专题5.17 《分式与分式方程》提高篇（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题5.17  《分式与分式方程》提高篇（专项练习）

一、单选题

1．（2021·普定县第二中学九年级二模）已知关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围为（　　）

A．k＜2且k≠1 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．﹣2＜k＜0

2．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）当时，化简（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·重庆市万州南京中学八年级期中）从－3，－1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的一元一次方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（      ）

A．－2 B．－ C．- 3 D．

4．（2021·山东烟台市·八年级期中）计算÷•的结果是（    ）

A． B．x C． D．2y

5．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级月考）若整数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组有且只有两个整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）

A． B． C．1 D．4

6．（2021·民勤县第六中学八年级期末）民勤六中九年级的几名同学打算去游学，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021·广东中山市·八年级期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A．＝ B．

C．＝﹣40 D．＝

8．（2020·西安市·陕西师大附中八年级月考）若关于x的方程无解，则（    ）

A． B．1或 C．1 D．或

9．（2021·山东日照市·八年级期末）已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（　　　）

A． B． C．且 D．且

10．（2021·河北石家庄市·八年级期末）关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

11．（2021·沙坪坝区·重庆一中九年级开学考试）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（    ）

A．15 B． C． D．120

12．（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级期末）若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（    ）

A．6 B．2 C． D．

二、填空题

13．（2021·云南大理白族自治州·八年级期末）观察下列各等式：，-，，-，......，猜想第八个分式__．

14．（2021·河南商丘市·八年级期末）计算： =_________．

15．（2021·仁寿县城北实验初级中学九年级期末）如果式子有意义，则的取值范围是：____________．

16．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级期末）若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为__________．

17．（2021·湖南岳阳市·八年级期末）已知关于的方程无解，则k的值为________．

18．（2021·湖南常德市·八年级期末）化简的结果是_______．

19．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）已知实数、均不为0且，则______．

20．（2021·四川省内江市第六中学八年级开学考试）关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．

三、解答题

21．（2021·阜南县文勤学校八年级月考）先化简，再求值：，其中．

22．（2021·长春市新朝阳实验学校九年级月考）为提高城市清雪能力，朝阳区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪200立方米，现在清雪3000立方米所需时间与原来清雪2000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量．

23．（2021·山西吕梁市·九年级月考）某商店想购进、两种商品，已知种商品每件的进价比种商品多5元，且用300元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的4倍．

（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少？

（2）商店决定购进、两种商品共50件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高20%后出售，要使所用商品全部出售后利润不少于210元，求至少种商品多少件？

24．（2021·河北唐山市·八年级期末）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程．当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．

（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？

（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？

25．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．

（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？

（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？

参考答案

1．A

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出k的范围即可．

【详解】

解：

去分母得：x-2（x-1）=k，

去括号得：x-2x+2=k，

解得：x=2-k，

由分式方程的解为正数，得到2-k＞0，且2-k≠1，

解得：k＜2且k≠1，

故选：A．

【点拨】

此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．

2．B

【分析】

先确定是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．

【详解】

解：，

当时，，而，

所以．

原式＝，

故答案选择B．

【点拨】

本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．

3．B

【分析】

由不等式组无解解出，再根据关于的一元一次方程有整数解，得到，再分别代入－3，－1，，筛选符合条件的的值，最后求和即可．

【详解】

解：

解不等式①得，

解不等式②得，

根据题意，不等式组无解得，

，即或或或，

关于的一元一次方程有整数解，

即有整数解，

若，，（不符合题意，舍去）

若，（符合题意）

若，（符合题意）

故符合题意的的值为，

故选：B．

【点拨】

本题考查解含参数的一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解、分式方程的解等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

4．A

【分析】

原式从左到右依次计算即可求出值．

【详解】

解：原式＝

＝．

故选：A．

【点拨】

本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．A

【分析】

根据题意可以求得的取值范围，从而可以得到符合条件的的整数值，从而可以解答本题．

【详解】

解：由方程，

解得：，

∴，

解得：且；

解不等式组，

解得：，

∵不等式组有且只有两个整数解，

∴，

∴，

∵且；

∴，且，

∴所有符合条件的整数有：，，0，1，2；

∴；

故选：A．

【点拨】

本题考查分式方程的解、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．

6．A

【分析】

设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+5）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了6元车费，列方程．

【详解】

解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+5）人，

由题意得，．

即．

故选：A．

【点拨】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．

7．D

【分析】

设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【详解】

解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，

依题意得：．

故选：D．

【点拨】

本题主要考查了分式方程的应用，准确计算是解题的关键．

8．B

【分析】

方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x的系数为0，分别解出m的值即可．

【详解】

解：

去分母，方程两边同时乘以（x﹣1），得

2﹣x＝﹣mx

∵方程无解，

∴原分式方程分母为零或整式方程无解，

①当x﹣1＝0时，则x＝1是方程的增根，

∴2﹣1＝﹣m，

∴m＝﹣1；

②当整式方程2﹣x＝﹣mx无解时，

﹣x+mx+ 2＝0，

（m-1）x＝-2，

m-1＝0，

m＝1，

∴m的值为1或．

故选：B．

【点拨】

本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．

9．C

【分析】

先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．

【详解】

解：，

方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，

去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，

移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，

∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，

∴，

解得a≥1且a≠2．

故选：C．

【点拨】

本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为0．

10．D

【分析】

由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．

【详解】

∵

∴

∴上述方程有解及

即及

所以原方程的解为，

故选：D

【点拨】

本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．

11．A

【分析】

先解不等式①得： ＜ 再解②得：＞结合不等式组有且仅有3个整数解，可得＜ 可得＜ 由为整数，或或或 再解，可得 由原分式方程有解，可得 从而可得 从而可得答案．

【详解】

解：

由①得：＞

＞

＜

由②得：＞

＞

又因为不等式组有且仅有3个整数解，

＜

＜

＜

由为整数，

或或或

，

由原分式方程有解，

综上：或

故选：

【点拨】

本题考查的是一元一次不等式组的整数解问题，分式方程有解问题，掌握以上知识是解题的关键．

12．C

【分析】

求出分式方程的解和不等式组的解集，在结合题意即可求出a的具体值，相加即可．

【详解】

∵，

∴，

∴．

，解得：．

要使无解，即．

又∵有非负整数解，

∴当x=0时，；

当x=1时，；

当x=2时，分母为0，无意义，故x≠2；

当x=3时，；

当x=4时，；

当x=5时，；

当x=6时，，此时不符题意．

综上，a的值可以为-6、-4、0、2、4．

故满足条件的a的和为-6-4+0+2+4=-4．

故选：C．

【点拨】

本题考查解分式方程和一元一次不等式组．根据分式方程和一元一次不等式组求出a的具体值是解答本题的关键．

13．

【分析】

通过观察找出规律即可，第n个分式可表示为．

【详解】

解：当n=8时，求得分式为：

所以答案为：．

【点拨】

本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律．

14．

【分析】

设，带入原式化简即可得．

【详解】

解：设，

原式

故答案为．

【点拨】

本题考查了完全平方公式、分式的化简、用字母代表数；关键在于能观察出数式的特征．

15．且

【分析】

根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，求解即可．

【详解】

解：由题意得：，且，

解得：且，

故答案为：且．

【点拨】

本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．

16．

【分析】

先对不等式组进行求解，然后根据不等式组有解得出的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有非负整数解以及增根的情况讨论出所有符合题意的整数的值，最终求和即可．

【详解】

对于，解得：，

∵该不等式组有解，

∴，解得：，

对于，解得：，

∵为原分式方程的增根，

∴，即：，解得：，

又∵原分式方程有非负整数解，且，

∴，解得：且，

∴在此范围内能使得是非负整数的整数是，

∴符合条件的所有整数的和为，

故答案为：．

【点拨】

本题考查含参分式方程与不等式组的求解，通过题目条件，准确分步求出参数的范围是解题关键．

17．或

【分析】

根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0求解即可．

【详解】

解：原方程去分母后整理为，由于方程无解，故有两种情况：

(1)若整式方程无实根，则且

；

(2)若整式方程的根是原方程的增根，则，

经检验, 是方程的解.

综上所述：或．

故答案为：或．

【点拨】

此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．

18．2

【分析】

先约分，再算加法，然后把除法化为乘法，进而即可求解．

【详解】

原式=

=

=

=

=2，

故答案是：2．

【点拨】

本题主要考查分式的化简，掌握分式的四则混合运算法则，是解题的关键．

19．

【分析】

将原分式化简得，再两边同时除以即可得结果．

【详解】

由得

所以，则

故答案为：

【点拨】

本题考查了分式的化简求值，观察式子得到已知与未知的式子之间的关系是解题的关键．

20．

【分析】

由分式方程有增根，得到最简公分母为0，确定出m的值即可．

【详解】

解：

分式方程去分母得：，

由分式方程有增根，得到，即，

把代入整式方程得：，

解得：．

故答案为：．

【点拨】

此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

21．，

【分析】

先将括号内的部分通分，计算加法，再将各分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，最后将x值代入即可．

【详解】

解：

=

=

=

将代入，

原式==．

【点拨】

本题考查的是分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟知运算法则是解答此题的关键．

22．现在平均每天清雪600立方米．

【分析】

设现在平均每天清雪量为x立方米，根”据“现在清雪3000立方米所需时间与原来清雪2000立方米所需时间相同”列出分式方程并解答．

【详解】

设现在平均每天清雪x立方米，

依题意得：，

，

经检验：是原方程的解，且符合题意．

答：现在平均每天清雪600立方米．

【点拨】

本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

23．（1）每件A种商品进价为15元，每件B种商品进价为20元；（2）至少购进A种商品10件．

【分析】

（1）设每件A种商品进价为x元，则每件B种商品进价为（x+5）元．根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价．

（2）根据题意可求出A种商品的售价和B种商品的售价．设购进A种商品a件，则购进B种商品（50-a）件，即可列出关于a的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量．

【详解】

解：（1）设每件A种商品进价为x元，则每件B种商品进价为（x+5）元．

根据题意可列分式方程：，

解得：．

经检验是原分式方程的解．

故每件A种商品进价为15元，每件B种商品进价为15+5=20元．

（2）根据题意可知A种商品售价为15+5=20元/件，B种商品售价为 元/件，

设购进A种商品a件，则购进B种商品（50-a）件．

根据题意可知：．

解得：．

故至少购进A种商品10件．

【点拨】

本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键．

24．（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天

【分析】

（1）设二号施工队单独施工需要天，根据题意得，两队一起施工和一号施工队单独施工天的总工作量相同；两队一起施工时，一号施工队工作天，二号施工队工作天，通过列方程并求解，即可得到答案；

（2）结合（1）的结论，根据题意，工程一号、二号施工队同时进场施工和一号施工队单独施工天的总工作量相同，通过列方程并求解，即可得到答案．

【详解】

（1）设二号施工队单独施工需要天，

根据题意得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解

∴若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；

（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天

根据题意得：

∴

∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天．

【点拨】本题考查了分式方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、一元一次方程的性质，从而完成求解．

25．（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．

【分析】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商品的销售总金额．

【详解】

（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：

，

解得， ，

答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；

（2）由题意可得，

，

解得，m=8，

经检验，m=8是原分式方程的解，

故11月份购进的A商品数量为（件），

12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），

（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．

答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．

【点拨】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和分式方程，注意分式方程要检验．