，点P为线段AO上的动点，则△BEP周长的最小值为(　　)

A．4+2 B．4+ C．6 D．4
13．如图，DE、FG分别是△ABC的AB、AC边上的垂直平分线，且∠BAC=100°，那么∠DAF的度数为（　　 ）

A．10° B．20° C．30° D．40°

二、填空题
14．如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______．

15．如图，在中，的垂直平分线交的平分线于，若，，则的度数是________．

16．如图，在，，点是上一点，、分别是线段、的垂直平分线，则________．

17．如图DABC中，AB=AC=6，AC的垂直平分线DE交于E，如果DEBC的周长为10，那么DABC的周长为________．

18．如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．

19．如图，在中，，的中垂线交于点，交的延长线于点，交于点，若，，则的周长___，__度．

20．如图，在中，直线垂直平分，射线平分，且与相交于点，若，，则___°．

21．如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 ________ .

22．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若∠P1PP2＝140°，则∠NPM＝_____．

23．如图，在中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则周长的最小值是______．

24．如图，AD垂直平分BC于点D， EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE=20cm，则AB=______．

25．如图，在中，于点垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为__________．


三、解答题
26．已知：如图，在△EBC中，作∠EBA=∠C，AB交EC于点A，作BD平分∠ABC交AC于点B，F是BD上一点，联结EF，点G是EF上一点，且有GB=GD．求证：EF⊥BD．

27．如图1、图2和图3，A、B两点在直线l同侧，且点A、B所在直线与l不平行，在直线l上画出符合要求的点P（不写做法与理由，保留作图痕迹）．
（1）为最大值，在图1中的直线l上画出点的位置；
（2），在图2中的直线l上画出点的位置；
（3）为最小值，在图3中的直线l画出点的位置．

28．在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象过点，与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y＝kx交于点P，且PO＝PA，
（1）求a+b的值．
（2）求k的值．
（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE＝2EF，求D点的坐标。











参考答案
1．D
解：三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．B
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE．
∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE＝AC＋BC．
∵BC＝6，AC＝5，
∴△ACE的周长＝5＋6＝11．
故选：B．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．B
【分析】由D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点可得AD=BD,可得∠ABC=∠BAD=50°,可得∠CAD的度数.
解：由题意得：D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，
AD=BD, ∠ABC=∠BAD=50°,
∠BAC=20°, ∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°,
故选B.
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
4．A
【分析】
根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上判断即可．
解：∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△三边垂直平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定．熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．
5．B
【分析】先根据作图过程可知，DG为AC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理、线段的和差即可得．
【详解】由作图过程可知，DG为AC的垂直平分线



设，则
在中，，即
解得
即的长为
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线的判定与性质是解题关键．
6．A
【分析】根据AC＝AD，BC＝BD可得AB垂直平分CD，进而得到答案．
解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线判定的应用，能熟记线段垂直平分线判定的内容是解此题的关键，注意：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
7．B
【分析】利用垂直平分线的性质定理，即垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，通过等量代换可得.
【详解】

解：连接OC，
∵点O在线段BC和AC的垂直平分线上，
∴OB=OC,OA=OC
∴OA=OB=5cm，
∴的周长=OA+OB+AB=18（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线性质，掌握垂直平分线的性质定理为本题的关键.
8．C
【分析】根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】垂直平分

则的周长为
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解题关键．
9．D
【分析】依据作图可得，，即可得到CB是AD的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
解：由题可得，，，
是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
，，
，
即CE平分，故B选项正确；
，
是等腰三角形，故C选项正确；
与AC不一定相等，
不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定，解题时注意：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．B
【分析】根据线段垂直平分线定理，的周长.
【详解】因为，，，故，
因为垂直且平分，
，
故的周长.
故选：.
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般.
11．B
【分析】边的垂直平分线交于点，得出AE=BE，又CD为RT△ABC的中线，则AD=BD=CD，综上，根据边相等，继而得出角相等，最后根据等量关系求解．
解：∵ED为中垂线，
∴
∴，
设为，则为

列式
解得
∴
∴答案选B
【点睛】本题考察中垂线的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等相关定理．
12．C
【分析】在y轴的正半轴上截取OF＝OE＝3，连接EF，根据题意连接BF交OA于P，可知此时△BEP周长最小，最小值为BF+EB，再根据勾股定理即可求解.
【详解】在y轴的正半轴上截取OF＝OE＝3，连接EF，
∵A点为直线y＝x上一点，
∴OA垂直平分EF，
∴E、F是直线y＝x的对称点，
连接BF交OA于P，根据两点之间线段最短可知此时△BEP周长最小，最小值为BF+EB；
∵OF＝3，OB＝4，
∴BF＝＝5，
∵EB＝4﹣3＝1，
△BEP周长最小值为BF+EB＝5+1＝6．
故选：C．

【点睛】此题主要考查最短长度，解题的关键是熟知垂直平分线线的性质.
13．B
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°-100°=80°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】∵∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
∵DM、FN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴DA=DB，FA=FC，
∴∠DAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠DAF=180°-（∠DAB+∠FAC）=180°-（∠B+∠C）=20°，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
15．58°
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，可得出∠DBC=∠ECB =∠ABD，然后根据三角形内角和定理计算出∠DBC的度数，即可算出∠BEF的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵的垂直平分线交的平分线于，
∴BE=CE，
∴∠DBC=∠ECB =∠ABD，
∵，，
∴∠DBC =(180°-60°-24°)=32°，
∴∠BEF =90°-32°=58°，
故答案为：58°．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
16．
【分析】根据、分别是线段、的垂直平分线，得到BE＝DE，DF＝CF，由等腰三角形的性质得到∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，根据三角形的内角和得到∠B＋∠C＝180−∠A，根据平角的定义即可得到结论．
【详解】∵、分别是线段、的垂直平分线，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，
∵，
∴∠EDB＋∠FDC＝180−，
∴∠B＋∠C＝100，
∴∠A＝180-100=80，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
17．16
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得的长，由可求得DABC的周长.
解：∵为线段的垂直平分线
∴
∵的周长为10
∴


故答案为：16.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，灵活利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键.
18．50°
【分析】根据作法可知直线是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵由作法可知直线是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图以及三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
19．6 40
【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于AB+BC＝6，选出正确答案．
【详解】∵是AB的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴（对角相等）
∴，
∵在中，AB＝AC，
∴，
∵的周长，
∵AB+BC＝6，
∴的周长＝6．
故答案为：6；．

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行线段等量转换是解题关键．
20．
【分析】根据角平分线的定义求得，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求得，根据三角形内角和定理可得方程，解方程即可得解．
解：∵射线平分
∴
∵直线垂直平分
∴
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
21．4
【分析】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案．
【详解】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，如图，

∴AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，
∵∠MON=45°
∴∠AOA´´=90°
∴A´A´´==4（cm）
∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=4（cm）
即△ABC的周长最小值为4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．
22．100°
【分析】首先求出∠P1+∠P2＝40°证明∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，推出∠PNM+∠PMN＝2（∠P1+∠P2）＝80°，可得结论．
解：∵P点关于OA、OB的对称点为P1，P2，
∴NP＝NP2，MP＝MP1，
∴∠P2＝∠NPP2，∠P1＝∠MPP1，
∵∠P1PP2＝140°，
∴∠P1+∠P2＝40°，
∵∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，
∴∠PNM+∠PMN＝2（∠P1+∠P2）＝80°，
∴∠NPM＝180°﹣（∠PNM+∠PMN）＝100°，
故答案为：100°．
【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．10
【分析】如图（见解析），先根据三角形的周长公式可得当最小时，的周长最小，再根据垂直平分线的性质可得，从而可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为AC，由此即可得出答案．
【详解】如图，连接PC，
，
的周长为，
要使的周长最小，则需的值最小，
垂直平分BC，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线，即点P在AC边上时，取得最小值，最小值为AC，
即的最小值为，
则周长的最小值是，
故答案为：10．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
24．20cm．
【分析】先由垂直平分线性质得到BE等于AE，从而得到AC的长，再由线段的垂直平分线性质得到AB等于AC的长，即可得到结论．
解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE,
∵BE+CE=20cm，
∴AE+CE=AC=20cm，
∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC=20cm．
故答案为：20cm．
【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，性质的灵活应用是关键，特别注意答题要带单位．
25．．
【分析】根据三角形的面积公式即可得到AD=8，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论．
解：于点

垂直平分
点到两点的距离相等
的长度的最小值
即的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．【分析】先利用三角形外角的性质和角平分线的定义得出，从而得出，再根据GB=GD可得E、G在BD的垂直平分线上，从而可得结论．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵GB=GD，
∴E、G在BD的垂直平分线上，即EF⊥BD．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，等角对等边．理解到线段两端距离相等的点到线段的垂直平分线上是解题关键．
27．（1）的位置见解析；（2）的位置见解析；（3）的位置见解析．
【分析】
（1）根据三角形两边之差小于第三边可得，且当P在AB的延长线上时等号成立，由此可得点的位置；
（2）根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，作AB的垂直平分线与l的交点即为点的位置；
（3）作B点关于直线l的对称点，连接与l的交点即为点的位置，原理是两点之间线段最短和轴对称的性质．
解：（1）如图，点的位置如下；
（2）如图，点的位置如下；
（3）如图，点的位置如下．

【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，涉及的知识点有三角形三边关系、垂直平分线的性质和轴对称——最短路径问题．掌握相关定理，能正确分析是解题关键．
28．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）把A、B的坐标值代入一次函数y＝ax+b，列出二元一次方程组求出、的值，代入a+b计算得出答案即可．
（2）已知PO＝PA，运用中垂线判定定理可得出点P的横坐标，将点P的横坐标代入y＝ax+b得出点P的纵坐标，将点P坐标值代入y＝kx进而求出k的值．
（3）设点D横坐标为x，可得DE等于一次函数值减正比例函数值，即ax+b－kx，EF＝kx，根据题意可列等式，计算求出点D的坐标即可．
解：（1）∵把A、B的坐标值代入一次函数y＝ax+b，可列二元一次方程组：
，
解得：，
∴．
（2）PG垂直x轴于点G，如图：

∵PO＝PA，
∴点P在OA垂直平分线上，
∵OA＝4,
∴OG＝2，
∵把x＝2代入一次函数，
∴，
∴点P坐标为（2，1），
把点P的坐标值代入正比例函数，
即：，
∴．
（3）设点D横坐标为x，
∵DE＝ax+b－kx，
∴，
∵，
∵DE＝2EF，即：，
∴解得：x＝1，
∴
∴点D坐标为（1，）．
【点睛】
本题主要考查了求一次函数解析式及一次函数的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．