专题4.1 因式分解-提取公因式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题4.1  因式分解-提取公因式（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；

2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.

【要点梳理】

 要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

         （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

         （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

         （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

         （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

要点三、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即 .

　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

类型一、因式分解的概念

1、 （2012·浙江杭州市·七年级期中）下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．

【分析】

（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；

（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；

（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；

（4）根据因式分解的定义即可得；

（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．

【详解】

因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解

（1）不是因式分解，因为是和的形式；

（2）不是因式分解，因为是和的形式；

（3）不是因式分解，因为是单项式；

（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；

（5）不是因式分解，因为中的不是整式．

【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．

举一反三：

【变式】 （2018·全国七年级课时练习）判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．

(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；         (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；

(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；            (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；

(5)x2＋x＝x2(1+)；                 (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．

【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．

【解析】

【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.

【详解】

(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．

 (2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．

【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．

类型二、提公因式法分解因式 

2、（2020·广西钦州市高新区实验学校八年级月考）把下列各式因式分解：

（1）            （2）

【答案】（1）；（2）；

【分析】

（1） 提取公因式，即可得到答案；

（2）先把原式化为：，再提取公因式，即可得到答案；

解：（1）

（2）

举一反三：

【变式】 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）

【答案】

【分析】提取公因式法分解因式，寻找相同的公因式即可．

 原式

【点拨】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握寻找公因式的方法是解题的关键．

 类型三、提公因式法分解因式的应用 

5、 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）先分解因式，再求值：，其中．

【答案】，48

【分析】先将原式变形，再提取公因式，整理即可．

 解：

；

当时，原式

．

【点拨】本题考查了提取公因式法分解因式及代入求值，正确确定公因式是解题关键．

举一反三：

【变式】（2021·河南·八年级期末）已知，，则的值为（  ）

A． B．12 C． D．6

【答案】B

【分析】把因式分解，再整体代入即可．

解：，

∵，，

原式==12，

故选：B．

【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，先把多项式因式分解，再整体代入是解题关键．