专题5.3 分式的基本性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

这是一份专题5.3 分式的基本性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案，共8页。学案主要包含了知识回顾，学习目标，要点整理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
专题5.3  分式的基本性质（知识讲解） 【知识回顾】分式概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母；【学习目标】1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算；2．理解并掌握分式变号的法则；3．理解并掌握分式的约分、最简分式；4．对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。【要点整理】要点一、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特别说明（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点二、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.特别说明：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点三、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.特别说明：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点四、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.特别说明：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、最简分式 1、（2020·全国七年级专题练习）给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有______（填写出所有符合要求的分式的序号）．【答案】①②．【解析】①，最简分式，符合题意；②，最简分式；③= ，故③不是最简分式，故不符合题意，故答案为①②.举一反三：【变式】  （2020·德惠市第三中学八年级月考）在分式，，，中，最简分式有__________个．【答案】2【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】其中的是整式，∵，∴不是最简分式，∴最简分式有2个；故答案为：2.【点拨】此题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意类型二、分式的变形2、（2020·全国七年级专题练习）分式变形中的整式A=_____，变形的依据是_____．【答案】x2﹣2x,    分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．    【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x．解：∵x2-4=（x+2）（x-2），∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x，依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变.【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质.举一反三：【变式】（2019·北京市昌平区十三陵中学八年级期中）在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立： _______;__________【答案】4axy    x＋y．    【分析】分式的变形的依据是分式的基本性质：在分式的分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．要看题目中的空填的式子，就要看从前面的分式到后面的分式是如何变化的．解：第一个式子：由xy变成2ax2y2，是乘以2axy，分子也应进行相同的变化，乘以2axy，则这个空中应填2×2axy＝4axy；同理，第二个：分子除以x−y，则分母是：（x3−xy2）÷（x−y）＝x（x2−y2）÷（x−y）=x（x＋y）．故答案为4axy，x＋y．【点拨】本题依据的是分式的基本性质，分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．类型三、分式变形的条件3、（2020·湖南岳阳市·八年级期中）等式成立的条件是____________．【答案】x≠2【分析】根据分母不为0得出结论．解：∵等式成立，∴=0，∴且．故答案为：且【点拨】考查了分式有意义的条件．解题关键是得出分母不能为0．举一反三：【变式1】（2020·全国八年级课时练习）当分式与分式的值相等时，需满足__________．【答案】x≠±1【分析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求．解:因而两式相等的条件是两个分式都有意义．∴x2-1≠0，∴x≠±1．故答案是: x≠±1．【点拨】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0．【变式2】（2020·北京汇文中学八年级期中）下面是小军同学计算的过程．＝……………………………………………………………………[1]＝……………………………………………………[2]＝…………………………………………………………………………[3]＝…………………………………………………………………………[4]＝…………………………………………………………………………[5]其中运算步骤[2]为：_____________，该步骤的依据是__________．【答案】通分    分式的基本性质    【分析】根据分式的基本性质即可解答．解：运算步骤[2]为：通分，该步骤的依据是分式的基本性质，故答案为：通分，分式的基本性质．【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．类型四、使用分式的基本性质求值4、（2019·河北邢台市·八年级期末）已知的值为4，若分式中的、均扩大2倍，则的值为__________．【答案】8【分析】首先把分式中的x、y均扩大2倍，然后约分化简，进而可得答案．解：分式中的x、y均扩大2倍得：=2×4=8，
故答案为：8．【点拨】本题考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．举一反三：【变式】（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）已知，则分式的值为______．【答案】【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．解：∵，∴x-y=4xy，∴原式=，故答案为： ．【点拨】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．类型五、分式的恒等变形5、（2020·全国七年级专题练习）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立： ．_____【答案】a2+ab【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．解：．
故答案为a2+ab．【点拨】本题考查了分式的基本性质，正确通分是解题的关键．举一反三：【变式1】（2019·山东八年级课时练习）不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=________【答案】【解析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.解： 故答案为.【点拨】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.举一反三：【变式2】（2019·四川达州市·八年级期末）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．【答案】【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：原式＝＝，故答案为：【点拨】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键．