专题5.16 《分式与分式方程》基础篇（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.16  《分式与分式方程》基础篇（专项练习）

一、单选题

1．（2019·全国八年级单元测试）使分式无意义的x的值是（    ）

A．x= B．x= C．x≠﹣ D．x≠

2．（2018·浙江金华市·七年级期中）下列各式：（1– x），，，，其中分式有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2018·安徽中考模拟）计算的结果是（    ）.

A． B．

C． D．

4．（2020·湖北武汉市·九年级零模）若分式有意义，则x的取值范围是　　

A． B． C． D．

5．（2018·全国八年级单元测试）已知x≠0，y≠0，对下列各个分式的约分，正确的是(  )

A． B． C． D．

6．（2019·四川省遂宁市第二中学校八年级期中）分式，，的最简公分母为（     ）

A． B．

C． D．

7．（2019·全国八年级单元测试）下列式子中,不属于分式的是

A． B． C． D．

8．（2019·丰宁满族自治县黄旗中学八年级月考）下列各式是最简分式的是（    ）

A．  B． C．  D．

9．（2019·广东深圳市·深圳第三高中八年级期中）分式方程有增根，则的值为　　

A．0和3 B．1 C．1和 D．3

10．（2016·山西九年级专题练习）将分式方程=去分母后得到的整式方程，正确的是（    ）

A．x﹣2=2x B．x2﹣2x=2x C．x﹣2=x D．x=2x﹣4

11．（2019·河南八年级月考）一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲乙两人合作一天的工作量是（    ）

A．a+b B． C． D．

12．（2019·全国八年级单元测试）要使分式没有意义,则x的值为

A．2 B．-1或3 C．-1 D．3

13．（2020·陕西宝鸡市·八年级期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（      ）

A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．不变 D．缩小2倍

14．（2020·重庆市渝北中学校八年级月考）熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木，熊二便匀速跑过去阻止，2分钟后熊大以熊二1.2倍的速度跑过去，结果它们同时到达，如果设熊二的速度为x米/分钟，那么可列方程为(     ).

A． B．

C． D．

15．（2020·成都市棕北中学九年级月考）若方程的根是正数，则的取值范围是(    )

A． B． C．且 D．

16．（2021·江苏九年级专题练习）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ）

A．8 B．10 C．16 D．18

17．（2021·山东日照市·八年级期末）已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（　　　）

A． B． C．且 D．且

二、填空题

18．（2019·全国八年级单元测试）观察下列分式:-,-,-,…,根据你的发现,它的第8项是_____________.

19．（2019·全国八年级单元测试）已知x2-2=0,则代数式=_____.

20．（2019·丰宁满族自治县黄旗中学八年级月考）分式的最简公分母为 ____________.

21．（2019·全国八年级单元测试）如果=2，则的值为__________ .

22．（2019·全国八年级单元测试）若非0有理数a使得关于的分式方程无解，则____．

23．（2019·全国八年级单元测试）某商店销售一种衬衫，四月份的营业额为5 000元，为扩大销售，五月份将每件衬衫按原价的8折销售，销售量比四月份增加了40件，营业额比四月份增加了600元，求四月份每件衬衫的售价．解决这个问题时，若设四月份的每件衬衫的售价为x元，由题意可列方程为_______．

24．（2019·全国八年级单元测试）若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a＝________.

25．（2018·辽宁朝阳市·八年级期末）若方程的解是正数，则m的取值范围_____．

三、解答题

26．（2020·福建龙岩市·九年级一模）先化简,后求值:,其中a=+1.

27．（2019·临淄区金山中学八年级期中）先化简:,再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.

28．（2019·全国八年级单元测试）解下列方程：

(1)＝＋1；                      (2)＋＝－1.

29．（2019·辽宁阜新市·九年级一模）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

30．（2019·全国八年级单元测试）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？花店第一批所购鲜花多少盒？

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：根据题意2x﹣1=0，解得x=．故选B．

【考点】分式有意义的条件．

2．A

【解析】

是分式；

（1– x），，是整式；

故选A.

点拨：本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．

3．A

【解析】

故选A

4．B

【解析】

分析：根据分母不为零，即求解即可.

详解：由题意得，

，

∴x≠.

故选B.

点拨：本题考查了分式有意义的条件，熟记分母≠0时分式有意义是解答本题的关键.

5．C

【解析】

【分析】

根据分式的基本性质, 找到分式的分子, 分母的公因式, 进行约分, 对四个选项依次判断即可.

【详解】

解: A、错误, 应为；

B、错误, 应为；

C、正确;

D 、不能再约分, 错误.

故选C.

【点拨】

本题考查了分式的约分, 解题的关键是熟悉分式的基本性质, 分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的数或因式, 分式仍成立.本题属于基础题.

6．D

【分析】

根据进行判断即可.

【详解】

解：由题意可知:a+b、a2- b 2、b-a的最简公分母为(a-b)(a+b)=a2- b 2.

故本题正确答案为D.

【点拨】

本题主要考查最简公分母的定义.通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母, 这样的公分母叫做最简公分母.

7．C

【分析】

根据分式的定义分析即可.

【详解】

A、B、D中的分母都含有字母，是分式；C中的分母含有圆周率π，π是常数，故C不是分式.

故选C.

【点拨】

本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．

8．C

【解析】

【分析】

根据最简分式的定义即可判断.

【详解】

A. 还有公因式4，不是最简分式；    

B. 还有公因式a，不是最简分式；   

C. 没有公因式，是最简分式；    

D. =还有公因式，不是最简分式；

故选C.

【点拨】

此题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式.

9．D

【分析】

等式两边同乘以最简公分母后，化简为一元一次方程，因为有增根可能为x1=1或x2=﹣2分别打入一元一次方程后求出m，再验证m取该值时是否有根即可.

【详解】

∵分式方程-1=有增根，

∴x﹣1=0，x+2=0，

∴x1=1，x2=﹣2．

两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，

整理得，m=x+2，

当x=1时，m=1+2=3；

当x=﹣2时，m=﹣2+2=0，

当m=0，方程无解，

∴m=3．

故选D．

10．A

【详解】

【分析】分式方程两边乘以最简公分母x（x-2）即可得到结果．

【详解】两边同时乘以x（x-2），得

x-2=2x，

故选A.

【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

11．D

【分析】

甲、乙合做一天的工作量=甲一天的工作量+乙一天的工作量，把相关数值代入即可．

【详解】

∵一项工程，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，

∴甲一天的工作量为,乙一天的工作量为，

∴甲、乙合作,一天可以完成的工作量为+.

故答案选D.

【点拨】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用.

12．B

【解析】

【分析】

根据当分母等于零时分式无意义求解即可.

【详解】

由题意得

(x+1)(x-3)=0，

解之得

x=-1或x=3.

故选B.

【点拨】

本题考查了分式有无意义的条件，当分母等于零时，分式无意义；当分母不等于零时，分式有意义.

13．C

【解析】

【分析】

分式中的x和y都扩大2倍变为一个新的分式再进行约分，比较与原分式的大小变化即可.

【详解】

分式中的x和y都扩大2倍变为==,所以大小不变，选C.

【点拨】

此题主要考查分式的性质，解题的关键是对分式进行正确的约分判断.

14．C

【分析】

设熊二的速度为x米/分钟，则熊大的速度为1.2x米/分钟，根据题意可得走过300米，熊大比熊二少用2分钟，列方程即可．

【详解】

解：设熊二的速度为x米/分钟，则熊大的速度为1.2x米/分钟，

根据题意可得：，

故选C．

【点拨】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．

15．A

【分析】

先求出分式方程的解，得出，求出的范围，再根据分式方程有解得出，，求出，，即可得出答案．

【详解】

解：方程两边都乘以得：，

，

，

，

方程的根为正数，

，

解得：，

又∵，，

∴，，

即的取值范围是，

故选：A．

【点拨】

本题考查了分式方程解的应用，关键是求出和得出，，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．

16．C

【分析】

先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案．

【详解】

解：

由①得：，

∴，

由②得：，

∴，

∵关于x的不等式组无解，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵关于y的分式方程有非负整数解，

∴，

∴，

∵为整数，

∴或或或或．

∴．

故选：C．

【点拨】

本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件．

17．C

【分析】

先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．

【详解】

解：，

方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，

去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，

移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，

∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，

∴，

解得a≥1且a≠2．

故选：C．

【点拨】

本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．

18．

【解析】

【分析】

根据所给代数式探索出分子、分母及符号变与不变的规律，根据规律求解即可.

【详解】

∵第1项，

第2项，

第3项，

第4项，

…

∴第n项，

∴第8项，

故答案为：.

【点拨】

本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．

19．1

【分析】

先把所给代数式化简，然后把x2=2代入进一步化简即可.

【详解】

=

=

=，

∵x2-2=0,

∴x2=2,

∴原式=

=

=

=1.

故答案为1

【点拨】

本题考查了分式的计算和化简.解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分.

20．abx2

【解析】

【分析】

根据找最简公分母的方法直接写出即可.

【详解】

分式的最简公分母为abx2.

【点拨】

此题主要考查最简公分母的定义，解题的关键是依次找出各式的公分母.

21．

【解析】

【分析】

由=2，可得a=2b，代入即可求得.

【详解】

∵=2，

∴a=2b，

∴===

【点拨】

此题主要考查分式的化简，解题的关键是将已知条件变形再代入所求.

22．－1

【解析】

试题解析：首先去分母可得：

解得： 因为方程无解，

所以或2，

即或，解得：或

因为为非零实数，所以

故答案为

23．=40

【解析】

设四月份的每件衬衫的售价为x元, 则五月份的每件衬衫的售价为80%x元, 五月份的营业额为(5000+600)元,依据“销售量比四月份增加了40件”可得=40.

故答案为:=40

点拨: 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．

24．1

【解析】

【分析】

按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，既然无解，所以x应该是能令最简公分母为0的值，代入即可解答a．

【详解】

原方程化为整式方程得：1-x-3=a，

整理得x=-2-a，

因为无解，所以x+3=0，

即x=-3，

所以a=-2+3=1．

故答案为：1

【点拨】

分式方程无解的可能为：整式方程本身无解，但当整式方程的未知数的系数为一常数时，不存在整式方程无解；分式方程产生增根．

25．m＞-2且m≠0

【解析】

分析：本题解出分式方程的解，根据题意解为正数并且解不能等于2，列出关于m的取值范围.

解析：解方程 解为正数，∴ 且m≠0.

故答案为m＞-2且m≠0

26．，

【解析】

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值.

【详解】

原式=.

当a=+1时,原式=.

【点拨】

本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

27．1

【分析】

先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后把分子、分母分解因式约分化简，再从-1，0，1中选取一个使分式有意义的数代入计算即可.

【详解】

解:原式==-,

其中a≠1且a≠-1,

∴a只能取0.

当a=0时,原式=1.

【点拨】

本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意所取数字要使分式有意义．

28．（1）x＝1；（2）x＝.

【解析】

【分析】

各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

（1）方程两边同乘(2x＋1)，得4＝x＋2x＋1，

解得x＝1.

检验：把x＝1代入2x＋1＝3≠0，

∴原方程的解是x＝1.

(2)方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x＋1)(x－1)．

解得x＝.

经检验，x＝是原方程的解．

∴原方程的解是x＝.

【点拨】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

29．（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．

【分析】

（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．

【详解】

（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，

依题意有   ，

解得：x=30，

经检验，x=30是原方程的解，

x+10=30+10=40，

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；

（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，

解得y≤11，

∵y为整数，

∴y最大为11，

答：他们最多可购买11棵乙种树苗．

【点拨】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.

30．第二批鲜花每盒的进价是150元，花店第一批所购鲜花100盒

【解析】

【分析】

设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批鲜花每盒的进价是（x+10）元，故第一次进货()盒，第而次进货()盒，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，即可列出分式方程 ，再解出即可.

【详解】

设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意，得

解得x=150.

经检验：x=150是所列方程的解

当x=150时，

答：第二批鲜花每盒的进价是150元，花店第一批所购鲜花100盒.

【点拨】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出分式方程再进行求解.