专题5.15 分式方程-增根、无解问题（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

这是一份专题5.15 分式方程-增根、无解问题（提高篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题5.15 分式方程-增根、无解问题（提高篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2020·湖北黄冈市·八年级月考）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）．
A．1 B．1或6 C．1或 D．1、6或
2．（2021·安徽芜湖市·八年级期末）若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2021·河南驻马店市·八年级期末）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ）
A．0 B．0或-1 C．-1 D．0或
4．（2021·全国九年级专题练习）若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（　　）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝0或m＝﹣2
5．（2021·江苏九年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为5，7，a，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．24 B．15 C．12 D．7
6．（2020·西安市·陕西师大附中八年级月考）若关于x的方程产生增根，则m是（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2020·西安市·陕西师大附中八年级月考）若关于x的方程无解，则（ ）
A． B．1或 C．1 D．或
8．（2018·江苏南通市·建新中学八年级月考）若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（ ）
A．m=0或1 B．m=1或3 C．m=3或7 D．m=0或3
9．（2018·四川省宜宾市第四中学校）关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·广东九年级专题练习）若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或


二、填空题
11．（2018·松桃苗族自治县第二中学八年级期中）若解分式方程产生增根，则m＝_____．
12．（2018·四川雅安市·八年级期末）已知关于x的分式方程－=0无解，则a的值为____________.
13．（2019·全国八年级单元测试）若以x为未知数的方程无解，则______.
14．（2019·上海八年级课时练习）当m= __________ 时，关于x的分式方程没有实数解.
15．（2021·江苏九年级专题练习）若关于的方程无解．则=________.
16．（2019·上海民办张江集团学校八年级月考）如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
17．（2019·山东聊城市·九年级一模）若关于的分式方程无解，则________．
18．（2021·山东淄博市·八年级期末）已知关于的分式方程无解，则______．
19．（2021·全国九年级专题练习）有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是____．（填序号）
20．（2021·福建省福州第一中学八年级期末）若关于x的分式方程无解，则________．

三、解答题
21．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
22．（2021·全国九年级专题练习）已知，关于x的分式方程．
（1）当时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
23．（2017·扬州市梅岭中学八年级期中）解关于x的方程﹣= 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
24．（2017·全国八年级课时练习）若关于x的方程无解，求k的值．
25．（2020·石家庄市栾城区教育局教研室八年级期中）关于x的方程：－＝1.
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
26．（2019·全国七年级单元测试）当a为何值时，关于x的方程无解？
27．（2018·温州育英学校九年级月考）当a取什么整数时，方程++＝0只有一个实根，并求此实根．

参考答案
1．D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
方程两边乘，得，
当时，方程化简为，无解，符合题意；
由分式方程无解，得到，即，
把代入整式方程，得，解得；
把代入整式方程，得，解得．
故m的值为或6或1．
故选：D．
【点拨】
本题考查了分式方程的解，本题中分式方程无解即为最简公分母为0，将分式方程化为整式方程是解本题的关键．
2．D
【分析】
根据方程无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x＝4，并把x＝4代入转化后的整式方程m＋1−x＝0，即可求出m的值．
【详解】
解：去分母得：m＋1−x＝0，
∵方程无解，
∴x＝4是方程的增根，
∴m＝3．

故选：D．
【点拨】
本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根．
3．D
【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得： ，即 ，
当，即 时，方程无解；
当x=-1时，-3k+1=-3k，此时k无解；
当x=0时，0=-3k，k=0，方程无解；
综上，k的值为0或 ．
故答案为：D．
【点拨】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
4．A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可
【详解】
解：去分母得：3﹣x﹣m＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：3﹣2﹣m＝0，
解得：m＝1，
故选：A．
【点拨】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．B
【分析】
根据三角形的三边关系确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论.
【详解】
解：

去分母得:

移项得:
∴

∵分式方程的解为非负数，
∴

∴，且a≠3

∵三角形的三边为:5，7，a，
∴

∴，
又∵a≠3，且为整数，
∴a可取4，5，6，和为15.
故选：B.
【点拨】
本题考查了三角形的三边关系、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式（组）解集，求出不等式（组）的整数解.
6．D
【分析】
先把分式化为整式方程x+2=m+1，由于原分式方程有增根，则有x−1=0，得到x=1，即增根为1，然后把x=1代入整式方程即可得到m的值．
【详解】

方程两边同时乘以（x-1）得：x+2=m+1，
∵关于x的方程产生增根，
∴x−1=0，得到x=1，
∴1+2=m+1，
解得：m=2，
故选：D．
【点拨】
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．B
【分析】
方程无解，说明原方程分母为零或化为整式方程后，x的系数为0，分别解出m的值即可．
【详解】
解：
去分母，方程两边同时乘以（x﹣1），得
2﹣x＝﹣mx
∵方程无解，
∴原分式方程分母为零或整式方程无解，
①当x﹣1＝0时，则x＝1是方程的增根，
∴2﹣1＝﹣m，
∴m＝﹣1；
②当整式方程2﹣x＝﹣mx无解时，
﹣x+mx+ 2＝0，
（m-1）x＝-2，
m-1＝0，
m＝1，
∴m的值为1或．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了分式方程的增根问题，计算时要小心，容易丢解，明确增根是令分母等于0的值．
8．C
【详解】
试题解析：方程去分母得：7+3（x-1）=mx，
整理，得（m-3）x=4，
当整式方程无解时，m-3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m-3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故选C.
点拨：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
9．C
【解析】
分析：根据分式方程增根的意义，求得m的值，然后把分式方程化为整式方程，代入可求出m的值.
详解：∵关于的分式方程有增根
∴x-1=0
解得x=1
原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1
把x=1代入可得m=3.
故选：C.
点拨：此题主要考查了分式方程的解，关键是明确分式方程产生增根的条件是分母为0，难度一般.
10．C
【分析】
存在两种情况会无解：
（1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根；
（2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解
【详解】
情况一：解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18
移项并合并同类项得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根，则x=3或x=0
显然不可能为0，则
解得：m=0
情况二：转化的一元一次方程无解
由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程无解，则6－m=0
解得：m=6
故选：C
【点拨】
本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解．
11．-5
【详解】
试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x=-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m，解得m=-5
故答案为-5.
12．-1或0或
【解析】
若关于x的分式方程－=0无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解.
解：去分母方程两边同乘 得，




当 即时，整式方程无解，即分式方程无解；
当时，有或时，分式方程无解，此时或
故答案为-1或0或
点拨：本题主要考查分式方程无解问题.本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零的情况，而忽略了化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全.
13．或或.
【解析】
【分析】
首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】
去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点拨】
本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
14．4或-6
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值．
【详解】
解：方程变形为，
方程两边同时乘以去分母得：x+m+3+x-3=0；
整理得：2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【点拨】
分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解.
15．3
【分析】
先去分母得到整式方程x=2（x-3）+m，整理得x+m=6，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入x+m=6即可求出m的值．
【详解】
去分母得x=2(x−3)+m，
整理得x+m=6，
∵关于x的方程无解.
∴x−3=0，即x=3，
∴3+m=6，
∴m=3.
故答案为3.
【点拨】
此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
16．或．
【分析】
分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点拨】
本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
17．1或-2．
【分析】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个a值，再根据分式方程无解的条件得出另外的a值即可．
【详解】
解：，
去分母得： x(x-a)﹣x(x-1)＝3( x-1)，
整理得：（a+2）x＝3，
∴当a+2＝0，即a＝-2时，方程无解；
当a+2≠0，由分式方程无解即有增根，可得x﹣1＝0或x＝0，
把x＝1代入（a+2）x＝3，
解得：a＝1，
把x＝0代入（a+2）x＝3，
方程无解；
综上，a的值为1或-2．
故答案为：1或-2．
【点拨】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
18．1
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-1=0求出x的值，代入求出k的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：x-3(x-1)= k，
解得，x=，
由分式方程无解得到x-1=0，即x=1，
，
解得：k=1，
故答案为：1．
【点拨】
本题考查了分式方程的解，利用分式方程无解得出关于k的方程是解题关键．
19．②③
【分析】
分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．
【详解】
解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；
②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得
3﹣x﹣m＝x﹣2
∴x＝，
∵原分式方程无解，
∴x＝2，
∴＝2，
解得m＝1，
故②正确；
③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得
（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，
（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，
∴，
解得：
则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，
故③正确．
综上，正确答案为：②③．
【点拨】
本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．
20．2
【分析】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
【详解】
解：，
去分母得：，
整理得：，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，都有解，故此情形下无符合题意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为2．
故答案为： 2．
【点拨】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
21．（1）；（2）或或1．
【分析】
（1）把m=4代入解分式方程即可；
（2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可．
【详解】
解：（1）把m=4代入原方程得
方程两边同时乘以，去分母并整理得
，
解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，
∴或，
当时，得；
当时，
解得：或，
当时，得；
当时，得；
所以m的值可能为1、或6．
【点拨】
此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．（1）；（2）或．
【分析】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可．
【详解】
解：（1）把代入分式方程中，得

方程两边同时乘以，得


解得，
检验：把代入，所以原分式方程的解是．
答：分式方程的解是．
（2）把代入分式方程得，
方程两边同时乘以，



①当时，即，方程无解；
②当时，
时，分式方程无解，即不存在；
时，分式方程无解，即．
综上所述，或时，分式方程无解．
【点拨】
本题主要考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
23．﹣5或﹣
【解析】试题分析：根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
试题解析：方程去分母后得：（k+2）x=-3，分以下两种情况：
 令x=1，k+2=-3，
∴k=-5
 令x=-2，-2（k+2）=-3，
∴k=-，
综上所述，k的值为-5，或-．
24．当k＝－1或－时原方程无解.
【分析】
因为把原分式方程化为整式方程后是一个一次项系数中含有字母的整式方程，故需要分两种情况讨论，①求使整式方程无解的k值；②求使整式方程的解是x=2和x=-2的k值.
【详解】
，
去分母得，x＋2＋k(x－2)＝3，
去括号得，x＋2＋kx－2k＝3，
移项合并同类项得，(1＋k)x＝2k＋1，
①当1＋k＝0，即k＝－1时整式方程无解，
②当1＋k≠0时x＝，＝±2时，即k＝－时分式方程无解，
综上所述当k＝－1或-时原方程无解.
【点拨】
本题主要考查了含字母系数的分式方程无解的知识点，一般的解法是先将分式方程化为整式方程，再将使原分式方程的分母为0的未知数的值代入到整式方程中，求出对应的字母系数的值，但如果化为整式方程后，未知数的系数中含有字母系数，还要注意求使这个整式方程无解的字母系数的值.
25．（1）x＝－2；（2）a＝－3.
【分析】
（1）将a=3代入,求解－＝1的根,验根即可,
（2）先求出增根是x＝1，将分式化简为ax＋1＋2＝x－1，代入x＝1即可求出a的值.
【详解】
解：(1)当a＝3时，原方程为－＝1,
方程两边同乘x－1，得3x＋1＋2＝x－1，
解这个整式方程得x＝－2，
检验：将x＝－2代入x－1＝－2－1＝－3≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解．
(2)方程两边同乘x－1，得ax＋1＋2＝x－1，
若原方程有增根，则x－1＝0，解得x＝1，
将x＝1代入整式方程得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.
【点拨】
本题考查解分式方程,属于简单题,对分式方程的结果进行验根是解题关键.
26．或4或．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】
解：解：由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），
整理得：（a-1）x=-10，
（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；
（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，
当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；
当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，
即当a=1，-4或6时原方程无解．
【点拨】
此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．
27．a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1
【分析】
先将原方程化为＝0，再分三种情况进行讨论：
（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，由原分式方程恰有一个实根，得出△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，依此求出a的值；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，代入求出a＝﹣4，再解方程即可；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，代入求出a＝﹣8，再解方程即可．
【详解】
解：原方程化为＝0．
（1）若x≠0且x≠2，则2x2﹣2x+4+a＝0，
∵原分式方程恰有一个实根，
∴△＝0，即△＝（﹣2）2﹣4×2×（4+a）＝﹣28﹣8a＝0，
则a＝﹣，
于是x1＝x2＝，
但a取整数，则舍去；
（2）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝0，则a＝﹣4，
这时原方程为，
去分母得2x2﹣2x＝0，
解得x＝0，x＝1，
显然x＝0是增根，x＝1是原分式方程的根；
（3）若方程2x2﹣2x+4+a＝0，有一个根为x＝2，则a＝﹣8，
这时，原方程为
去分母，得2x2﹣2x﹣4＝0，
解得x＝2，x＝﹣1，
显然x＝2是增根，x＝﹣1是原分式方程的根；
经检验当a＝﹣4时，原方程恰有一个实根x＝1；当a＝﹣8时，原方程恰有一个实根x＝﹣1．
【点拨】
本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因进而分情况讨论是解题的关键．