数学3.1 函数的概念及其表示导学案

这是一份数学3.1 函数的概念及其表示导学案，共13页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
1.函数的三种表示方法
注意：同一个函数可以用不同的方法表示．
2.分段函数
（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数．
（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 ．
注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．
【小试牛刀】
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示.( )
(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.( )
(4)函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示．( )
(5)分段函数由几个函数构成．( )
(6)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>2，))是分段函数．( )
(7)分段函数的图象不一定是连续的．( )
(8)y＝|x－1|与y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1，))是同一函数．( )
【经典例题】
题型一 函数的表示法
注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主．
例1 公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
注意：把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画．
[跟踪训练] 1 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
(1)f(g(3))＝__________； (2)若g(f(x))＝2，则x＝__________.
题型二 函数图象的画法及其应用
注意： 作函数图象的步骤及注意点
(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.
(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.
例2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
注意：通过“列表→描点→连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域．
[跟踪训练] 2 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1).
题型三 分段函数求值
注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．
（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。
例3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)，x>1，,x2＋1，－1≤x≤1，,2x＋3，x<－1.))
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝eq \f(3,2)，求a.
注意：根据自变量取值范围代入对应解析式求值．
[跟踪训练] 3 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
题型四 求函数解析式
方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
(3)方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
例4 （1）已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________.
[跟踪训练] 4
已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________；
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式。
例5 已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1，求f(x)的解析式；
[跟踪训练] 5
已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．
（2） feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \f(1,x2)－1，求f(x)的解析式。
例6 (1)已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x).
[跟踪训练] 6 f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式。
【当堂达标】
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f[f(3)]＝( )
A.eq \f(1,5) B．3 C.eq \f(2,3) D.eq \f(13,9)
2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝eq \f(1,x)B．y＝－eq \f(1,x)
C．y＝eq \f(2,x)D．y＝－eq \f(2,x)
3 .已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤1，,1－x2，x>1，))若f(x)＝－3，则x＝________.
5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
6、作出函数y＝x＋1(x∈Z)的图象：
7.已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图象的简图；
(2)根据图象写出f(x)的值域.
8．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值．
9．已知函数f(x)＝eq \f(x,ax＋b)(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值．
【参考答案】
【自主学习】
1、数学表达式 图象 表格
2、对应关系 并集 空集
【小试牛刀】
(1)× 如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示；
(2)× 有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,－1，x∈∁RQ；))
(3)× 反例：f(x)＝eq \f(1,x)的图象就不是连续的曲线.
(4)× 该函数是连续的，则该函数就不能用列表法表示。
(5)×分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(6)√对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数
(7)√定义域不连续，图像不连续
(8)√ 定义域和对应关系相同
【经典例题】
例1 ①列表法
②图象法：如图所示．
③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
[跟踪训练] 1 (1)2 (2)1
解析 (1)由表知g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝2；
(2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1.
例2 (1)列表：
画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．

(2)列表：
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．由图可得函数的值域是[－1,8]．
[跟踪训练] 2 解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
例3 [解] (1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
(2)当a>1时，f(a)＝1＋eq \f(1,a)＝eq \f(3,2)，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝eq \f(3,2)，∴a＝±eq \f(\r(2),2)∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝eq \f(3,2)，∴a＝－eq \f(3,4)>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±eq \f(\r(2),2).
[跟踪训练] 3 [解] (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
（2）由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，结合此函数图象可知，使f(x)≥eq \f(1,4)的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
例4 解（1）设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\f(8,3)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－8.))
∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8.
（2）设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.
故得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
[跟踪训练] 4 解 (1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝16，,kb＋b＝－25，))解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝eq \f(25,3)，所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋eq \f(25,3).
(12)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.
∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))∴f(x)＝x2－x＋1.
例5 解 配凑法：∵f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1＝(eq \r(x)＋1)2，
∴f(x)＝x2.又eq \r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)．
换元法：令t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1.
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1)．
[跟踪训练] 5 解 （1） 配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，
∴f(x)＝x2－5x＋6.
换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.
(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋1))，所以f(x)＝x2－2x.
因为eq \f(1,x)≠0，所以eq \f(1,x)＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
例6 解 （1）∵2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①∴将x用eq \f(1,x)替换，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)，))解得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x.
[跟踪训练] 6 解 由条件知，f(－x)－2f(x)＝－9x＋2，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－2f－x＝9x＋2，,f－x－2fx＝－9x＋2，))
解得f(x)＝3x－2.
【当堂达标】
1.D [解析] ∵f(3)＝eq \f(2,3)<1，∴f[f(3)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋1＝eq \f(13,9).
2. C [解析] 设y＝eq \f(k,x)，当x＝2时，y＝1，所以1＝eq \f(k,2)，得k＝2.故y＝eq \f(2,x).
3. A 解析 法一 设t＝x－1，则x＝t＋1.∵f(x－1)＝x2＋4x－5
∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x；
法二 ∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.
－4或2 [解析] 若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.
若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
5.(4，＋∞)[解析]当a≥0时，f(a)＝eq \f(1,2)a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝eq \f(1,a)>1，无解．
6、解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.
7. 解 (1)f(x)图象的简图如图所示.
(2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3].
8.[解] 由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b.
∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1.
9.[解] 因为f(2)＝1，所以eq \f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2，①
又因为f(x)＝x有唯一解，即eq \f(x,ax＋b)＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.代入①得a＝eq \f(1,2).所以f(x)＝eq \f(x,\f(1,2)x＋1)＝eq \f(2x,x＋2).
所以f[f(－3)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－6,－1)))＝f(6)＝eq \f(2×6,6＋2)＝eq \f(3,2).
课程标准
学科素养
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点).
3.会用解析法及图象法表示分段函数．
4．给出分段函数，能研究有关性质（重点）．
1、数形结合
2、数学运算
3、直观想象
表示法
定义
解析法
用 表示两个变量之间的对应关系
图象法
用 表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出 来表示两个变量之间的对应关系
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
g(x)
3
2
1
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3000
6000
9000
12000
15000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18000
21000
24000
27000
30000
x
2
3
4
5
…
y
1
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(2,5)
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8