专题6.8 多边形的内角和与外角和（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题6.8 多边形的内角和与外角和（专项练习）
一、单选题
1．（2020·浙江杭州市·八年级期末）若多边形的边数由5增加到n（n为大于5的正整数），则其外角和的度数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
2．（2021·福建福州市·八年级期末）下列多边形中，内角和为360°的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广西玉林市·八年级期末）三角形的外角和度数是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
4．（2021·重庆巴南区·八年级期末）若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ）
A．5边形 B．6边形 C．7边形 D．8边形
5．（2021·江西赣州市·八年级期末）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是，这个多边形的边数是（　　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（2021·江西赣州市·八年级期末）正八边形一个内角是（　　　）度
A．45 B．135 C．112.5 D．108
7．（2021·云南大理白族自治州·八年级期末）一个多边形的每个内角都相等，已知它的一个外角为20°，那么这个多边形是一个（　　）
A．正十八边形 B．正十六边形 C．正十四边形 D．正十二边形
8．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．（2021·山东淄博市·八年级期末）内角和为720°的多边形是（ ）．
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
10．（2021·湖北黄冈市·八年级期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
11．（2021·安徽阜阳市·八年级期末）如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（　　　）条对角线．
A． B． C． D．
12．（2021·山东威海市·八年级期末）一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
13．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　）

A．90° B．108° C．120° D．135°
14．（2021·河南商丘市·八年级期末）一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
15．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校八年级月考）在△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于点O，且点O与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）．
A．50°或130° B．40°或130° C．50°或65 D．40°或65°
16．（2020·福建福州市·八年级期中）如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）

A．288º B．252º C．180º D．144º
17．（2020·广州大学附属中学八年级月考）五边形ABCDE中，、、、对应的邻补角和等于215°，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
18．（2020·武汉一初慧泉中学八年级月考）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
19．（2021·山东泰安市·七年级期末）若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是(        )
A． B． C． D．


二、填空题
20．（2020·浙江杭州市·八年级期中）五边形的内角和与外角和之比是______．
21．（2020·浙江杭州市·八年级期中）若某多边形的内角和比外角和大900°，则这个多边形的边数为________．
22．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，五边形的外角和为______度．

23．（2021·山东淄博市·八年级期末）五边形的内角和是______度．
24．（2021·辽宁大连市·八年级期末）如图，则x的值为_____．

25．（2021·上海九年级专题练习）如图，为正五边形的一条对角线，则__________．

26．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图所示，小梦发现将正六边形的边向两端延长后，可以构成 “六边星角形”，则图中的度数是_________．

27．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于______度．

28．（2021·全国九年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数是_____．
29．（2021·山东烟台市·八年级期末）已知正多边形的一个外角等于则这个正多边形的内角和的度数为_______．
30．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．

31．（2021·四川成都市·八年级期末）如图，已知点，过点作轴于点，点是轴正半轴上一个动点，连接，以为斜边，在的上方构造等腰，连接．在点运动的过程中，与的数量关系是____．

32．（2021·陕西延安市·八年级期末）如图，线段，的垂直平分线，相交于点．若，则的度数为______．

33．（2020·吉林白城市·八年级期末）多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条．
34．（2020·辽宁抚顺市·八年级期中）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果，，那么 __________．

35．（2020·山东德州市·八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．

36．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则________．

37．（2020·鄱阳县第二中学八年级月考）如图，在一个四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．

38．（2020·河南新乡市·八年级期中）如图，六边形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．


三、解答题
39．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图，为内部一点，、分别为点关于直线、对称的点．


（1）若，求的度数；
（2）试猜想当的值最大时，与需要满足什么数量关系，并说明理由．
40．（2021·广西钦州市·八年级期末）（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．

41．（2021·江西赣州市·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．

 ①若∠A=50º，则∠O=______，∠P=______；
 ②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系______．
42．（2021·全国九年级）如图，在中．是边上一点，平分是上一点，是边上一点．且．

（1）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
（2）求证：．
43．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．

（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
44．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．



参考答案
1．C
【分析】
利用多边形的外角和特征即可解决问题．
【详解】
解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．
故选：C．
【点拨】
此题考查多边形内角和与外角和，容易受误导，注意多边形外角和等于360°．
2．B
【分析】
若多边形的边数是n，则其内角和计算公式为（n﹣2）•180°，据此进行解答即可.
【详解】
解：由多边形内角和公式可得，
（n﹣2）•180°=360°，
解得n=4，是四边形，
故选择B.
【点拨】
本题考查了多边形的内角和计算，牢记其公式是解题关键.
3．C
【分析】
根据三角形的外角和性质，即可求解．
【详解】
任意多边形的外角和都等于360°，故三角形的外角和度数是360°，
故选C．
【点拨】
本题主要考查三角形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
4．D
【分析】
设多边形的边数是n，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n，
则180（n﹣2）=3×360，
解得：n=8．
故选:D．
【点拨】
本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．
5．D
【分析】
设这个多边形的外角为x°，则内角为4x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可得方程x+4x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．
【详解】
设这个多边形的外角为x°，则内角为4x°，
由题意得：x+4x=180，
解得x=36，
这个多边形的边数：360°÷36°=10，
故选：D．
【点拨】
本题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的相邻的内角与外角互补．
6．B
【分析】
首先根据多边形内角和定理: (n-2)×180°(n≥3且n为正整数)求出内角和，然后再计算一个内角的度数.
【详解】
正八边形的内角和为:
(8-2)×180°=1080°，
每一个内角的度数为1080°÷8 = 135°.
故选: B.
【点拨】
此题主要考查了多边形内角和定理，解题关键是熟练掌握内角和计算公式.
7．A
【分析】
根据多边形的外角和为360°，而多边形每个外角都等于20°，可求多边形外角的个数，确定多边形的边数．
【详解】
解：∵多边形的外角和为360°，360°÷20°=18，
∴这个多边形是正十八边形，
故选：A．
【点拨】
本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的外角和为360°的性质，求多边形的边数．
8．B
【分析】
①由得到，由角的和差解题即可；
②由得到，继而证明即可解题；
③由得到及三角形内角和180°可得，再由角的和差解题即可；
④证明即可解题；
⑤根据四边形内角和360°解题即可．
【详解】
①



故①正确；
②



故②正确；
③






故③正确；
④由①知，
又


故④正确；
⑤在四边形中，



不一定垂直
故⑤错误，
故正确的结论有：①②③④
故选：B．
【点拨】
本题考查三角板的性质、全等三角形的判定与性质、四边形内角和360°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．D
【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．
【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，
故选：D．
【点拨】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键．
10．C
【分析】
根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点拨】
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
11．C
【分析】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点拨】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
12．B
【分析】
设一个外角是x，则一个内角是3x，列得3x+x=180°，求得x，再用外角和360°除以x即可得到答案．
【详解】
设一个外角是x，则一个内角是3x，3x+x=180°，
解得：x=45°，
由于多边形的外角和为360°，
则边数为360°÷45°=8，
故选：B．
【点拨】
此题考查多边形内角与外角互补计算，多边形外角和，求多边形边数，熟记多边形外角与内角的关系是解题的关键．
13．B
【分析】
先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点拨】
此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
14．D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点拨】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
15．A
【分析】
分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用四边形内角和定理和三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：当△ABC是锐角三角形时，如图①

∵
∴∠ADB=∠AEC=90°
∵∠ADB+∠DOE+∠AEO+∠A=360°，∠A=50°
∴∠DOE=360°-∠ADB-∠AEC-∠A=360°-90°-90°-50°=130°
∵∠BOC=∠DOE
∴∠BOC=130°；
当△ABC是钝角三角形时，如图②

∵∠
∴∠
∵∠
∴∠
综上所述，∠BOC的度数为130°或50°
故选：A
【点拨】
本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是画出图形分类讨论，利用三角形内角和是180°进行推算．
16．B
【分析】
根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可．
【详解】
解：∵∠C=72°，
∵∠A+∠B=180°-72°=108°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°-108°=252°，
故选：B．
【点拨】
本题考查了三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
17．B
【分析】
由外角和内角的关系可求得的内角和，由五边形内角和可求得五边形ABCDE的内角和，继而求得.
【详解】
解：∵的外角的角度和为，
∴，
∴，
∵五边形ABCDE内角和为：，
∴，
∴．
故选：B．
【点拨】
本题考察多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．
18．B
【分析】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．
【详解】
设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，
则(n-2)×180+x=1500，
(n-2)×180=8×180+60-x，
∵n-2为正整数，
∴60-x能被180整除，
又∵x＞0，
∴60-x=0，
∴(n-2)×180=8×180，
∴n=10，
故选B
【点拨】
本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．
19．D
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，可组成n−2个三角形，依此可得n的值．
【详解】
解：经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，由题意，得，解得．
故选．
【点拨】
本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
20．3：2
【分析】
利用多边形的内角和公式求出五边形的内角和，再结合其外角和为360度，即可解决问题．
【详解】
解：五边形的内角和是180×（5-2）=540度；
任意正多边形的外角和都是360度；
所以五边形的内角和与外角和的比是540：360=3：2，
故答案为：3：2．
【点拨】
本题利用多边形的内角和公式及多边形的外角和即可解决问题．
21．9
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．
【详解】
解：设这个多边形的边数是n，
则（n-2）•180°-360°=900°，
解得n=9．
故答案为：9．
【点拨】
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解题的关键是明确任意多边形的外角和都是360°．
22．360
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答．
【详解】
解：五边形ABCDE的外角和是360°．
故答案为：360．
【点拨】
本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．
23．540
【分析】
利用多边形内角和公式计算即可．
【详解】
五边形的内角和=．
故答案为：540°．
【点拨】
本题考查多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题关键．
24．75
【分析】
直接根据四边形的内角和公式求解即可．
【详解】
由四边形的内角和为（4-2）180° =360°，可得：
，
解得：，
故答案为：75．
【点拨】
本题主要考查四边形的内角和，理解多边形的内角和公式是解题关键．
25．36°
【分析】
根据正五边形的性质求出∠A，再根据AB=AE即可求出∠ABE．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=，AB=AE，
∴∠ABE=．
故答案为：36°
【点拨】
本题考查了多边形的内角和，正多边形的定义与性质，根据求出∠A的度数是解题关键．
26．60°
【分析】
先算出正六边形的内角∠FAB和∠CBA，从而得到∠PAB和∠PBA，再根据三角形内角和定理得到结果．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=∠CBA=（6-2）×180°÷6=120°，
∴∠PAB=∠PBA=180°-120°=60°，
∴∠APB=180°-60°×2=60°，
故答案为：60°．
【点拨】
本题考查了正多边形的内角，解题的关键是能计算出∠FAB和∠CBA．
27．60
【分析】
先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数．
【详解】
解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，

∴∠1=，
∴∠2=180°-120°=60°，
故答案为：60．
【点拨】
本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计算是解题的关键．
28．5
【分析】
边形的内角和公式为，由此列方程求．
【详解】
解：设这个多边形的边数是，则，解得，
故答案为：5．
【点拨】
本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式，构建方程即可求解．
29．
【分析】
根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
【详解】
解：360°÷40°＝9，
（9−2）×180°＝1260°，
故答案是：1260°．
【点拨】
本题主要考查多边形的内角和外角，掌握任意多边形的外角和等于360°是解题的关键．
30．64
【分析】
根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64米．
【详解】
解：设边数为n，
多边形外角和为360°，所以n=360°÷45°=8，总边长为8×8=64米，
故答案为：64．
【点拨】
此题考查多边形的外角和，正多边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
31．
【分析】
以点C为旋转中心，将△CAD逆时针旋转90°得△CBD′，可得∠CAD=∠CBD′，BD′=AD=2，CD=CD′，由，等腰，可得∠ADB+∠ACB=180º，由四边形内角和∠CAD+∠CBD=360º-（∠ADB+∠ACB）=180º，推出D、B、D′三点共线，在Rt△DCD′中，由勾股定理DD′=，由DD′=BD+BD′=BD+2即可得出结论．
【详解】
解：以点C为旋转中心，将△CAD逆时针旋转90°得△CBD′，
∴∠CAD=∠CBD′，BD′=AD=2，CD=CD′，
∴，等腰，
∴∠ADB+∠ACB=180º，
∴∠CAD+∠CBD=360º-（∠ADB+∠ACB）=180º，
∴∠CBD′+∠CBD=180º，
∴D、B、D′三点共线，
∵∠DCD′=90º，
在Rt△DCD′中，
∴DD′=，
∴DD′=BD+BD′=BD+2，
∴，
故答案为：．

【点拨】
本题考查等腰直角三角形的性质，图形的旋转，三点共线，勾股定理的应用等知识，掌握本题考查等腰直角三角形的性质，图形的旋转性质，三点共线证明方法，勾股定理的应用是解题关键．
32．35°
【分析】
连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【详解】
解：连接OB，

∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【点拨】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
33．2
【分析】
多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n−2）个三角形，依此作答．
【详解】
根据题意得：360°÷（180°−108°）＝360°÷72°＝5，
那么它的边数是五，
从它的一个顶点出发的对角线共有5−3＝2条，
故答案为：2．
【点拨】
此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n边形的一个顶点出发可引出（n−3）条对角线，把这个多边形分割成（n−2）个三角形．
34．35°
【分析】
先求出等边三角形，正方形，正五边形的内角度数，再根据三角形的外角和为360°，即可求解．
【详解】
∵等边三角形的内角度数是60°，正方形的度数是90°，正五边形的度数是，
∴∠3=360°-60°-90°-108°-∠1-∠2=360°-60°-90°-108°-47°-20°=35°，
故答案是：35°
【点拨】
本题主要考查正多边形的内角和以及外角和定理，准确分析图形中角的数量关系，是解题的关键．
35．360°
【分析】
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．
【详解】
解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．
故选：D．
．
【点拨】
本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．
36．10°
【分析】
由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，∠ACD=∠A′CD=45°，再利用三角形的内角和求解．
【详解】
解：由对折可得：∠A=∠CA′D=50°，
∠ACD=∠A′CD=×90°=45°，
∴∠ADC=∠A′DC=180°−45°−50°=85°，
∴∠A′DB=180°−85°×2=10°．
故答案为：10°．
【点拨】
本题利用对折考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
37．75°．
【分析】
先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA，然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA,最后根据三角的内角和定理求解即可．
【详解】
解：∵在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠BCD=70°
∴∠BAD+∠CDA=360°-80°-70°=210°
∵∠EAD=∠BAD，∠EDA=∠CAD
∴∠EAD+∠EDA=（∠BAD+∠CDA）=105°
∴∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA）=180°-105°=75°．
故答案为75°．
【点拨】
本题主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和以及角平分线的相关知识，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
38．180°
【分析】
根据多边形的外角和减去∠B和∠C的外角的和即可确定四个外角的和．
【详解】
解：∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B的外角与∠C的外角的和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
故答案为：180°．
【点拨】
本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠B和∠C的外角的和为180°
39．（1）；（2），理由见解析．
【分析】
（1）连接OP、OR、PR，分别交AB、BC与点E、F，根据对称性可得出再根据四边形的内角和即可得出答案；
（2）画出图形易知当P、B、R三点共线时，PR有最大值，根据等边对等角及三角形内角和得出，从而得出；再根据四边形内角和即可得出，即可得出与的关系．
【详解】
（1）如图，连接OP、OR、PR，分别交AB、BC与点E、F，
、分别为点关于直线、对称的点，
，
，
，
；


（2）如图1，连接PB、BR、PR，易知，


如图2，当P、B、R三点共线时，PR有最大值=PB+BR，

P、B、R三点共线，
P、O、R构成三角形，
、分别为点关于直线、对称的点，
OB=BP，OB=BR，，
，，
，
，
，
，
，
，
当的值最大时，与需要满足．
【点拨】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形及四边形的内角和定理、轴对称的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
40．（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点拨】
本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
41．（1）①115º；65º；②，；（2） ，理由见解析 ；（3）
【分析】
（1）①由OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，可得∠ABO=，∠ACO=，由外角推出∠O=90°+=115°，由BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，可得∠DBP=，∠ECP=，可推求出，即可，②由①得∠O=90°+， ，把∠A=α 代入可得∠O=90°+，；
（2）由BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，可得∠CBP=；∠BCP=，推出 ；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，由（2）得，由外角可求∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，可求∠M+∠N=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，即可推出结论．
【详解】
解：（1）①连结AO并延长到Q，连结PA
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=；∠ACO=，
∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠QOC=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BAC++，
=∠A++，
=∠A+180°- ，
=90°+，
=115°，

BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，
∴∠DBP=；∠ECP=，
∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，
∴，
∴，
∴90º+，
∴，
故答案为：115º；65º；
②由①得∠O=90°+， ，
∵∠A=α，
∴∠O=90°+，，
故答案为：∠O=90°+，，
解：，
理由如下：
在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠CBP=；∠BCP=，
，
，
，
，
；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，
由（2）得，
∴∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，
∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180º+∠EFA+∠DEF-180º=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点拨】
本题考查两内角平分线夹角的性质，与两外角平分线夹角性质，掌握角平分线的性质，多边形内角和公式，外角与内角关系是解题关键．
42．（1）a；（1）证明见解析．
【分析】
（1）根据四边形内角和及已知条件可得，又根据邻补角可知，从而得到；
（2）连接PC，由等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC，然后利用SSS定理求得△ABP≌△ACP，由此根据全等三角形的性质得到∠ABP=∠ACP，结合（1）中所求可得，从而使问题得证．
【详解】
解：（1）在四边形ABPQ中，
∴
∵
∴
（2）连接PC
∵AB=AC，平分
∴AD垂直平分BC
∵P是AD上一点
∴PB=PC
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS）
∴∠ABP=∠ACP
又由（1）已证
∴
∴PQ=PC
∴PB=PQ

【点拨】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，题目难度不大，有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键
43．（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析．
【分析】
（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）理由①：根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．

【点拨】
本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键．
44．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．

（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．

（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．

【点拨】本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．