专题4.9 因式分解-分组分解法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题4.9  因式分解-分组分解法（知识讲解）

【学习目标】

1、认识分组分解法的基本类型一三分组法和二四分组法；

2、能进行基本的分组分解法。

【要点梳理】

 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：

 【典型例题】

类型一、分组分解法 

1．（2021·山东日照市·八年级期末）先阅读下列材料，再解答问题：

常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式和．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.

解答过程如下：

这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．

利用上述思想方法，把下列各式分解因式：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；

（2）原式分成和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式继续分解即可．

 解：（1）

；

（2）

．

【点拨】本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．

举一反三：

【变式1】（2021·上海宝山区·七年级期末）分解因式：

【答案】

【分析】先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．

解：

=

=

=

=．

【点拨】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．

举一反三：

【变式2】（2020·上海宝山区·七年级期末）分解因式：

【答案】

【分析】

利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．

 解：

=

=

=

=

【点拨】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式和平方差公式因式分解是解题关键．

类型二、分组分解法综合练习 

2．（2019·四川外国语大学附属外国语学校八年级期中）因式分解：

(1)

(2)

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，利用分组分解法进行分解即可；

（2）把前两项放在一起，后两项放在一起，然后分别提取公因式，利用分组分解法进行即可．

解：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=．

【点拨】本题考查了利用分组分解法进行因式分解，正确进行分组是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·全国八年级课时练习）请分解下列因式．

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）

【分析】

（1）用分组分解法，第一二项一组，第三四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；

（2）用分组分解法，第一二项一组，第三四项一组，分别提取公因式后，再提公因式即可分解；

（3）先分组为，再分别用完全平方公式及提公因式法分解，最后用完全平方公式分解即可；

（4）用分组分解法，前三项一组，后三项一组，第一组提取公因式后，再提公因式即可分解，最后用立方差公式分角即可；

（5）先把第二项乘出来，再分组为，用提公因式法和完全平方公式分解即可；

（6）把k看作常数，用十字相乘法分解即可；

（7）先拆项整理分组为，再用完全平方公式分别分解，最后用平方差公式分解即可；

（8）先拆项整理分组为，再用提公因式分别分解，再提公因式，最后用平方差公式和十字相乘法分解即可.

解：（1）

=

=

（2）

=

=

=

=

=

（3）

=

=

=

（4）原式

=

（5）

=

=

=

=

=

（6）原式

（7）原式

=

=

=

（8）原式=

=

=

=

【点拨】本题考查了因式分解的各种方法，提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，分组分解是难点.注意分解要彻底.

类型三、分组分解法的应用

3（2019·福建省惠安科山中学八年级期中）阅读材料：若，求、的值．

解：∵，

∴

∴，

∴

∴．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知，求的值；

（2）已知△ABC的三边长、、都是正整数，且满足，求△ABC边的最大值．

【答案】（1）-4；（2）8

【分析】

（1）通过阅读材料，学会用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性质来解即可，

（2）用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性质来求出的值，利用三边关系求满足条件的最大整数即可．

 解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

（2）∵，

∴，

∴，

∴，，

∵是的三边，

∴，

∴又∵为正整数，

∴的最大值为8．

【点拨】本题考查阅读理解与应用解题问题，关键是从阅读中学会分组的方法，会用公式边非负数的和，会解非负数和的方程，会用三角形三边关系取值．

4.（2020·景泰县第四中学八年级期末）阅读材料

对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．

请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．

【答案】（1）；（2）的最小值为2018．

【分析】

（1）根据配方法和平方差公式，即可分解因式；

（2）根据配方法，把原式化为，进而即可求解．

解：（1）原式

；

（2）原式

，

，

∴的最小值为2018．

【点拨】本题主要考查分解因式以及求代数式的最值，掌握配方法和平方差公式是解题的关键．