专题2.9 实际问题与一元一次不等式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题2.9  实际问题与一元一次不等式（知识讲解）

【学习目标】

1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；

2. 熟悉常见一些应用题中的数量关系．

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系

1.行程问题：路程＝速度×时间

2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量

3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 

4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 

5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.

要点二、列不等式解决实际问题

列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：

    (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；

    (2)设：设出适当的未知数；

    (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；

    (4)解：解所列的不等式；

    (5)答：写出答案，并检验是否符合题意．

  要点诠释：

(1)列不等式的关键在于确定不等关系；

(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；

(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．

（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如：若“设还需要B型车x辆 ”，而在答中应为“至少需要11辆 B型车 ”．这一点应十分注意．

【典型例题】

类型一、行程问题

1.油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车．某品牌油电混动汽车售价是16.48万元，百公里燃油成本20元；同一品牌的普通汽车售价16万元，百公里燃油成本50元．问至少行驶多少公里油电混动汽车的总成本不高于普通汽车的总成本？

【答案】行驶的公里数至少为16000公里．

【分析】设行驶的公里数为x公里，根据题意列出不等式即可得出答案．

解：设行驶的公里数为x公里，

根据题意得：

164800＋x≤160000＋x，

解得：x≥16000．

答：行驶的公里数至少为16000公里．

【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

类型二、工程问题

2.计划对河道进行改造，现有甲乙两个工程队参加改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天，则可以完成米施工任务：若甲工程队先单独施工天，再由乙工程对单独施工天，则可以完成米的施工任务．

（1）求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？

（2）该河道全长米，若两队合作工期不能超过天，乙工程队至少施工多少天？

【答案】（1）甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；（2）乙工程队至少施工天

【分析】

（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据等量关系列出二元一次方程组，即可求解；

（2）设乙工程队施工a天，根据不等量关系，列出一元一次不等式，即可求解．

解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，

根据题意得：，解得：，

答：甲工程队每天能完成施工任务米，乙工程队每天能完成施工任务米；

（2）设乙工程队施工a天，

根据题意得：80a+50（90-a）≥6000，

解得：a≥50，

答：乙工程队至少施工天

【总结升华】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，找出等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式，是解题的关键．

 举一反三：

【变式】 某工厂计划m天生产2160个零件，安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数）恰好完成．

（1）直接写出a与m的数量关系：　   　；

（2）若原计划16天完成生产任务，但实际开工6天后，有3名工人外出参加培训，如果剩下的工人要在规定时间里完成这批零件生产任务，每人每天至少要多加工多少个零件？

【答案】（1）a＝；（2）3个

【分析】

（1）根据工作总量=参加工作的人数×人均工作效率×工作时间，即可得出a与m的数量关系；
（2）将m=16代入a=中求出a的值，设每人每天多加工x个零件，根据要在规定时间里完成这批零件生产任务，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中最小整数值即可得出结论．

【详解】

（1）依题意得：15am＝2160，

∴a＝，即a＝．

故答案为：a＝．

（2）当m＝16时，a＝＝9．

设每人每天多加工x个零件，

依题意得：15×9×6＋（15﹣3）×（16﹣6）×（9＋x）≥2160，

解得：x≥，

又∵x为正整数，

∴x的最小值为3．

答：每人每天至少要多加工3个零件．

【总结升华】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出a，m之间的数量关系；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

类型三、几何问题

3．如图，已知是线段上两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C构成，设，若为直角三角形，则x的值为___________．

【答案】或

【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．

解：∵在△ABC中，AC=2，AB=x，BC=6-x．
∴，
解得2＜x＜4；
①若AC为斜边，则4=x2+（6-x）2，即x2-3x+4=0，无解，
②若AB为斜边，则x2=（6-x）2+4，解得x=，满足2＜x＜4，
③若BC为斜边，则（6-x）2=4+x2，解得x=，满足2＜x＜4，
故x的值为：或．
故答案为：或．

【总结升华】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键．

类型四、方案选择

4.工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B 种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克.则安排A、B两种产品的生产件数有几种方案？

【答案】有3种方案.

【分析】

设A种产x件，B种产品(50-x)件，根据题意列出不等式组，解不等式组求出x值，从而得出方案数．

【详解】

解：设A种产x件，B种产品(50-x)件

因为x为整数

所以x=30，31，32

所以有3种方案

方案1，A产品30件，B产品20件；

方案2，A产品31件，B产品19件；

方案3，A产品32件，B产品18件．

答：有3种方案．

【总结升华】本题考察一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语及所求的量的等量关系．

【变式】某商店需要购进A型、B型两种节能台灯共160盏，其进价和售价如下表所示．

（1）若商店计划销售完这批台灯后能获利1100元，问A型、B型两种节能台灯应分别购进多少盏（注：获利=售价-进价）？

（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批台灯后获利多于1260元，请问有哪几种进货方案？并直接写出其中获利最大的进货方案．

【答案】（1）A型台灯购进100盏，B型台灯购进60盏；（2）有两种购货方案，方案一：A型台灯购进66盏，B型台灯购进94盏；方案二：A型台灯购进67盏，B型台灯购进93盏．其中获利最大的是方案一．

【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组求解；
（2）根据题意列出一元一次方程组求解 ．

【详解】

（1）设分别购进A型、B型台灯x盏、y盏，根据题意，得

解得：

答：A型台灯购进100盏，B型台灯购进60盏．

（2）设购进a盏A型台灯，则购进盏B型台灯，根据题意，得

解之，得．

∵a为非负整数，∴a取66，67．

∴相应取94，93．

∵当a=66时，5×66+10×94=1270（元），

当a=67时，5×67+10×93=1265（元），

∴方案一获利最大，

答：有两种购货方案，方案一：A型台灯购进66盏，B型台灯购进94盏；方案二：A型台灯购进67盏，B型台灯购进93盏．其中获利最大的是方案一．

【总结升华】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的综合运用，在正确理解题意的基础上列出适合的二元一次方程组与一元一次不等式求解是解题关键．