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专题6.16 平行四边形-常考题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）
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这是一份专题6.16 平行四边形-常考题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版），共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
专题6.16 平行四边形-常考题（专项练习）
一、单选题
1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s
2.根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A. 两组对边的长分别是3和5
B. 相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
3.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A. 8
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段
AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A. ②④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④
6.如图, 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE∥BD, DE∥AC, AD=23 , DE=2 , 则四边形OCED的面积为（ ）
A. 4 B. 23 C. 43 D. 8
7.如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6
8.如图，矩形ABCD的面积为1cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A. 122013 B. 122014 C. 122015 D. 122016
9.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A=∠B=∠C=90°
C. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° D. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
10.如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. S△BEC=2S△CEF B. EF=CF
C. ∠DCF= 12 ∠BCD D. ∠DFE=3∠AEF
11.如图所示，在 ▱ ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， S△AOE=3,S△BOF=5 ,则 ▱ ABCD的面积…（ ）
A. 24 B. 32 C. 40 D. 48
12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A. ∠D的度数为α
B. a∶b＝CD∶BC
C. 若α＝60º，则平行四边形ABCD的周长为 433(a+b)
D. 若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
二、填空题
13.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：________使四边形ABCD是平行四边形。
14.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF= 12 ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.
15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为________．
16.如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O ， 若∠DBC=15°，则∠BOD=________
17.如图，在平行四边形 ABCD 中， DE 平分 ∠ADC ， AD=5 ， BE=2 ，则 ABCD 的周长是________.
18.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝________.
19.如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．
20.在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=________cm．
21.如图，平面直角坐标系中,直线y= 43 x＋8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP＋PH＋HQ值最小时，点P的坐标为________。
22.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为________.
23.如图，口ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为________。
24.如图，在□ ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F .若 AE=4 ， AF=6 ，且□ ABCD 的周长为40，则□ ABCD 的面积为________。
三、解答题
25.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
26. 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
27.如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ， 连接PQ交AB于D ， 在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
28.已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四、综合题（共6题；共78分）
29.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是________，AB的长是________．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 3 ？
31.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。
32.在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP=________度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
33.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= 3 ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
34.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
参考答案
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t ， BQ=t ，
根据题意得到12-3t=t ，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
2.【答案】 A
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
3.【答案】 D
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵▱ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=12BD=5，OC=12AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
4.【答案】 C
【考点】坐标与图形性质，平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2 ， 此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3 ， 此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
5.【答案】 B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
6.【答案】 B
【考点】勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定
【解析】【解答】解：连接OE ， 与DC交于点F.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC ， OB=OD ， 且AC=BD ，
即OA=OB=OC=OD.
∵OD∥CE ， OC∥DE ，
∴四边形ODEC为平行四边形.
∵OD=OC ，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF ， OF=EF ， DC⊥OE.
∵DE∥OA ， 且DE=OA ，
∴四边形ADEO为平行四边形.
∵AD=23 ,DE=2，
∴OE=23 ,
∴ OF=EF=3 .
在Rt△DEF中，根据勾股定理得： DF=22-(3)2=1 ,
∴DC=2，
∴S菱形OCED=12OE⋅DC=12×23×2=23 ．
故选B.
7.【答案】B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我们不难看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝ EF，所以EF＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题
8.【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 12 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= 12 ×1= 12 ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2 ，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 12 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= 12 × 12 ×1= 122 ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= 122015 cm2 ．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
9.【答案】 D
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（A）∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；
（B）∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故B选项正确；
（C）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；
（D）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边
ABCD为平行四边形，故D选项错误．
故选 D．
【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．
10.【答案】 A
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∵∠A=∠FDM，
AF=DF，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；
B、∵△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；
C、∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ▱ ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= 12 ∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；
D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>AB，所以S△EMC>S△BEC ， 所以S△BEC<2S△EFC ， 所以A错误.
B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=90° ， 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以EF=FC；
C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=12∠BCD；
D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.
11.【答案】 B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO
在△DOE和△BOF中
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF=5
∵S△AOD=S△AOE+S△DOE=3+5=8
∴平行四边形ABCD的面积为：4S△AOD=4×8=32.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质易证OB=OD，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠EDO=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，利用全等三角形的面积相等，可得到S△DOE=S△BOF=5，从而可求出△AOD的面积，然后根据平行四边形ABCD的面积为=4S△AOD ， 代入计算可求解。
12.【答案】 D
【考点】勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=12AB，AB2=BE2+AE2 ，
即AB2=（12AB）2+a2 ，
解得：AB=233a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=12AD，AD2=DF2+AF2 ，
即AD2=（12AD）2+b2 ，
解得：AD=233b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（233a+233b）=433（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=233a，AD=233b，
∴BE=33a，DF=33b，
∴S△ABE=12·BE·AE=12×33a×a=36a2 ，
S△ADF=12·DF·AF=12×33b×b=36b2 ，
∵S四边形ABCD=BC·AE=233ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF ，
=233ab-36a2-36b2 ，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=233a，AD=233b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=433（a+b），故正确；
D.由C知AB=233a，AD=233b，从而可得BE=33a，DF=33b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=36a2 ， S△ADF=36b2 ， 由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=233ab-36a2-36b2 ， 故错误.
二、填空题
13.【答案】AB=BF
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加条件是AB=BF，
理由是：∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFCE=BE
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DC=BF，
∵AB=BF，CD∥AF，
∴AB=CD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=BF．
【分析】添加条件是AB=BF，求出∠CDE=∠F，CE=BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC=BF，推出AB=CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
14.【答案】①②④．
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【解析】【解答】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= 12 ∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
15.【答案】 2或2 3 或 19
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM= 12 AB=1，
∴AM= 3 BM= 3 ，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC= AM2+CM2 =2 3 ，
∴AB2+AC2=BC2 ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP= BC2-CP2 = 42-22 =2 3 ；
（ 2 ）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM= 3 ，
∴BP= BC2+CP2 = 19 ；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2 3 或 19 ．
【分析】根据题意得到两种情况，当∠BPC=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，和由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BM的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，得到当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，BP=BA；当∠BCP=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，根据勾股定理求出BP的值，得到△PBC为直角三角形时，BP的值.
16.【答案】150°
【考点】三角形内角和定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC ，
∴∠ODB=∠DBC=15°.
又由折叠的性质知,∠EBD=∠CBD=15°,即∠OBD=15°，
∴在△OBD中,∠BOD=180°−∠OBD−∠ODB=150°，
17.【答案】 16
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC−BE=5−2=3，
∴CD=AB=3，
∴▱ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
18.【答案】 105°
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=12∠1=25°，
∴∠ADB=25°
根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105°
故答案为：105°。
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。
19.【答案】 5
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
{∠AOD=∠CBE∠ADO=∠CEBOA=BC ，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案为：5．
【分析】结合图形可知对角线OB长的最小，利用平行四边形的每组对边平行且相等及垂直所得直角可证得△AOD≌△CBE，从而可求得BE的长，即可求得满足条件的OB长.
20.【答案】 4
【考点】勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】在▱ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= AB2-BC2 =8cm，
∴AO= 12 AC=4cm；
故答案为：4
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出BC=AD=6cm，AO=CO，根据勾股定理得出AC，从而可求得AO。
21.【答案】 (-4,4)
【考点】待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质
【解析】【解答】连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，
∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：
{b＝4-12k+b＝-8 ，
解得： {b＝4k＝1 ，
∴直线CQ的关系式为：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-4，4）．
【分析】连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而根据平行四边形对边相等得出：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+4，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后利用待定系数法求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标．
22.【答案】 2
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∵AB＝3，BC＝5，
∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝2.
故答案为2.
【分析】根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行、内错角相等得出∠AEB＝∠CBE，根据角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，故∠AEB＝∠ABE，根据等角对等边得出AE＝AB，从而利用DE＝AD－AE＝BC－AB即可算出答案。
23.【答案】 14
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2OC+2OB=16
∴OC+OB=8
∴△BOC的周长为：OB+OC+BC=8+6=14
故答案为：14
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6，再求出OC+OB的值，然后求出△OBC的周长。
24.【答案】48
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，
∴S▱ABCD=4BC=6CD，
整理得,BC= 32 CD②，
联立①②解得，CD=8，
∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.
故答案为：48.
三、解答题
25.【答案】解：①以PQAD构成四边形 设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
26.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE＝OF
【考点】平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题
27.【答案】 解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， {∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ 12 EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB， ∴DE＝ 12 AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB ， 交直线AB的延长线于点F ， 连接QE ， PF ， 由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF ， 再由AE＝BF ， PE＝QF且PE∥QF ， 可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB ， DE＝ 12 AB ， 由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
28.【答案】 证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；因此只须证明AB=CD即可。
四、综合题
29.【答案】 （1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中
AF=BCAE=BA
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
30.【答案】 （1）10；5
（2）解：EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等
（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5 3 × 33 =5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10﹣2t，t= 103 ．
即当t= 103 时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF= 12 CD，∴CF= 3 t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 3 ﹣ 3 t，
∴ S△BEF=12×BF×BE=23 ，
即： 125-t53-3t=23 ，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=3时，△BEF的面积为2 3 ．
故答案为：5，10；平行且相等； 103 ；3
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【分析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2 ，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 3 ﹣ 3 t，从而得到 S△BEF=12×BF×BE=23 ，然后求得t的值．
31.【答案】 （1）【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）【解答】四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得
四边形E′BGD为平行四边形．
32.【答案】 （1）30
（2）解：若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，
在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4
∴DE= 12 AD=2，AE=2 3 ，
∴AM=t，PC=2﹣t
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC
∴t=2﹣t得t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）解：若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM= 12 BN，即4﹣t= 12 t，
解得，t= 83 ．
如图4中，当∠PNC=90°时，
易知BG=2（4﹣t），MG= 3 （4﹣t），
GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= 233 （3t﹣8），
∵PM=2 3 ，
∴MG+GP=2 3 ，
∴ 3 （4﹣t）+ 233 （3t﹣8）=2 3 ，
解得t=103 ，
综上所述，t= 83 s或t=103时，△PNC是直角三角形．
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，
∵PM⊥AB，
∴PA=PB，
∴P与C重合，
∵MN∥AC，
【分析】连接AC，由t=2可得到AM=BM=2，BN=CN=2，然后依据线段垂直平分线的性质可得到PA=PB，推出P与C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=12∠ACB=30°；
（2）当点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD，垂足为E，然后依据AM=PC列方程求解即可；
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，分两种情形讨论求解即可.
33.【答案】 （1）解：BC= 12 OC=3，则 t=32 ，
OP= 32 ，则OE=OP+PE=OP+OA= 32 +3= 92 ，
则E的坐标是（ 92 ，0）
（2）解：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，
在△AOC和△EPD中，
{OA=PE∠AOC=EPDOC=PD ，
∴△AOC≌△EPD，
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形
（3）解：C的坐标是（0，6﹣2t），P的坐标是（t，0），则F的坐标是（t+2，0）．，E的坐标是（t+3，0），D的坐标是（t，2t﹣6）．
设CE的解析式是y=kx+b，
则 {b=6-2t(t+3)k+b=0 ，
解得： {b=6-2tk=2t-3t+3 ，
则CE的解析式是y= 2t-3t+3x+(6-2t) ，
同理DE的解析式是y= 6-2t3x + 2(9-t2)3 ．
当M在CE上时，M的坐标是（t+2， 3 ），
则 2t-3t+3(t+2)+(6-2t)=3 ，
解得：t=21﹣12 3 ，或t=1.5．
当N在DE上是，N的坐标是（t+2，﹣1），则 6-2t3(t+2)+2(9-t2)3 =﹣1，
解得：t=3+ 323 或t=9．
总之， t1=21-123 ，t2=1.5， t3=3+323 ，t4=9
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）当C运动到OB的中点时，根据时间t=路程/速度即可求得，进而求得E的坐标；（2）证明△AOC≌△EPD，则AC=DE，∠CAO=∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC为平行四边形；（3）利用待定系数法求得CE和DE的解析式，然后用t表示出M、N的坐标，代入解析式即可求得t的值．
34.【答案】 （1）【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∴△ABE≌△ACF．
（2）【解答】四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
（3）【解答】由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=23.
∴ S四边形ABEF=12EG·AB+EF
=12×23×6+4=103 ．
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
专题6.16 平行四边形-常考题（专项练习）
一、单选题
1.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s
2.根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A. 两组对边的长分别是3和5
B. 相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9
C. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D. 一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
3.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（ ）
A. 8
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段
AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A. ②④ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④
6.如图, 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE∥BD, DE∥AC, AD=23 , DE=2 , 则四边形OCED的面积为（ ）
A. 4 B. 23 C. 43 D. 8
7.如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6
8.如图，矩形ABCD的面积为1cm2 ， 对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B…；依此类推，则平行四边形AO2014C2015B的面积为（ ）
A. 122013 B. 122014 C. 122015 D. 122016
9.在下列条件中，不能确定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. ∠A=∠C，∠B=∠D B. ∠A=∠B=∠C=90°
C. ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° D. ∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°
10.如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A. S△BEC=2S△CEF B. EF=CF
C. ∠DCF= 12 ∠BCD D. ∠DFE=3∠AEF
11.如图所示，在 ▱ ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD于点E，BC于点F， S△AOE=3,S△BOF=5 ,则 ▱ ABCD的面积…（ ）
A. 24 B. 32 C. 40 D. 48
12.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90º，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A. ∠D的度数为α
B. a∶b＝CD∶BC
C. 若α＝60º，则平行四边形ABCD的周长为 433(a+b)
D. 若α＝60º，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
二、填空题
13.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，CD∥AF，请你添加一个条件：________使四边形ABCD是平行四边形。
14.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF= 12 ∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.
15.如图，▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为________．
16.如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在点E处，BE与AD相交于点O ， 若∠DBC=15°，则∠BOD=________
17.如图，在平行四边形 ABCD 中， DE 平分 ∠ADC ， AD=5 ， BE=2 ，则 ABCD 的周长是________.
18.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝________.
19.如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．
20.在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=________cm．
21.如图，平面直角坐标系中,直线y= 43 x＋8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP＋PH＋HQ值最小时，点P的坐标为________。
22.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为________.
23.如图，口ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为________。
24.如图，在□ ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F .若 AE=4 ， AF=6 ，且□ ABCD 的周长为40，则□ ABCD 的面积为________。
三、解答题
25.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
26. 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
27.如图，△ABC是边长为10的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）．
（Ⅰ）如图1，若点Q是BC边上一动点，与点P同时以相同的速度由C向B运动（与C、B不重合）．求证：BP＝AQ；
（Ⅱ）如图2，若Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E ， 连接PQ交AB于D ， 在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
28.已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．
四、综合题（共6题；共78分）
29.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
30.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）AC的长是________，AB的长是________．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 3 ？
31.已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。
32.在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，动点M以每秒1个单位的速度从点A出发运动到点B，点N以相同的速度从点B出发运动到点C，两点同时出发，过点M作MP⊥AB交直线CD于点P，连接NM、NP，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，∠NMP=________度；
（2）求t为何值时，以A、M、C、P为顶点的四边形是平行四边形；
（3）当△NPC为直角三角形时，求此时t的值．
33.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=2，过点F作MN⊥PE，截取FM= 3 ，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．
34.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
参考答案
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t ， BQ=t ，
根据题意得到12-3t=t ，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
2.【答案】 A
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质，平行四边形的判定
【解析】【解答】A，因为平行四边形的对边相等，故本选项正确；
B，因为3+5＜9，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
C，因为3+4=7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
D，因为3+2.5＜7，根据三角形的三边关系定理不能作出三角形，即也不能作出平行四边形，故本选项错误；
故选A．
【分析】因为平行四边形的对角线把平行四边形分成三角形，根据平行四边形的对角线互相平分求出对角线一半的长，根据三角形的三边关系定理看能不能作出三角形，即可判断能不能作出平行四边形即可．
3.【答案】 D
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图
∵▱ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=12BD=5，OC=12AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。
4.【答案】 C
【考点】坐标与图形性质，平行四边形的判定
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2 ， 此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3 ， 此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选：C．
【分析】令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
5.【答案】 B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC ，
故S△BEC=2S△CEF ， 故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
6.【答案】 B
【考点】勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，矩形的判定
【解析】【解答】解：连接OE ， 与DC交于点F.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC ， OB=OD ， 且AC=BD ，
即OA=OB=OC=OD.
∵OD∥CE ， OC∥DE ，
∴四边形ODEC为平行四边形.
∵OD=OC ，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF ， OF=EF ， DC⊥OE.
∵DE∥OA ， 且DE=OA ，
∴四边形ADEO为平行四边形.
∵AD=23 ,DE=2，
∴OE=23 ,
∴ OF=EF=3 .
在Rt△DEF中，根据勾股定理得： DF=22-(3)2=1 ,
∴DC=2，
∴S菱形OCED=12OE⋅DC=12×23×2=23 ．
故选B.
7.【答案】B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我们不难看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝ EF，所以EF＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题
8.【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵O1为矩形ABCD的对角线的交点，
∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的 12 ，
∴平行四边形AOC1B的面积= 12 ×1= 12 ，
∵平行四边形AO1C2B的对角线交于点O2 ，
∴平行四边形AOC2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的 12 ，
∴平行四边形ABC3O2的面积= 12 × 12 ×1= 122 ，
…，
依此类推，平行四边形ABC2014O2015的面积= 122015 cm2 ．
故答案为：C．
【分析】由矩形和平行四边形的性质，得到平行四边形AOC1B的面积与平行四边形ABC3O2的面积；根据规律依此类推，得到平行四边形ABC2014O2015的面积.
9.【答案】 D
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】（A）∠A=∠C，∠B=∠D，根据四边形的内角和为360°，可推出∠A+∠B=180°，所以AD∥BC，同理可得AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故A选项正确；
（B）∠A=∠B=∠C=90°，则∠D=90°，四个内角均为90°可以证明四边形ABCD为矩形，故B选项正确；
（C）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°即可证明AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的定义可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；
（D）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°即可证明AD∥BC，条件不足，不足以证明四边
ABCD为平行四边形，故D选项错误．
故选 D．
【分析】根据平行四边形的多种判定方法，分别分析A、B、C、D选项是否可以证明四边形ABCD为平行四边形，即可解题．
10.【答案】 A
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】A、延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∵∠A=∠FDM，
AF=DF，
∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误，A符合题意；
B、∵△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故此选项不符合题意，B不合题意；
C、∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ▱ ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= 12 ∠BCD，故此选项不符合题意，C不合题意；
D、设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项不符合题意，D不合题意．
故答案为：A．
【分析】A、将EF延长交CD延长线与点M，因为点F是AD的中点所以可知△ADF≌△DMF，因为MC>AB，所以S△EMC>S△BEC ， 所以S△BEC<2S△EFC ， 所以A错误.
B、利用平行四边形的性质，因为CE⊥AB，所以∠EDC=90° ， 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以EF=FC；
C、利用平行四边形对边平行的性质即可知，∠DCF=12∠BCD；
D、利用外角的性质和三角形内角和的性质，通过转化，可以得到.
11.【答案】 B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO
在△DOE和△BOF中
∠EDO=∠FBOOD=OB∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF（ASA）
∴S△DOE=S△BOF=5
∵S△AOD=S△AOE+S△DOE=3+5=8
∴平行四边形ABCD的面积为：4S△AOD=4×8=32.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质易证OB=OD，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等，可证得∠EDO=∠FBO，再利用ASA证明△DOE≌△BOF，利用全等三角形的面积相等，可得到S△DOE=S△BOF=5，从而可求出△AOD的面积，然后根据平行四边形ABCD的面积为=4S△AOD ， 代入计算可求解。
12.【答案】 D
【考点】勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=12AB，AB2=BE2+AE2 ，
即AB2=（12AB）2+a2 ，
解得：AB=233a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=12AD，AD2=DF2+AF2 ，
即AD2=（12AD）2+b2 ，
解得：AD=233b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（233a+233b）=433（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=233a，AD=233b，
∴BE=33a，DF=33b，
∴S△ABE=12·BE·AE=12×33a×a=36a2 ，
S△ADF=12·DF·AF=12×33b×b=36b2 ，
∵S四边形ABCD=BC·AE=233ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF ，
=233ab-36a2-36b2 ，
故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A.根据垂直定义和四边形内角和得∠α+∠C=180°，再由平行四边形性质得∠C+∠D=180°，等量代换即可得∠D=∠α，故正确；
B. 由平行四边形面积公式可得BC·a=CD·b，即CD：BC=a：b，故正确；
C.由A知∠B=∠D=60°，在Rt△ABE、Rt△ADF中，根据勾股定理可得AB=233a，AD=233b，
根据平行四边形周长公式即可求得C四边形ABCD=433（a+b），故正确；
D.由C知AB=233a，AD=233b，从而可得BE=33a，DF=33b，根据三角形面积 公式分别求得
S△ABE=36a2 ， S△ADF=36b2 ， 由S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF=233ab-36a2-36b2 ， 故错误.
二、填空题
13.【答案】AB=BF
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】添加条件是AB=BF，
理由是：∵CD∥AF，
∴∠CDE=∠F，
∵E是BC边的中点，
∴CE=BE，
在△CDE和△BFE中
∠CDE=∠F∠DEC=∠BEFCE=BE
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DC=BF，
∵AB=BF，CD∥AF，
∴AB=CD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：AB=BF．
【分析】添加条件是AB=BF，求出∠CDE=∠F，CE=BE，根据AAS证△CDE≌△BFE，推出DC=BF，推出AB=CD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．
14.【答案】①②④．
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【解析】【解答】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= 12 ∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
{∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM ，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
15.【答案】 2或2 3 或 19
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM= 12 AB=1，
∴AM= 3 BM= 3 ，CM=BC﹣BM=4﹣1=3，
∴AC= AM2+CM2 =2 3 ，
∴AB2+AC2=BC2 ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP= BC2-CP2 = 42-22 =2 3 ；
（ 2 ）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM= 3 ，
∴BP= BC2+CP2 = 19 ；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2 3 或 19 ．
【分析】根据题意得到两种情况，当∠BPC=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，和由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半；求出BM的值，再根据勾股定理求出AC的值，再由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，得到当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，BP=BA；当∠BCP=90°时，根据平行四边形的性质对边相等，根据勾股定理求出BP的值，得到△PBC为直角三角形时，BP的值.
16.【答案】150°
【考点】三角形内角和定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图,∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC ，
∴∠ODB=∠DBC=15°.
又由折叠的性质知,∠EBD=∠CBD=15°,即∠OBD=15°，
∴在△OBD中,∠BOD=180°−∠OBD−∠ODB=150°，
17.【答案】 16
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中,AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=5，BE=2，
∴AD=BC=5，
∴CE=BC−BE=5−2=3，
∴CD=AB=3，
∴▱ABCD的周长=5+5+3+3=16.
故答案为：16.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可得∠CDE=∠CED，AD=BC，CD=AB，由等角对等边可得CE=CD，由线段的构成得CE=BC-BE，则根据平行四边形的周长等于四边之和可求解四边形的周长.
18.【答案】 105°
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=12∠1=25°，
∴∠ADB=25°
根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105°
故答案为：105°。
【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。
19.【答案】 5
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：
直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOD=∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
{∠AOD=∠CBE∠ADO=∠CEBOA=BC ，
∴△AOD≌△CBE（AAS），
∴OD=BE=1，
∴OB=OE+BE=5；
故答案为：5．
【分析】结合图形可知对角线OB长的最小，利用平行四边形的每组对边平行且相等及垂直所得直角可证得△AOD≌△CBE，从而可求得BE的长，即可求得满足条件的OB长.
20.【答案】 4
【考点】勾股定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】在▱ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= AB2-BC2 =8cm，
∴AO= 12 AC=4cm；
故答案为：4
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，对边相等得出BC=AD=6cm，AO=CO，根据勾股定理得出AC，从而可求得AO。
21.【答案】 (-4,4)
【考点】待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质
【解析】【解答】连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，
∵四边形PHCB是平行四边形，
∴PB=CH，
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+4，
∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，
∴只需CH+HQ最小即可，
∵两点之间线段最短，
∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，
过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴OA是△BQM的中位线，
∴QM=2OA=12，OM=OB=8，
∴Q（-12，-8），
设直线CQ的关系式为：y=kx+b，
将C（0，4）和Q（-12，-8）分别代入上式得：
{b＝4-12k+b＝-8 ，
解得： {b＝4k＝1 ，
∴直线CQ的关系式为：y=x+4，
令y=0得：x=-4，
∴H（-4，0），
∵PH∥y轴，
∴P（-4，4）．
【分析】连接PB，CH，可得四边形PHCB是平行四边形，进而根据平行四边形对边相等得出：PB=CH，进而可将BP+PH+HQ转化为CH+HQ+4，然后根据两点之间线段最短可知：当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，由点Q是点B关于点A的对称点，先求出点Q的坐标，然后利用待定系数法求出直线CQ的关系式，进而可求出直线CQ与x轴的交点H的坐标，从而即可求出点P的坐标．
22.【答案】 2
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∵AB＝3，BC＝5，
∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝2.
故答案为2.
【分析】根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行、内错角相等得出∠AEB＝∠CBE，根据角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，故∠AEB＝∠ABE，根据等角对等边得出AE＝AB，从而利用DE＝AD－AE＝BC－AB即可算出答案。
23.【答案】 14
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6
∵AC+BD=16
∴2OC+2OB=16
∴OC+OB=8
∴△BOC的周长为：OB+OC+BC=8+6=14
故答案为：14
【分析】利用平行四边形的性质，可证得AC=2OC，BD=2BO，AD=BC=6，再求出OC+OB的值，然后求出△OBC的周长。
24.【答案】48
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，
∴S▱ABCD=4BC=6CD，
整理得,BC= 32 CD②，
联立①②解得，CD=8，
∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.
故答案为：48.
三、解答题
25.【答案】解：①以PQAD构成四边形 设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
26.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE＝OF
【考点】平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题
27.【答案】 解：（Ⅰ）证明：如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°， ∵AP＝CQ， ∴△BAP≌△ACQ（SAS）， ∴BP＝AQ． （Ⅱ）解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下： 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q速度相同， ∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， 在△APE和△BQF中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴在△APE和△BQF中， {∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ ， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ 12 EF， ∵EB+AE＝BE+BF＝AB， ∴DE＝ 12 AB， 又∵等边△ABC的边长为10， ∴DE＝5， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（Ⅰ）证明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解决问题．（Ⅱ）作QF⊥AB ， 交直线AB的延长线于点F ， 连接QE ， PF ， 由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP＝BQ ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF ， 再由AE＝BF ， PE＝QF且PE∥QF ， 可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB ， DE＝ 12 AB ， 由等边△ABC的边长为10可得出DE＝5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
28.【答案】 证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO．
∵AO=CO，
∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO．
∴AB=CD，
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；因此只须证明AB=CD即可。
四、综合题
29.【答案】 （1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中
AF=BCAE=BA
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
30.【答案】 （1）10；5
（2）解：EF与AD平行且相等．证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴四边形AEFD为平行四边形．∴EF与AD平行且相等
（3）解：能；理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又∵AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5 3 × 33 =5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使▱AEFD为菱形，则需AE=AD，
即t=10﹣2t，t= 103 ．
即当t= 103 时，四边形AEFD为菱形
（4）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，∴DF= 12 CD，∴CF= 3 t，又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 3 ﹣ 3 t，
∴ S△BEF=12×BF×BE=23 ，
即： 125-t53-3t=23 ，
解得：t=3，t=7（不合题意舍去），∴t=3．故当t=3时，△BEF的面积为2 3 ．
故答案为：5，10；平行且相等； 103 ；3
【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定
【解析】【分析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2 ，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使▱AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 3 ﹣ 3 t，从而得到 S△BEF=12×BF×BE=23 ，然后求得t的值．
31.【答案】 （1）【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
又∵CG=CE，
∴△BCG≌△DCE．
（2）【解答】四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：
∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′．
∵CE=CG，
∴CG=AE′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE′∥DG，AB=CD．
∴AB-AE′=CD-CG．
即BE′=DG．
∴四边形E′BGD是平行四边形．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD，得BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE，所以△BCG≌△DCE（SAS）．（2）由（1）得BG=DE，又由旋转的性质知AE′=CE=CG，所以BE′=DG，从而证得
四边形E′BGD为平行四边形．
32.【答案】 （1）30
（2）解：若点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD于E，
在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4
∴DE= 12 AD=2，AE=2 3 ，
∴AM=t，PC=2﹣t
要使四边形AMCP为平行四边形，则AM=PC
∴t=2﹣t得t=1．
若点P在线段DC延长线上时，四边形AMCP不是平行四边形．
（3）解：若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，
∴只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，
如图3中，当∠NPC=90°时，则M、N、P在同一直线上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM= 12 BN，即4﹣t= 12 t，
解得，t= 83 ．
如图4中，当∠PNC=90°时，
易知BG=2（4﹣t），MG= 3 （4﹣t），
GN=t﹣2（4﹣t）=3t﹣8，GP=NG÷cos30°= 233 （3t﹣8），
∵PM=2 3 ，
∴MG+GP=2 3 ，
∴ 3 （4﹣t）+ 233 （3t﹣8）=2 3 ，
解得t=103 ，
综上所述，t= 83 s或t=103时，△PNC是直角三角形．
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵t=2时，AM=BM=2，BN=CN=2，
∵PM⊥AB，
∴PA=PB，
∴P与C重合，
∵MN∥AC，
【分析】连接AC，由t=2可得到AM=BM=2，BN=CN=2，然后依据线段垂直平分线的性质可得到PA=PB，推出P与C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=12∠ACB=30°；
（2）当点P在线段CD上时，过A作AE⊥CD，垂足为E，然后依据AM=PC列方程求解即可；
（3）若点P在线段CD上时，不存在Rt△NPC，只有当P在线段DC延长线上时，才存在Rt△NPC，分两种情形讨论求解即可.
33.【答案】 （1）解：BC= 12 OC=3，则 t=32 ，
OP= 32 ，则OE=OP+PE=OP+OA= 32 +3= 92 ，
则E的坐标是（ 92 ，0）
（2）解：∵四边形PCOD是平行四边形，
∴OC=PD，
在△AOC和△EPD中，
{OA=PE∠AOC=EPDOC=PD ，
∴△AOC≌△EPD，
∴AC=DE，∠CAO=∠DEP，
∴AC∥DE，
∴四边形ADEC是平行四边形
（3）解：C的坐标是（0，6﹣2t），P的坐标是（t，0），则F的坐标是（t+2，0）．，E的坐标是（t+3，0），D的坐标是（t，2t﹣6）．
设CE的解析式是y=kx+b，
则 {b=6-2t(t+3)k+b=0 ，
解得： {b=6-2tk=2t-3t+3 ，
则CE的解析式是y= 2t-3t+3x+(6-2t) ，
同理DE的解析式是y= 6-2t3x + 2(9-t2)3 ．
当M在CE上时，M的坐标是（t+2， 3 ），
则 2t-3t+3(t+2)+(6-2t)=3 ，
解得：t=21﹣12 3 ，或t=1.5．
当N在DE上是，N的坐标是（t+2，﹣1），则 6-2t3(t+2)+2(9-t2)3 =﹣1，
解得：t=3+ 323 或t=9．
总之， t1=21-123 ，t2=1.5， t3=3+323 ，t4=9
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）当C运动到OB的中点时，根据时间t=路程/速度即可求得，进而求得E的坐标；（2）证明△AOC≌△EPD，则AC=DE，∠CAO=∠DEP，则AC和DE平行且相等，则四边形ADEC为平行四边形；（3）利用待定系数法求得CE和DE的解析式，然后用t表示出M、N的坐标，代入解析式即可求得t的值．
34.【答案】 （1）【解答】△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．
∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60°．
∴△ABE≌△ACF．
（2）【解答】四边形ABDF是平行四边形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四边形ABDF是平行四边形．
（3）【解答】由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=23.
∴ S四边形ABEF=12EG·AB+EF
=12×23×6+4=103 ．
【考点】平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
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