专题1.12 《三角形的证明》专题练习（基础篇）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题1.12 《三角形的证明》专题练习（基础篇）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.12 《三角形的证明》专题练习（基础篇）一、单选题1．如果一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为5cm，那么腰长为（   ）A．5cm B．6cm C．7cm D．5cm或6cm2．如图，DE是AC的垂直平分线，CE=5，△BDC的周长为15，则△ABC的周长是（　　　）A．15 B．20 C．25 D．303．如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/时的速度向正北航行，11时到达处，从、两点望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离为（    ）．A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．45海里4．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（   ）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，135．如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，且∠DAE＝20°，则∠BAC＝（　　）A．100° B．120° C．150° D．160°6．如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ）．A．55° B．65° C．75° D．45°7．到三角形三边距离相等的点是（　　）A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点8．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为，则底边长为（    ）A．16cm B．4cm C．4cm或24cm D．16cm或4cm9．如果用，a、b、c表示的三边，那么分别满足下列条件的三角形中，直角三角形有（    ）①b2＝c2﹣a2；②a：b：c＝3：4：5；③∠C＝∠A﹣∠B；④∠A：∠B：∠C＝12：13：15A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在中，，BD是角平分线，若，，则点到的距离是（　　　）
 A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm11．如图所示，，均为正三角形，连接，交于点，与交于点，与交于点，则下面结论错误的是（    ）A． B． C． D．12．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）A．3 B．2 C．1 D．13．一副直角三角板如图放置，点A在延长线上，已知：，，那么的度数为（    ）A． B． C． D．14．已知实数a，b为的两边，且满足，第三边，则第三边c上的高的值是   A． B． C． D．15．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB＝AC＝BD，则图中∠1 与∠2 的关系是（    ）A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180° D．3∠2﹣∠1＝180°  二、填空题16．如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为____________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．若BC=28，则BD的长为____．18．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝_____°．19．如图，为直角三角形，，于点，与相等的角是__________．20．若等腰三角形的一个内角为，则其底角为________．21．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，则可判定AB=AC的依据是________；22．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则这个等腰三角形的底角度数是____________．23．如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠A=90°，AD=6，∠ABD=∠CBD．若BC=13，则S△DBC=_______．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C=________°.25．若等边的边长为，那么的面积为______． 三、解答题26．如图，在直角中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．27．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、并且相交于点．求证：（1）；（2）．28．如图，AD是的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．求证：．若，求AB的长．
参考答案1．D【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边长或5cm是等腰三角形的腰长，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17−5）÷2＝6（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17−5×2＝7（cm），能够组成三角形．故该等腰三角形的腰长为：6cm或5cm．故选：D．2．C【分析】由DE是AC的垂直平分线， 可得：， ，再利用线段的和差与三角形的周长公式可得答案．解： DE是AC的垂直平分线， 故选：3．D【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，11时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC=42°，∠NBC=84°，可得∠C=∠NAC，即可证得BC=AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．解：根据题意得：AB=3×15=45（海里），∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=45（海里）．即从海岛B到灯塔C的距离是45海里．故选：D．4．D【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．解：A：3+4=25≠8，不能组成直角三角形，不符合题意；B：5+6=61≠10，不能组成直角三角形，不符合题意；C：5+5=50≠11，不能组成直角三角形，不符合题意；D：5+12=169≠13，可以组成直角三角形，符合题意．故选：D．5．A【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，得到∠B＝∠DAB和∠C＝∠EAC，根据三角形内角和定理计算得到答案．解：∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB，同理∠C＝∠EAC，∵∠B＋∠DAB＋∠C＋∠EAC＋∠DAE＝180°，∴∠DAB＋∠EAC＝80°，∴∠BAC＝100°，故选：A．6．B【分析】首先根据三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B=25°，∴∠BAD=65°，故选：B．7．C【分析】根据角平分线的判定定理可得：到三角形三边距离相等的点应在三角形三个内角的角平分线上，即可得出结论．解：如图，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，∴点O在∠A的平分线上，同理可证：点O在∠B的平分线上，点O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选：C．8．B【分析】题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去．解：因为两边长之比为4:1，所以设较短一边为z则另一边为4z ，(1)假设 z 为底边，4z为腰；则8z+z=36,4即底边为4；(2)假设 z 为腰，4z为底边，则2z+4z=36，z=6，4z=24；6+6<24， 该假设不成立，所以等腰三角形的底边为4cm．故选 B．9．C【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．解：①b2＝c2﹣a2，可以变形为b2+a2＝c2，是直角三角形；②∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3x，b＝4x，c＝5x，∵（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴a2+b2＝c2，∴是直角三角形；③∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∵∠C+∠B+∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形；④∵∠A：∠B：∠C＝12：13：15，∴设∠A＝×180°≠90°∴不是直角三角形；则直角三角形有3个，故选：C．10．C【分析】过D点作DE⊥AB，根据角平分线的性质解答即可．解： ∵，，∴CD＝10×＝4cm，∵BD是角平分线，∠C＝90°，过D点作DE⊥AB，∴点D到AB的距离DE=CD＝4cm，故选：C．
 11．B【分析】由等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质分别对各项进行分析即可．解：，均为正三角形，，故A正确；在与中，，故B错误；，故C正确；，故D正确，故选：B．12．C【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠POB=15°，∵OD=DP=2，∴∠OPD=∠POB=15°，∴∠PDE=30°，∴PE=PD=1，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，∴PC=PE=1，故选：C．13．A【分析】根据直角三角形的性质求出∠DFE=60°，结合平行线的性质得∠CBF=∠DFE=60°，结合∠ABC=45°，即可求解．解：∵，∴∠DFE=60°，∵，∴∠CBF=∠DFE=60°，∵∴∠ABC=45°，∴=60°-45°=15°．故选：A14．D【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理及三角形面积的运算，首先根据非负性的性质得出a、b的值是解题的关键，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再根据三角形的面积得出c边上高即可．解：整理得，，所以，解得；因为，，所以，所以是直角三角形，，设第三边c上的高的值是h，则的面积，所以．故选：D．15．D【分析】根据三角形外角的性质得，再根据等腰三角形的性质得，，由即可得出与的关系．解：∵是的外角，∴，∴∠C=∠2-∠1，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角．16．5cm【分析】由题意可得∠ACD的度数为，利用含角的直角三角形的性质可求解：，，，，故答案为：5cm17．14【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，再由“三线合一”性质求解即可．解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC，∴根据“三线合一”知，BD=BC=14，故答案为：14．18．【分析】由等腰三角形的性质先求解，再求解，再利用三线合一的性质求解即可得到答案．解： AB＝AC，∠B＝30°， AB＝AC，AD是△ABC的中线，平分， 故答案为：19．∠B【分析】根据直角三角形的两个锐角互余及余角的性质可以得出答案．解：∵为直角三角形，，∴，∵于点，∴，∴．故答案为：∠B．20．40【分析】因为三角形的内角和为180°，所以100°只能为顶角，从而可求出底角．解：由题意100°＞90°∴100°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．
故答案为：40．21．等角对等边．【分析】此题根据等腰三角形的判定进行解答即可．解：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．故答案为：等角对等边．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意此定理应用的前提是：在一个三角形中，等角对等边．22．65°或25°【分析】在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，分当BD在△ABC内部时和当BD在△ABC外部时两种情况讨论，画出图形求解即可．解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD为腰AC上的高，∠ABD=40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-50°）=65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
而∠BAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠BAD=25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．故答案为：65°或25°．23．【分析】作DP⊥BC于P，因为，根据角平分线的性质定理得到，再利用三角形面积公式解答即可．解：作DP⊥BC于P，∵，，∴，又∵，∴．故答案为：39．24．23°【分析】设∠C的度数为x，由AB=AC可知∠EAB=2x，根据垂直平分线性质可知∠EBA=∠EAB=2x，∠CBE=∠EBA +∠ABC，即可求解.解：设∠C的度数为x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x，∵ED为线段AB的垂直平分线，∴∠EBA=∠EAB=2x，∵∠CBE的度数为69°，∴2x+x=69°，∴∠C=x=23°.25．．【分析】过顶点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出BC上的高，再利用三角形面积公式求解可得答案．解：如图，过顶点A作AD⊥BC于D，在等边中，AB=BC=2，BD=，，△ABC=．故答案为：． 26．【分析】根据平分，得到，根据垂直平分，求证，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数．解：平分，，又垂直平分，，，，，，，，即，．27．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，代入求出即可．证明：（1）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AC=AE，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°．28．（1）见解析；（2）【分析】（1）证明≌，得出，证出，得出，即可得出结论；（2）由（1）知，可得出，所以．解：（1）
是AD的中垂线，，在和中，≌，，是的高，，，（2）由（1）得：，，又，，，．